Участник:Hromovalexander/Алгоритм динамической иерархической кластеризации CHAMELEON: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показаны 53 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
= ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритма =
+
{{Assignment|ASA}}
  
−
== Общее описание алгоритма ==
+
Автор статьи: Хромов А. К.
 +
 +
== Свойства и структура алгоритма ==
  
−
Данный алгоритм выполняется в два этапа.
+
=== Общее описание алгоритма ===
 +
Алгоритм CHAMELEON - алгоритм динамической иерархической кластеризации графа.
 +
<ref name="studo">http://studopedia.ru/7_41934_algoritm-dinamicheskoy-ierarhicheskoy-klasterizatsii-CHAMELEON.html</ref>
 +
Кластеризация - разбиение графа на несколько подграфов таким образом, чтобы объекты внутри одного кластера были максимально близки (схожи), а данные двух различных кластеров максимально различались. Различие и схожесть объектов определяются некоей метрикой, известной заранее. Количество кластеров, на которые будет разбит граф, заранее неизвестно, и зависит от свойств объекта и выбранной метрики. Простейшей возможной метриков является расстояние между точками (если предполагать, что у каждой вершины графа есть координаты).
  
−
На первом этапе CHAMELEON использует алгоритм разделения графа для получения набора относительно малых кластеров. На втором этапе, для объединения кластеров, полученных на первом этапе, в настоящие кластеры, используется иерархическая агломеративная кластеризация. Таким образом, алгоритм, фактически, является гибридным, построенным комбинацией графо-ориентированных и классических иерархических методов. Рассмотрим эти этапы подробнее.
+
Алгоритм состоит из 3-х основных этапов:
  
−
На первом этапе, согласно графо-ориентированному подходу, происходит построение графа на матрице сходства объектов по принципу k ближайших соседей. Две вершины такого графа соединяет ребро, если объект, соответствующий любой из этих вершин попадает в число k наиболее близких объектов для объекта, соответствующего другой вершине из данной пары.
+
1-й этап заключается в построении изначального графа по множеству объектов и метрике схожести по принципу k ближайших соседей (вершина графа, соответствующая некому объекту соединяется с k вершинами, расстояние до которых минимально)
  
−
Далее, алгоритм разделяет полученный граф на множество сравнительно малых подграфов. Разделение происходит последовательно. На каждом шаге выбирается под-граф, содержащий наибольшее число вершин. Этот граф разделяется на два подграфа, так, что разделитель ребер графа минимален и каждый из получаемых подграфов содержит не менее 25 % вершин исходного графа. Процесс разделения останавливается, когда наибольший под-граф содержит меньше некоторого заданного числа вершин. Обычно величина этого параметра задается равной значению от 1 до 5 % от числа объектов. Полученное множество связных графов считается множеством начальных кластеров, на котором требуется провести последовательное иерархическое объединение.
+
2-й этап заключается в разбиении построенного графа на небольшие кластеры (связные подграфы)
  
−
На втором этапе, алгоритм последовательно объединяет кластеры, используя значение их относительной взаимной связности и относительного взаимного сходства. Только если оба эти значения достаточно высоки у двух кластеров, они объединяются.
+
3-й этап состоит в формировании итогового множества кластеров
  
−
Относительная взаимная связность пары кластеров определяется абсолютной взаимной связностью кластеров, нормализованной с учетом внутренней связности (п. 0) каждого кластера (подграфа). Нормализация используется для того, чтобы исключить тенденцию к преимущественному объединению крупных кластеров, у которых, определенно, значение взаимной связности будет больше, вследствие их размера.
+
=== Математическое описание алгоритма ===
 +
'''Исходные данные'''
  
−
Абсолютная взаимная связность между парой кластеров Ci и Сj определяется как сумма весов ребер, соединяющих вершины, принадлежащие Ci с вершинами из Сj. Эти ребра, фактически, входят в разделитель ребер графа, состоящего из кластеров Ci и Сj, и разбивающим его на подграфы Ci и Сj. Обозначается эта величина как  . Внутреннюю связность  кластера Ci можно вычислить как сумму ребер, входящих в разделитель ребер, разбивающий Ci на два совершенно равных подграфа.
+
Множество из n объектов и заданные расстояния между объектами. Эта информация позволяет построить матрицу смежности, в которой будут указаны расстояния между соответствующими объектами по некой метрике. Матрица смежности симметрична, на главной диагонали стоят 0, поэтому достаточно хранить <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> элементов. Кроме того задаются параметры, влияющие на работу алгоритма - число k, по которому на первом этапе строится граф по принципу k ближайших соседей, и два параметра <math>{T_{ri}}</math> и <math>{T_{rc}}</math>, используемые на третьем этапе для того, что определить, что не нужно далее продолжать кластеризацию.
  
−
Относительная взаимная связность  пары кластеров Ci и Сj определяется формулой:
+
'''Первый этап'''
  
−
<math>RI(C_i,C_j)=\left|EC_{C_i,C_j}\right|/(\left|EC_{C_i}\right| + \left|EC_{C_j}\right|)/2</math> . (45)
+
На первом этапе строится граф <math>G(V,E)</math>, <math>V</math> - множество вершин, <math>E</math> - множество ребер, по принципу k ближайших соседей. Изначально граф состоит из множества вершин и пустого множества ребер. Для каждой вершины графа мы выбираем k других вершин, расстояния до которых минимальны (то есть k первых вершин в списке вершин графа, упорядоченных по увеличению расстояния до данной) и добавляем в множество ребер соответствующие ребра, соединяющие данную вершину с каждой из выбранных k вершин.
  
