Уровень задачи

Поиск потока минимальной стоимости в транспортной сети

Материал из Алговики
Перейти к: навигация, поиск


1 Постановка задачи

Транспортной сетью называется ориентированный граф [math]G = (V, E)[/math], каждому ребру [math]e \in E[/math] которого приписана положительная пропускная способность [math]c(e)[/math] и цена [math]p(e)[/math].

Пусть в графе [math]G[/math] выделены две вершины: источник [math]s[/math] и сток [math]t[/math]. Без ограничения общности можно считать, что все остальные вершины лежат на каком-либо пути из [math]s[/math] в [math]t[/math]. Потоком называется функция [math]E \to \mathbb{R}[/math], удовлетворяющая следующим требованиям:

  • ограничение по пропускной способности: [math]f(e) \le c(e)[/math];
  • закон сохранения потока:
[math] \forall v \ne s, t: \quad \sum_{e = (w, v)} f(e) = \sum_{e = (v, w)} f(e). [/math]

Величиной потока называется суммарный поток из источника:

[math] \left \vert f \right \vert = \sum_{e = (s, v)} f(e). [/math]

Стоимостью потока называется

[math] C(f) = \sum_{e \in E} f(e) p(e). [/math]

Задача о потоке минимальной стоимости в транспортной сети. Требуется найти поток заданной величины, имеющий наименьшую возможную стоимость:

[math] \begin{cases} C(f) \to \min,\\ \left \vert f \right \vert = F \end{cases} [/math]

2 Свойства задачи

Суммарный поток из источника равен суммарному потоку в сток:

[math] \forall v \ne s, t: \quad \sum_{e = (s, v)} f(e) = \sum_{e = (v, t)} f(e). [/math]

(Для доказательства достаточно просуммировать закон сохранения потока для всех вершин, кроме источника и стока.)

3 Варианты задачи

В зависимости от ограничений на значения пропускной способности:

  • произвольная положительная пропускная способность;
  • целая пропускная способность;
  • единичная пропускная способность.

4 Алгоритмы решения задачи

  • сведение к задаче линейного программирования специального вида[1][2];
  • последовательное вычисление кратчайших путей для всех пар вершин[3];
  • удаление циклов отрицательной стоимости[4];
  • масштабирование пропускной способности[3];
  • масштабирование цен[5].

5 Существующие реализации

  • Python: NetworkX
    • функция network_simplex: алгоритм Network Simplex[2] для целых цен;
    • функция capacity_scaling: алгоритм масштабирования пропускной способности.

6 Ссылки

  1. Fulkerson, D R. “An Out-of-Kilter Method for Minimal-Cost Flow Problems.” Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics 9, no. 1 (March 1961): 18–27. doi:10.1137/0109002.
  2. 2,0 2,1 Orlin, James B. “A Polynomial Time Primal Network Simplex Algorithm for Minimum Cost Flows.” Mathematical Programming 78, no. 2 (August 1997): 109–29. doi:10.1007/BF02614365.
  3. 3,0 3,1 Edmonds, Jack, and Richard M Karp. “Theoretical Improvements in Algorithmic Efficiency for Network Flow Problems.” Journal of the ACM 19, no. 2 (April 1972): 248–64. doi:10.1145/321694.321699.
  4. Goldberg, Andrew V, and Robert Endre Tarjan. “Finding Minimum-Cost Circulations by Canceling Negative Cycles.” Journal of the ACM 36, no. 4 (October 1989): 873–86. doi:10.1145/76359.76368.
  5. Goldberg, Andrew V, and Robert Endre Tarjan. “Finding Minimum-Cost Circulations by Successive Approximation.” Mathematics of Operations Research 15, no. 3 (August 1990): 430–66. doi:10.1287/moor.15.3.430.