Шаблон:Main page/Featured

Разложение Холецкого (метод квадратного корня)

Свойства алгоритма: Последовательная сложность алгоритма: [math]O(n^3)[/math] Высота ярусно-параллельной формы: [math]O(n)[/math] Ширина ярусно-параллельной формы: [math]O(n^2)[/math] Объём входных данных: [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math] Объём выходных данных: [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math]

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Разложение Холецкого впервые предложено французским офицером и математиком Андре-Луи Холецким в конце Первой Мировой войны, незадолго до его гибели в бою в августе 1918 г. Идея этого разложения была опубликована в 1924 г. его сослуживцем. Потом оно было использовано поляком Т. Банашевичем в 1938 г. В советской математической литературе называется также методом квадратного корня [1-3]; название связано с характерными операциями, отсутствующими в родственном разложении Гаусса.

Первоначально разложение Холецкого использовалось исключительно для плотных симметричных положительно определенных матриц. В настоящее время его использование гораздо шире. Оно может быть применено также, например, к эрмитовым матрицам. Для повышения производительности вычислений часто применяется блочная версия разложения.

Для разреженных матриц разложение Холецкого также широко применяется в качестве основного этапа прямого метода решения линейных систем. В этом случае используют специальные упорядочивания для уменьшения ширины профиля исключения, а следовательно и уменьшения количества арифметических операций. Другие упорядочивания используются для выделения независимых блоков вычислений при работе на системах с параллельной организацией.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: положительно определённая симметрическая матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]).

Вычисляемые данные: нижняя треугольная матрица [math]L[/math] (элементы [math]l_{ij}[/math]).

Формулы метода:

[math] \begin{align} l_{11} & = \sqrt{a_{11}}, \\ l_{j1} & = \frac{a_{j1}}{l_{11}}, \quad j \in [2, n], \\ l_{ii} & = \sqrt{a_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip}^2}, \quad i \in [2, n], \\ l_{ji} & = \left (a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp} \right ) / l_{ii}, \quad i \in [2, n - 1], j \in [i + 1, n]. \end{align} [/math]

Существует также блочная версия метода, однако в данном описании разобран только точечный метод.

В ряде реализаций деление на диагональный элемент выполняется в два этапа: вычисление [math]1/l_{ii}[/math] и затем умножение на него всех (видоизменённых) [math]a_{ji}[/math] . Здесь мы этот вариант алгоритма не рассматриваем. Заметим только, что он имеет худшие параллельные характеристики, чем представленный.

Читать полностью…