−
Учитывая значения относительной взаимной связности, можно добиться получения кластеров разного размера, формы и плотности, то есть общего внутреннего сходства.
+
'''Второй этап'''
  
−
Относительное взаимное сходство пары кластеров определяется как абсолютное сходство между этой парой кластеров, нормализованное с учетом их внутреннего сходства.
+
Состоит в итеративном разбиении графа на множество подграфов. Изначально (на первой итерации) разбиение состоит из единственного подграфа. Пусть <math>T</math> - множество подграфов на текущей итерации. Каждая итерация выполняется следующим образом - выбирается максимальный подграф из имеющихся в разбиении по числу вершин (то есть такой подграф <math>G_1(V_1,E_1)\in{T}: \forall {G_2(V_2,E_2)\in{T}: G_2\neq G_1} => |(V_1)|>|(V_2)|</math> ). Выбранный подграф разбивается на 2 подграфа следующим образом - сначала выбираются все разбиения <math>G_2(V_2,E_2)</math> и <math>G_3(V_3,E_3)</math>, такие, что <math>\min(|V_2|,|V_3|)\geq\frac{|V_1|}{4}</math>. Далее среди всех таких разбиений выбирается такое, для которого величина <math>\sum{|E_1^*|},E_1^* </math>- некое ребро, ведущее из вершины, попавшей в <math>G_2</math> в вершину, попавшую в <math>G_3</math>. В определенный момент, когда размер наибольшего кластера <math>|V_b|\leq{q*|V|}</math>, где <math>|V|</math> - количество вершин в изначальном графе, а <math>q</math> - предварительно заданный параметр, процесс дальнейшего разибения прекращается и алгоритм переходи на 3-й этап
  
−
Абсолютное взаимное сходство между парой кластеров Ci и Сj подсчитывается как среднее сходство между соединенными вершинами, принадлежащими Ci и Сj соответственно. Эти соединения обусловлены предыдущим (на первом этапе) разбиением общего графа, полученного на матрице сходства.
+
'''Третий этап алгоритма:''' 
  
−
Итак, относительное взаимное сходство  между парой кластеров Ci и Сj равно:
+
Введем несколько определений:
  
−
. (46)
+
Абсолютной взаимной связностью пары кластеров называется величина <math>EC_{({C_i},{C_j})}</math>, вычисляется как сумма весов ребер, соединяющих вершина 1-го кластера <math>C_i</math> с вершинами второго кластера <math>C_j</math>. Внутренняя связность кластера <math>E_{C_i}</math>вычисляется как сумма весов ребер, входящих в разделитель, разбивающих <math>C_i</math> на 2 равных подграфа.
  
−
где  и  – средние веса ребер (значения сходства), принадлежащих разделителю ребер кластеров Ci и Сj соответственно, и  – средний вес ребер, соединяющих вершины Ci с вершинами Сj, причем ребра принадлежат разделителю ребер  , определенному ранее. Можно также подсчитать внутреннее сходство как среднее значение весов всех связей в кластере, однако использования разделителя ребер по мнению авторов метода предпочтительнее. Этот факт они связывают с тем, что связи между объектами, помещенными в один кластер на ранних этапах объединения, сильнее, чем на поздних.
+
Относительная взаимная связность пары кластеров <math>RI_{(C_i,C_j)}</math> вычисляется по формуле <math>RI_{(C_i,C_j)}=\frac{2*|EC_{(C_i,C_j)}|}{|EC_{C_i}|+|EC_{C_j}|}</math>
  
−
== Математическое описание алгоритма ==
+
Абсолютное взаимное сходство пары кластеров <math>S_{E_{(C_i,C_j)}}</math>вычисляется как среднее сходство между связанными вершинами <math>C_i</math> и <math>C_j</math>
−
Приводится математическое описание решаемой задачи в виде совокупности формул и соотношений, как это принято в книгах и учебниках. По возможности, используются общепринятые обозначения и способы записи. Должны быть явно определены все использованные обозначения и описаны свойства входных данных. Представленное описание должно быть достаточным для однозначного понимания постановки решаемой задачи для человека, знающего математику.
 
  
−
== Вычислительное ядро алгоритма ==
+
Относительное взаимное сходство пары кластеров <math>C_i</math> и <math>C_j</math> обозначается <math>RC_{(C_i,C_j)}</math>и рассчитывается по формуле
−
В описываемом алгоритме выделяется и описывается [[глоссарий#Вычислительное ядро|''вычислительное ядро'']], т.е. та часть алгоритма, на которую приходится основное время работы алгоритма. Если в алгоритме несколько вычислительных ядер, то отдельно описывается каждое ядро. Описание может быть сделано в достаточно произвольной форме: словесной или с использованием языка математических формул. Вычислительное ядро может полностью совпадать с описываемым алгоритмом.
 
  
−
== Макроструктура алгоритма ==
+
<math>RC_{(C_i,C_j)}=\frac{S_{EC_{(C_i,C_j)}}}{\frac{|C_i|}{|C_i|+|C_j|}*S_{EC_{(C_i)}}+{\frac{|C_j|}{|C_i|+|C_j|}*S_{EC_{(C_j)}}}}</math>
−
Если алгоритм использует в качестве составных частей другие алгоритмы, то это указывается в данном разделе. Если в дальнейшем имеет смысл описывать алгоритм не в максимально детализированном виде (т.е. на уровне арифметических операций), а давать только его макроструктуру, то здесь описывается структура и состав макроопераций. Если в других разделах описания данного алгоритма в рамках AlgoWiki используются введенные здесь макрооперации, то здесь даются пояснения, необходимые для однозначной интерпретации материала. Типичные варианты макроопераций, часто встречающиеся на практике: нахождение суммы элементов вектора, скалярное произведение векторов, умножение  матрицы на вектор, решение системы линейных уравнений малого порядка, сортировка, вычисление значения функции в некоторой точке, поиск минимального значения в массиве, транспонирование матрицы, вычисление обратной матрицы и многие другие.
 
  
−
Описание макроструктуры очень полезно на практике. Параллельная структура алгоритмов может быть хорошо видна именно на макроуровне, в то время как максимально детальное отображение всех операций может сильно усложнить картину. Аналогичные аргументы касаются и многих вопросов реализации, и если для алгоритма эффективнее и/или технологичнее оставаться на макроуровне, оформив макровершину, например, в виде отдельной процедуры, то это и нужно отразить в данном разделе.
+
На третьем этапе происходит агломеративная иерархическая кластеризация.
−
Выбор макроопераций не однозначен, причем, выделяя различные макрооперации, можно делать акценты на различных свойствах алгоритмов. С этой точки зрения, в описании одного алгоритма может быть представлено несколько вариантов его макроструктуры, дающих дополнительную информацию о его структуре. На практике, подобные альтернативные формы представления макроструктуры алгоритма могут оказаться исключительно полезными для его эффективной реализации на различных вычислительных платформах.
 
