Уровень задачи

Спектральное разложение (нахождение собственных значений и векторов)

Материал из Алговики
Перейти к: навигация, поиск


1 Математическая формулировка задачи

Задача нахождения собственных значений и собственных векторов для матрицы [math]A[/math] заключается в поиске таких соответствующих друг другу чисел [math]\lambda[/math] и ненулевых векторов [math]x[/math], которые удовлетворяют уравнению [math]Ax=\lambda x[/math]. Числа [math]\lambda[/math] называются собственными значениями, а вектора [math]x[/math] - соответствующими им собственными векторами[1]. Данная задача является одной из самых сложных задач линейной алгебры[2].

1.1 Истоки задачи

Собственные вектора и собственные значения применяются в различных областях науки: в аналитической геометрии, при решении систем интегральных уравнений, в математической физике. В частности, в случае приближения линейных операторов в конечных подпространствах собственные числа получаемых матриц могут приближать спектр таких операторов. Естественно, степень приближения в таких случаях должна быть исследована и обоснована.

1.2 Общие теоретические выкладки

Из [math]Ax=\lambda x[/math] при ненулевом [math]x[/math] следует вырожденность [math]A-\lambda E[/math]. Поэтому, если для задачи нужны только собственные числа, то их можно найти как корни многочлена [math]det(A-\lambda E)[/math], называемого характеристическим многочленом матрицы [math]A[/math]. Из невозможности выразить корни таких многочленов общего вида из его коэффициентов с помощью конечного числа арифметических операций следует, что не существует прямых методов вычисления собственных значений для матриц общего вида (кроме матриц размером менее 5). Поэтому проблема собственных значений на практике решается только итерационными методами.

1.3 Возможные вариации постановки задачи

В зависимости, от требований исходной задачи постановка может быть упрощена до нахождения всех или части собственных чисел с нахождением или без нахождения соответствующих им собственных векторов.

2 Основные методы решения задачи

3 Литература

  1. В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
  2. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.