Фильтр Собеля

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Фильтр Собеля - дискретный дифференциальный оператор, который используется для приближения градиента яркости изображения. Он часто используется в алгоритмах выделения границ при обработке изображений. Фильтр Собеля был предложен Ирвином Собелем и Гэри Фелдманом в лаборатории искусственного интеллекта Стэнфорда в 1968.

Фильтр Собеля легко вычислять, так как он основан на свертках изображения с небольшими ядрами. Из-за этого он аппроксимирует градиент со значительной погрешностью, но качество аппроксимации оказывается достаточным для многих практических приложений.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

• изображение $A^{N\cdot M}$

Вычисляемые данные:

• матрица аппроксимации модуля градиента $G^{N\cdot M}$

• матрица аппроксимации направления градиента $\Theta^{N\cdot M}$

Это матрицы такого же размера, как исходное изображение, так как параметры градиента вычисляются для каждого пикселя изображения.

Промежуточные горизонтальные и вертикальные производные вычисляются с помощью следующих двумерных сверток:

$\mathbf{G}_x = \begin{bmatrix} +1 & 0 & -1 \\ +2 & 0 & -2 \\ +1 & 0 & -1 \end{bmatrix} * \mathbf{A} ,\ \mathbf{G}_y = \begin{bmatrix} +1 & +2 & +1\\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{bmatrix} * \mathbf{A}$

Аппроксимации для модуля и направления градиента можно получить, скомбинировав эти производные:

$\mathbf{G} = \sqrt{ {\mathbf{G}_x}^2 + {\mathbf{G}_y}^2 }$

$\mathbf{\Theta} = \operatorname{atan}\left({ \mathbf{G}_y \over \mathbf{G}_x }\right)$

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро совпадает с алгоритмом, так как все описанные операции выполняются за $O(M\cdot N)$ на одном изображении.