  
−
== Схема реализации последовательного алгоритма ==
+
Есть два различных подхода анализа сходства.
−
Здесь описываются все шаги, которые нужно выполнить при последовательной реализации данного алгоритма. В некотором смысле, данный раздел является избыточным, поскольку математическое описание уже содержит всю необходимую информацию. Однако он, несомненно, полезен: схема реализации алгоритма выписывается явно, помогая однозначной интерпретации приводимых далее оценок и свойств.
 
  
−
Описание может быть выполнено в виде блок-схемы, последовательности математических формул, обращений к описанию других алгоритмов, фрагмента кода на Фортране, Си или другом языке программирования, фрагмента кода на псевдокоде и т.п. Главное - это сделать схему реализации последовательного алгоритма полностью понятной. Совершенно не обязательно все шаги детализировать до элементарных операций, отдельные шаги могут соответствовать макрооперациям, отвечающим другим алгоритмам.
+
Первый - для каждой пары кластеров проверяется истинность следующих высказываний
  
−
Описание схемы реализации вполне может содержать и словесные пояснения, отражающие какие-либо тонкие нюансы самого алгоритма или его реализации. Уже в данном разделе можно сказать про возможный компромисс между объемом требуемой оперативной памяти и временем работы алгоритма, между используемыми структурами данных и степенью доступного параллелизма. В частности, часто возникает ситуация, когда можно ввести дополнительные временные массивы или же отказаться от использования специальных компактных схем хранения данных, увеличивая степень доступного параллелизма.
+
<math>RI(Ci,Cj)\geq{T_{RI}} </math> и <math>RC_{(C_{i},C_{j})}\geq{T_{RC}}</math>
  
−
== Последовательная сложность алгоритма ==
+
В случае, если для некоторого <math>C_i</math> существует несколько кластеров <math>C_j</math>, удовлетворяющих этим условиям, выбирается такой <math>C_j</math>, что
−
В данном разделе описания свойств алгоритма приводится оценка его [[глоссарий#Последовательная сложность|''последовательной сложности'']], т.е. числа операций, которые нужно выполнить при последовательном исполнении алгоритма (в соответствии с [[#Описание схемы реализации последовательного алгоритма|п.1.5]]). Для разных алгоритмов понятие операции, в терминах которой оценивается его сложность, может существенно различаться. Это могут быть операции для работы с вещественными числами, целыми числами, поразрядные операции, обращения в память, обновления элементов массива, элементарные функции, макрооперации и другие. В LU-разложении преобладают арифметические операции над вещественными числами, а для транспонирования матриц важны лишь обращения к памяти: это и должно найти отражение в описании.
 
  
−
Если выбор конкретного типа операций для оценки сложности алгоритма не очевиден, то нужно привести обоснование возможных вариантов. В некоторых случаях можно приводить оценку не всего алгоритма, а лишь его вычислительного ядра: в таком случае это нужно отметить, сославшись [[#Общее описание алгоритма|на п.1.1]].  
+
значение <math>EC_{(C_i,C_j)}</math> максимально.
  
−
Например, сложность алгоритма суммирования элементов вектора сдваиванием равна <math>n-1</math>. Сложность быстрого преобразования Фурье (базовый алгоритм Кули-Тьюки) для векторов с длиной, равной степени двойки – <math>n\log_2n</math> операций комплексного сложения и <math>(n\log_2n)/2</math> операций комплексного умножения. Сложность базового алгоритма разложения Холецкого (точечный вариант для плотной симметричной и положительно-определенной матрицы) это <math>n</math> вычислений квадратного корня, <math>n(n-1)/2</math> операций деления, по <math>(n^3-n)/6</math> операций умножения и сложения (вычитания).
+
Процесс останавливается, когда нет кластеров, удовлетворяющих указанным условиям (либо когда остался только 1 кластер)
  
−
== Информационный граф ==
+
Второй подход - выбирается такая пара кластеров, что <math>RI_{(C_i,C_j)}*RC^\alpha_{(C_i,C_j)}</math> максимально, где <math>\alpha</math> - заданный заранее параметр.
−
Это очень важный раздел описания. Именно здесь можно показать (увидеть) как устроена параллельная структура алгоритма, для чего приводится описание и изображение его информационного графа ([[глоссарий#Граф алгоритма|''графа алгоритма'']] [1]). Для рисунков с изображением графа будут составлены рекомендации по их формированию, чтобы все информационные графы, внесенные в энциклопедию, можно было бы воспринимать и интерпретировать одинаково. Дополнительно можно привести полное параметрическое  описание графа в терминах покрывающих функций [1].
 
  
−
Интересных вариантов для отражения информационной структуры алгоритмов много. Для каких-то алгоритмов нужно показать максимально подробную структуру, а иногда важнее макроструктура. Много информации несут разного рода проекции информационного графа, выделяя его регулярные составляющие и одновременно скрывая несущественные детали. Иногда оказывается полезным показать последовательность в изменении графа при изменении значений внешних переменных  (например, размеров матриц): мы часто ожидаем "подобное" изменение информационного графа, но это изменение не всегда очевидно на практике.
+
Процесс останавливается, когда нет кластеров, удовлетворяющих указанным условиям (либо когда остался только 1 кластер)
 +
<ref name="chamel">http://www-users.cs.umn.edu/~han/dmclass/chameleon.pdf</ref>
  
−
В целом, задача изображения графа алгоритма весьма нетривиальна. Начнем с того, что это потенциально бесконечный граф, число вершин и дуг которого определяется значениями внешних переменных, а они могут быть весьма и весьма велики. В такой ситуации, как правило, спасают упомянутые выше соображения подобия, делающие графы для разных значений внешних переменных "похожими": почти всегда достаточно привести лишь один граф небольшого размера, добавив, что графы для остальных значений будут устроены "точно также". На практике, увы, не всегда все так просто, и здесь нужно быть аккуратным.
+
=== Вычислительное ядро алгоритма ===
 +
На первом этапе вычислительное ядро состоит из построения графа k ближайших соседей по исходной матрице смежности (требуется для каждой вершины перебрать всех соседей и выделить k ближайших)
  
−
Далее, граф алгоритма - это потенциально многомерный объект. Наиболее естественная система координат для размещения вершин и дуг информационного графа опирается на структуру вложенности циклов в реализации алгоритма. Если глубина вложенности циклов не превышает трех, то и граф размещается в привычном трехмерном пространстве, однако для более сложных циклических конструкций с глубиной вложенности 4 и больше необходимы специальные методы представления и изображения графов.
+
На втором этапе вычислительное ядро состоит из повторяющегося нахождения разбиения графа на два подграфа, удовлетворяющего ранее описанным условиям
  
−
В данном разделе AlgoWiki могут использоваться многие интересные возможности, которые еще подлежат обсуждению: возможность повернуть граф при его отображении на экране компьютера для выбора наиболее удобного угла обзора, разметка вершин по типу соответствующим им операций, отражение [[глоссарий#Ярусно-параллельная форма графа алгоритма|''ярусно-параллельной формы графа'']] и другие. Но в любом случае нужно не забывать главную задачу данного раздела - показать информационную структуру алгоритма так, чтобы стали понятны все его ключевые особенности, особенности параллельной структуры, особенности множеств дуг, участки регулярности и, напротив, участки с недерминированной структурой, зависящей от входных данных.
+
На третьем этапе вычислительное ядро состоит из вычисления на очередном этапе метрики схожести для двух кластеров, и их последующего объединения
  
−
На рис.1 показана информационная структура алгоритма умножения матриц, на рис.2 - информационная структура одного из вариантов алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений с блочно-двухдиагональной матрицей.
+
=== Макроструктура алгоритма ===
 +
1. Построение графа k-ближайших соседей по исходным данным
  
−
[[file:Fig1.svg|thumb|center|300px|Рис.1. Информационная структура алгоритма умножения матриц]]
+
2. Разбиения полученного на первом этапе графа на множество подграфов. На очередной итерации выбирается максимальный подграф, для него определяется оптимальное разбиение (подробнее описано в разделе 1.2), подграф разбивается в соответсвии с данным разбиением, начинается следующая итерация. В определенный момент, когда количество вершни в максимальном подграфе становится меньше, чем некоторая изначально заданная доля от количества вершин в первоначальном графе, разбиение прекращается.
−
[[file:Fig2.svg|thumb|center|300px|Рис.2. Информационная структура одного из вариантов алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений с блочно-двухдиагональной матрицей]]
 
  
−
== Ресурс параллелизма алгоритма ==
+
3. Итеративно осуществляется обхединение подграфов, на основе метрик взаимной связности и взаимного сходства. Процесс объединения завершается в момент достижения целевых показателей по данным метрикам.
−
Здесь приводится оценка [[глоссарий#Параллельная сложность|''параллельной сложности'']] алгоритма: числа шагов, за которое можно выполнить данный алгоритм в предположении доступности неограниченного числа необходимых процессоров (функциональных устройств, вычислительных узлов, ядер и т.п.). Параллельная сложность алгоритма понимается как высота канонической ярусно-параллельной формы [1]. Необходимо указать, в терминах каких операций дается оценка. Необходимо описать сбалансированность параллельных шагов по числу и типу операций, что определяется шириной ярусов канонической ярусно-параллельной формы и составом операций на ярусах.  
 
  
−
Параллелизм в алгоритме часто имеет естественную иерархическую структуру. Этот факт очень полезен на практике, и его необходимо отразить в описании. Как правило, подобная иерархическая структура параллелизма хорошо отражается в последовательной реализации алгоритма через циклический профиль результирующей программы (конечно же, с учетом графа вызовов), поэтому циклический профиль ([[#Описание схемы реализации последовательного алгоритма|п.1.5]]) вполне  может быть использован и для отражения ресурса параллелизма.
+
=== Схема реализации последовательного алгоритма ===
 +
Схема представлена в виде C++-подобного псевдокода, макрооперации в алгоритме выделены в соответствии с предыдущим разделом описания.
 +
  int n; // Количество точек.
 +
int k; // Параметр k
 +
int Dist[n][n]; // Матрица расстояний между точками.
 +
 
 +
integer E[n][n]; // Матрица рёбер графа
 +
 +
foreach (int i=0; i<n; i++) ) {
 +
    integer KNeighbours[k]; // список, используемый для хранения ближайших соседей
 +
    integer countN = 0;
 +
   
 +
    foreach (int j=i+1; j<n; j++ ) {
 +
      //Заполняем список k ближайших соседей по матрице Dist
 +
    }
 +
 
 +
    foreach (int j=0; j<k; j++) {
 +
      E[i][KNeighbours[j]] = 1;
 +
    }
 +
  }
 +
  return E;
  
−
Для описания ресурса параллелизма алгоритма (ресурса параллелизма информационного графа) необходимо указать ключевые параллельные ветви в терминах [[глоссарий#Конечный параллелизм|''конечного'']] и [[глоссарий#Массовый параллелизм|''массового'']] параллелизма. Далеко не всегда ресурс параллелизма выражается просто, например, через [[глоссарий#Кооодинатный параллелизм|''координатный параллелизм'']] или, что то же самое, через независимость итераций некоторых циклов (да-да-да, циклы - это понятие, возникающее лишь на этапе реализации, но здесь все так связано… В данном случае, координатный параллелизм означает, что информационно независимые вершины лежат на гиперплоскостях, перпендикулярных одной из координатных осей). С этой точки зрения, не менее важен и ресурс [[глоссарий#Скошенный параллелизм|''скошенного параллелизма'']]. В отличие от координатного параллелизма, скошенный параллелизм намного сложнее использовать на практике, но знать о нем необходимо, поскольку иногда других вариантов и не остается: нужно оценить потенциал алгоритма, и лишь после этого, взвесив все альтернативы, принимать решение о конкретной параллельной реализации. Хорошей иллюстрацией может служить алгоритм, структура которого показана на рис.2: координатного параллелизма нет, но есть параллелизм скошенный, использование которого снижает сложность алгоритма с <math>n\times m</math> в последовательном случае до <math>(n+m-1)</math> в параллельном варианте.
+
double q; //Параметр, описание находится в соответствующем разделе.
 +
Graph g = getBiggestGraph(); //Находим граф максимального размера
 +
int maxSize = getSize(g); //Находим размер данного графа
 +
while (maxSize > n * q) {
 +
    breakGraph(g); // Разбиваем граф
 +
}
  
−
Рассмотрим алгоритмы, последовательная сложность которых уже оценивалась в [[#Последовательная сложность алгоритма|п.1.6]]. Параллельная сложность алгоритма суммирования элементов вектора сдваиванием равна <math>\log_2n</math>, причем число операций на каждом ярусе убывает с <math>n/2</math> до <math>1</math>. Параллельная сложность быстрого преобразования Фурье (базовый алгоритм Кули-Тьюки) для векторов с длиной, равной степени двойки - <math>\log_2n</math>. Параллельная сложность базового алгоритма разложения Холецкого (точечный вариант для плотной симметричной и положительно-определенной матрицы) это <math>n</math> шагов для вычислений квадратного корня, <math>(n-1)</math> шагов для операций деления и <math>(n-1)</math> шагов для операций умножения и сложения.
+
Graph graphs[m]; //Разбиение по кластерам
 +
while (count(graphs)>1){
 +
    pairs_exist = false //Значение будет обновлено позже, если найдется подходящая пара для объединения
 +
    for (int i = 0; i < m; i++) {
 +
      for (int j = i + 1; j < m; j++) {
 +
          if (checkSimilarity(graphs[i],graphs[j])) { //Проверяем, достаточно ли схожи графы для объединения
 +
unite(graphs[i], graphs[l])  
 +
} else {
 +
break;
 +
}
 +
      }
 +
    }
 +
}
  
−
== Входные и выходные данные алгоритма ==
+
=== Последовательная сложность алгоритма ===
−
В данном разделе необходимо описать объем, структуру, особенности и свойства входных и выходных данных алгоритма: векторы, матрицы, скаляры, множества, плотные или разреженные структуры данных, их объем. Полезны предположения относительно диапазона значений или структуры, например, диагональное преобладание в структуре входных матриц, соотношение между размером матриц по отдельным размерностям, большое число матриц очень малой размерности, близость каких-то значений к машинному нулю, характер разреженности матриц и другие.
+
На первом этапе построение графа k-ближайших соседей требует <math>O(n^2)</math> операций.
  
−
== Свойства алгоритма ==
+
На втором этапе для итеративного разбиения требуется <math>O(nm)</math>операций, где <math>n</math> - количество вершин графа, а <math>m</math> - количество подграфов в итоговом разбиении.
−
Описываются прочие свойства алгоритма, на которые имеет смысл обратить внимание на этапе реализации. Как и ранее, никакой привязки к конкретной программно-аппаратной платформе не предполагается, однако вопросы реализации в проекте AlgoWiki всегда превалируют, и необходимость обсуждения каких-либо свойств алгоритмов определяется именно этим.
 
  
−
Весьма полезным является ''соотношение последовательной и параллельной сложности'' алгоритма. Оба понятия мы рассматривали ранее, но здесь делается акцент на том выигрыше, который теоретически может дать параллельная реализация алгоритма. Не менее важно описать и те сложности, которые могут возникнуть в процессе получения параллельной версии алгоритма.  
+
На третьем этапе требуется <math>O(m^2logm)</math> операций, причем вычисление метрики считается за одну операцию.
  
−
[[глоссарий#Вычислительная мощность|''Вычислительная мощность'']] алгоритма равна отношению числа операций к суммарному объему входных и выходных данных. Она показывает, сколько операций приходится на единицу переданных данных. Несмотря на простоту данного понятия, это значение исключительно полезно на практике: чем выше  вычислительная мощность, тем меньше накладных расходов вызывает перемещение данных для их обработки, например, на сопроцессоре, ускорителе или другом узле кластера. Например, вычислительная мощность скалярного произведения двух векторов равна всего лишь <math>1</math>, а вычислительная мощность алгоритма умножения двух квадратных матриц равна <math>2n/3</math>.
+
Итоговая оценка последовательной сложности <math>O(n^2)+O(nm)+O(m^2logm)</math>
  
−
Вопрос первостепенной важности на последующем этапе реализации - это [[глоссарий#Устойчивость|''устойчивость'']] алгоритма. Все, что касается различных сторон этого понятия, в частности, оценки устойчивости, должно быть описано в данном разделе.
+
=== Информационный граф ===
 +
[[Файл:Инфограф.png]]
  
−
''Сбалансированность'' вычислительного процесса можно рассматривать с разных сторон. Здесь и сбалансированность типов операций, в частности, арифметических операций между собой (сложение, умножение, деление) или же арифметических операций по отношению к операциям обращения к памяти (чтение/запись). Здесь и сбалансированность операций между параллельными ветвями алгоритма. С одной стороны, балансировка нагрузки является необходимым условием эффективной реализации алгоритма. Вместе с этим, это очень непростая задача, и в описании должно быть отмечено явно, насколько алгоритм обладает этой особенностью. Если обеспечение сбалансированности не очевидно, желательно описать возможные пути решения этой задачи.
+
=== Ресурс параллелизма алгоритма ===
 +
На первом этапе вычисление <math>k</math> ближайших вершин для <math>i</math>-й вершины можно распараллелить между <math>n</math> процессами (это вычисление независимо для каждой вершины).
 +
На втором и третьем этапах процессы разбиения и объединения подграфов происходят последовательно.
 +
Получаем оценку параллельной сложности алгоритма <math>O(nm)+O(m^2logm)</math>
  
−
На практике важна [[глоссарий#Детерминированность|''детерминированность алгоритмов'']], под которой будем понимать постоянство структуры вычислительного процесса. С этой точки зрения, классическое умножение плотных матриц является детерминированным алгоритмом, поскольку его структура при фиксированном размере матриц никак не зависит от элементов входных матриц. Умножение разреженных матриц, когда матрица хранятся в одном из специальных форматов, свойством детерминированности уже не обладает: его свойства, например, степень локальности данных зависит от структуры разреженности входных матриц. Итерационный алгоритм с выходом по точности также не является детерминированным: число итераций, а значит и число операций, меняется в зависимости от входных данных. В этом же ряду стоит использование датчиков случайных чисел, меняющих вычислительный процесс для различных запусков программы. Причина выделения свойства детерминированности понятна: работать с детерминированным алгоритмом проще, поскольку один раз найденная структура и будет определять качество его реализации. Если детерминированность нарушается, то это должно быть здесь описано вместе с описанием того, как недетерминированность влияет на структуру вычислительного процесса.
+
=== Входные и выходные данные алгоритма ===
 +
На вход алгоритму подается множество из <math>n</math> векторов длины <math>l</math>, описывающих объекты для кластеризации.
 +
Также передаются параметры <math>k</math> (для построения графа k ближайших соседей на первом этапе) и <math>q</math> (используется на втором этапе для определения критерия прекращения итерационного процесса).
 +
На выходе алгоритм выдает массив длины <math>n</math>, заполненный числами от <math>1</math> до <math>n</math>, показывающими, в какой кластер попал соответствующий объект.
  
−
Серьезной причиной недетерминированности работы параллельных программ является изменение порядка выполнения ассоциативных операций. Типичный пример - это использование глобальных MPI-операций на множестве параллельных процессов, например, суммирование элементов распределенного массива. Система времени исполнения MPI сама выбирает порядок выполнения операций, предполагая выполнение свойства ассоциативности, из-за чего ошибки округления меняются от запуска программы к запуску, внося изменения в конечный результат ее работы. Это очень серьезная проблема, которая сегодня встречается часто на системах с массовым параллелизмом и определяет отсутствие повторяемости результатов работы параллельных программ. Данная особенность характерна для [[#ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритмов|второй части AlgoWiki]], посвященной реализации алгоритмов, но вопрос очень важный, и соответствующие соображения, по возможности, должны быть отмечены и здесь.
+
=== Свойства алгоритма ===
 +
Первый этап алгоритма хорошо распараллеливается (так как нахождение <math>k</math> ближайших вершин для каждой вершины можно осуществлять независимо).
 +
Второй и третий этап выполняются последовательно итерация за итерацией, но возможно их частичное распараллеливание.
  
−
Заметим, что, в некоторых случаях, недетерминированность в структуре алгоритмов можно "убрать" введением соответствующих макроопераций, после чего структура становится не только детерминированной, но и более понятной для восприятия. Подобное действие также следует отразить в данном разделе.
+
Вычислительная мощность (соотношение времени выполнения и объема входных и выходных данных) для разных этапов:
  
−
[[глоссарий#Степень исхода|''Степень исхода вершины информационного графа'']] показывает, в скольких операциях ее результат будет использоваться в качестве аргумента. Если степень исхода вершины велика, то на этапе реализации алгоритма нужно позаботиться об эффективном доступе к результату ее работы. В этом смысле, особый интерес представляют рассылки данных, когда результат выполнения одной операции используется во многих других вершинах графа, причем число таких вершин растет с увеличением значения внешних переменных.
+
<math>O(1)</math> для первого этапа
  
−
''"Длинные" дуги в информационном графе'' [1] говорят о потенциальных сложностях с размещением данных в иерархии памяти компьютера на этапе выполнения программы. С одной стороны, длина дуги зависит от выбора конкретной системы координат, в которой расположены вершины графа, а потому в другой системе координат они попросту могут исчезнуть (но не появится ли одновременно других длинных дуг?). А с другой стороны, вне зависимости от системы координат их присутствие может быть сигналом о необходимости длительного хранения данных на определенном уровне иерархии, что накладывает дополнительные ограничения на эффективность реализации алгоритма. Одной из причин возникновения длинных дуг являются рассылки скалярных величин по всем итерациям какого-либо цикла: в таком виде длинные дуги не вызывают каких-либо серьезных проблем на практике.
+
<math>O(\frac{nm}{n^2+m^2})</math> для второго этапа
  
−
Для проектирования специализированных процессоров или реализации алгоритма на ПЛИС представляют интерес ''компактные укладки информационного графа'' [1], которые также имеет смысл привести в данном разделе.
+
<math>O(\frac{m^2log(m)}{m^2+n})</math> для третьего этапа
  
−
= ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма =
 
−
Вторая часть описания алгоритмов в рамках AlgoWiki рассматривает все составные части процесса их реализации. Рассматривается как последовательная реализация алгоритма, так и параллельная. Описывается взаимосвязь свойств программ, реализующих алгоритм, и особенностей архитектуры компьютера, на которой они выполняются. Исследуется работа с памятью, локальность данных и вычислений, описывается масштабируемость и эффективность параллельных программ, производительность компьютеров, достигаемая на данной программе. Обсуждаются особенности реализации для разных классов архитектур компьютеров, приводятся ссылки на реализации в существующих библиотеках.
 
  
−
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
+
1-й этап алгоритма детерминирован (граф <math>k</math> ближайших соседей всегда одинаков), второй и третий этапы недетерминированы (зависят от того, какие подграфы будут выбираться на итерациях алгоритма)
−
Здесь описываются особенности и варианты реализации алгоритма в виде последовательной программы, которые влияют на [[глоссарий#Эффективность реализации|''эффективность ее выполнения'']]. В частности, в данном разделе имеет смысл ''сказать о существовании блочных вариантов реализации алгоритма'', дополнительно описав потенциальные преимущества или недостатки, сопровождающие такую реализацию. Важный вопрос - это ''возможные варианты организации работы с данными'', варианты структур данных, наборов временных массивов и другие подобные вопросы. Для различных вариантов реализации следует оценить доступный ресурс параллелизма и объем требуемой памяти.
 
  
−
Важным нюансом является ''описание необходимой разрядности выполнения операций алгоритма'' (точности). На практике часто нет никакой необходимости выполнять все арифметические операции над вещественными числами с двойной точностью, т.к. это не влияет ни на устойчивость алгоритма, ни на точность получаемого результата. В таком случае, если значительную часть операций можно выполнять над типом float, и лишь в некоторых фрагментах необходим переход к типу double, это обязательно нужно отметить. Это прямое указание не только на правильную реализацию с точки зрения устойчивости по отношению к ошибкам округления, но и на более эффективную.
+
==Программная реализация алгоритма==
 +
===Особенности реализации последовательного алгоритма===
 +
===Локальность данных и вычислений===
 +
===Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма===
 +
===Масштабируемость алгоритма и его реализации===
  
−
Опираясь на информацию из [[#Описание ресурса параллелизма алгоритма|п.1.8]] (описание ресурса параллелизма алгоритма), при описании последовательной версии стоит сказать про возможности [[глоссарий#Эквивалентное преобразование|''эквивалентного преобразования программ'']], реализующих данных алгоритм. В дальнейшем, это даст возможность простого использования доступного параллелизма или же просто покажет, как использовать присущий алгоритму параллелизм на практике. Например, параллелизм на уровне итераций самого внутреннего цикла обычно используется для векторизации. Однако, в некоторых случаях этот параллелизм можно поднять "вверх" по структуре вложенности объемлющих циклов, что делает возможной и эффективную реализацию данного алгоритма на многоядерных SMP-компьютерах.
+
Реализации алгоритма Chameleon для систем с распределенной памятью найдено не было, но была найдена параллельная реализация для систем с общей памятью <ref name="real">http://research.ijcaonline.org/volume79/number8/pxc3891600.pdf</ref>. Для данной реализации авторы приводят информацию о производительности, но не приводят исходный код программы. По этой причине была исследована масштабируемость алгоритма в зависимости от количества точек для кластеризации для реализации в пределах одного узла для реализации <ref name="rel_code">http://www.codeforge.com/article/192925</ref>. Запуск программы осуществлялся на вычислительном комплексе IBM Blue Gene/P на одном узле. Характеристики узла приведены по ссылке <ref name="har">http://hpc.cmc.msu.ru/bgp</ref>.
 +
Далее приведены графики зависимости времени работы программы от размера входных данных. Графики для 4-х и 8 процессов оценочны.
  
−
С этой же точки зрения, в данном разделе весьма полезны соображения по реализации алгоритма на различных параллельных вычислительных платформах. Высокопроизводительные кластеры, многоядерные узлы, возможности для векторизации или использования ускорителей - особенности этих архитектур не только опираются на разные свойства алгоритмов, но и по-разному должны быть выражены в программах, что также желательно описать в данном разделе.
+
[[Файл:718bad6be0fe40419c7ad15675f079f4.png|600px]]
  
−
== [[Локальность данных и вычислений]] ==
+
Эффективность алгоритма убывает с ростом числа процессов. Темпы убывания эффективности растут с ростом размера входных данных.
−
Вопросы локальности данных и вычислений не часто изучаются на практике, но именно локальность определяет эффективность выполнения программ на современных вычислительных платформах [2, 3]. В данном разделе приводятся оценки степени [[глоссарий#Локальность использования данных|''локальности данных'']] и [[глоссарий#Локальность вычислений|вычислений]] в программе, причем рассматривается как [[глоссарий#Временная локальность|''временна́я'']], так и [[глоссарий#Пространственная локальность|''пространственная'']] локальность. Отмечаются позитивные и негативные факты, связанные с локальностью, какие ситуации и при каких условиях могут возникать. Исследуется, как меняется локальность при переходе от последовательной реализации к параллельной. Выделяются ключевые шаблоны взаимодействия программы, реализующей описываемый алгоритм, с памятью. Отмечается возможная взаимосвязь между используемыми конструкциями языков программирования и степенью локальности, которыми обладают результирующие программы.  
 
  
−
Отдельно приводятся профили взаимодействия с памятью для вычислительных ядер и ключевых фрагментов. Если из-за большого числа обращений по общему профилю сложно понять реальную специфику взаимодействия программ с памятью, то проводится последовательная детализация и приводится серия профилей более мелкого масштаба.  
+
===Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма===
 +
===Выводы для классов архитектур===
 +
===Существующие реализации алгоритма===
 +
Одна из последовательных реализаций алгоритма находится по ссылке [http://codeforge.com/article/192925]
  
−
На рис.3 и рис.4 показаны профили обращения в память для программ, реализующих разложение Холецкого и быстрое преобразование Фурье, по которым хорошо видна разница свойств локальности у данных алгоритмов.
+
Параллельных реализаций алгоритма найдено не было
  
−
[[file:Cholesky_locality1.jpg|thumb|center|700px|Рис.3 Реализация метода Холецкого. Общий профиль обращений в память]]
+
==Литература==
−
[[file:fft 1.PNG|thumb|center|700px|Рис.4 Нерекурсивная реализация БПФ для степеней двойки. Общий профиль обращений в память]]
 
−
 
 
−
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
 
−
Раздел довольно обширный, в котором должны быть описаны основные факты и положения, формирующие параллельную программу. К их числу можно отнести:
 
−
* представленный иерархически ресурс параллелизма, опирающийся на структуру циклических конструкций и на граф вызовов программы;
 
−
* комбинацию (иерархию) массового параллелизма и параллелизма конечного;
 
−
* возможные способы распределения операций между процессами/нитями;
 
−
* возможные способы распределения данных;
 
−
* оценку количества операций, объёма и числа пересылок данных (как общего числа, так и в пересчёте на каждый параллельный процесс);
 
−
 
 
−
и другие.
 
−
 
 
−
В этом же разделе должны быть даны рекомендации или сделаны комментарии относительно реализации алгоритма с помощью различных технологий параллельного программирования: MPI, OpenMP, CUDA или использования директив векторизации.
 
−
 
 
−
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==
 
−
Задача данного раздела - показать пределы [[глоссарий#Масштабируемость|''масштабируемости'']] алгоритма на различных платформах. Очень важный раздел. Нужно выделить, описать и оценить влияние точек барьерной синхронизации, глобальных операций, операций сборки/разборки данных, привести оценки или провести исследование [[глоссарий#Сильная масштабируемость|''сильной'']] и [[глоссарий#Слабая масштабируемость|''слабой'']] масштабируемости алгоритма и его реализаций.
 
−
 
 
−
Масштабируемость алгоритма определяет свойства самого алгоритма безотносительно конкретных особенностей используемого компьютера. Она показывает, насколько параллельные свойства алгоритма позволяют использовать возможности растущего числа процессорных элементов. Масштабируемость параллельных программ определяется как относительно конкретного компьютера, так и относительно используемой технологии программирования, и в этом случае она показывает, насколько может вырасти реальная производительность данного компьютера на данной программе, записанной с помощью данной технологии программирования, при использовании бóльших вычислительных ресурсов (ядер, процессоров, вычислительных узлов).
 
−
 
 
−
Ключевой момент данного раздела заключается в том, чтобы показать ''реальные параметры масштабируемости программы'' для данного алгоритма на различных вычислительных платформах в зависимости от числа процессоров и размера задачи  [4]. При этом важно подобрать такое соотношение между числом процессоров и размером задачи, чтобы отразить все характерные точки в поведении параллельной программы, в частности, достижение максимальной производительности, а также тонкие эффекты, возникающие, например, из-за блочной структуры алгоритма или иерархии памяти.
 
−
 
 
−
На рис.5. показана масштабируемость классического алгоритма умножения плотных матриц в зависимости от числа процессоров и размера задачи. На графике хорошо видны области с большей производительностью, отвечающие уровням кэш-памяти.
 
−
[[file:Масштабируемость перемножения матриц производительность.png|thumb|center|700px|Рис.5 Масштабируемость классического алгоритма умножения плотных матриц в зависимости от числа процессоров и размера задачи]]
 
−
 
 
−
== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
 
−
Это объемный раздел AlgoWiki, поскольку оценка эффективности реализации алгоритма требует комплексного подхода [5], предполагающего аккуратный анализ всех этапов от архитектуры компьютера до самого алгоритма. Основная задача данного раздела заключается в том, чтобы оценить степень эффективности параллельных программ, реализующих данный алгоритм на различных платформах, в зависимости от числа процессоров и размера задачи. Эффективность в данном разделе понимается широко: это и [[глоссарий#Эффективность распараллеливания|''эффективность распараллеливания'']] программы, это и [[глоссарий#Эффективность реализации|''эффективность реализации'']] программ по отношению к пиковым показателям работы вычислительных систем.
 
−
 
 
−
Помимо собственно показателей эффективности, нужно описать и все основные причины, из-за которых эффективность работы параллельной программы на конкретной вычислительной платформе не удается сделать выше. Это не самая простая задача, поскольку на данный момент нет общепринятой методики и соответствующего инструментария, с помощью которых подобный анализ можно было бы провести. Требуется оценить и описать эффективность работы с памятью (особенности профиля взаимодействия программы с памятью), эффективность использования заложенного в алгоритм ресурса параллелизма, эффективность использования коммуникационной сети (особенности коммуникационного профиля), эффективность операций ввода/вывода и т.п. Иногда достаточно интегральных характеристик по работе программы, в некоторых случаях полезно показать данные мониторинга нижнего уровня, например, по загрузке процессора, кэш-промахам, интенсивности использования сети Infiniband и т.п. Хорошее представление о работе параллельной MPI-программы дают данные трассировки, полученные, например, с помощью системы Scalasca.
 
−
 
 
−
== Выводы для классов архитектур ==
 
−
В данный раздел должны быть включены рекомендации по реализации алгоритма для разных классов архитектур. Если архитектура какого-либо компьютера или платформы обладает специфическими особенностями, влияющими на эффективность реализации, то это здесь нужно отметить.
 
−
 
 
−
На практике это сделать можно по-разному: либо все свести в один текущий раздел, либо же соответствующие факты сразу включать в предшествующие разделы, где они обсуждаются и необходимы по смыслу. В некоторых случаях, имеет смысл делать отдельные варианты всей [[#ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритмов|части II]] AlgoWiki применительно к отдельным классам архитектур, оставляя общей машинно-независимую [[#ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов|часть I]]. В любом случае, важно указать и позитивные, и негативные факты по отношению к конкретным классам. Можно говорить о возможных вариантах оптимизации или даже о "трюках" в написании программ, ориентированных на целевые классы архитектур.
 
−
 
 
−
== Существующие реализации алгоритма ==
 
−
Для многих пар алгоритм+компьютер уже созданы хорошие реализации, которыми можно и нужно пользоваться на практике. Данный раздел предназначен для того, чтобы дать ссылки на основные существующие последовательные и параллельные реализации алгоритма, доступные для использования уже сейчас. Указывается, является ли реализация коммерческой или свободной, под какой лицензией распространяется, приводится местоположение дистрибутива и имеющихся описаний. Если есть информация об особенностях, достоинствах и/или недостатках различных реализаций, то это также нужно здесь указать. Хорошими примерами реализации многих алгоритмов являются MKL, ScaLAPACK, PETSc, FFTW, ATLAS, Magma и другие подобные библиотеки.
 
−
 
 
−
= Литература =
 
−
[1] Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. - СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.
 
−
 
 
−
[2] Воеводин В.В., Воеводин Вад.В. Спасительная локальность суперкомпьютеров //Открытые системы. - 2013. - № 9. - С. 12-15.
 
−
 
 
−
[3] Воеводин Вад.В., Швец П. Метод покрытий для оценки локальности использования данных в программах // Вестник УГАТУ. — 2014. — Т. 18, № 1(62). — С. 224–229.
 
−
 
 
−
[4] Антонов А.С., Теплов А.М. О практической сложности понятия масштабируемости параллельных программ// Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах (HPC 2014): Материалы XIV Международной конференции -Пермь: Издательство ПНИПУ, 2014. С. 20-27.
 
−
 
 
−
[5] Никитенко Д.А. Комплексный анализ производительности суперкомпьютерных систем, основанный на данных системного мониторинга // Вычислительные методы и программирование. 2014. 15. 85–97.
 
−
 
 
−
[[en:Description of algorithm properties and structure]]
 

Текущая версия на 10:26, 6 февраля 2017

Symbol wait.svgЭта работа прошла предварительную проверку
Дата последней правки страницы: 06.02.2017
Данная работа соответствует формальным критериям.
Проверено ASA.


Автор статьи: Хромов А. К.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм CHAMELEON - алгоритм динамической иерархической кластеризации графа. [1] Кластеризация - разбиение графа на несколько подграфов таким образом, чтобы объекты внутри одного кластера были максимально близки (схожи), а данные двух различных кластеров максимально различались. Различие и схожесть объектов определяются некоей метрикой, известной заранее. Количество кластеров, на которые будет разбит граф, заранее неизвестно, и зависит от свойств объекта и выбранной метрики. Простейшей возможной метриков является расстояние между точками (если предполагать, что у каждой вершины графа есть координаты).

Алгоритм состоит из 3-х основных этапов:

1-й этап заключается в построении изначального графа по множеству объектов и метрике схожести по принципу k ближайших соседей (вершина графа, соответствующая некому объекту соединяется с k вершинами, расстояние до которых минимально)

2-й этап заключается в разбиении построенного графа на небольшие кластеры (связные подграфы)

3-й этап состоит в формировании итогового множества кластеров

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные

Множество из n объектов и заданные расстояния между объектами. Эта информация позволяет построить матрицу смежности, в которой будут указаны расстояния между соответствующими объектами по некой метрике. Матрица смежности симметрична, на главной диагонали стоят 0, поэтому достаточно хранить [math]\frac{n(n-1)}{2}[/math] элементов. Кроме того задаются параметры, влияющие на работу алгоритма - число k, по которому на первом этапе строится граф по принципу k ближайших соседей, и два параметра [math]{T_{ri}}[/math] и [math]{T_{rc}}[/math], используемые на третьем этапе для того, что определить, что не нужно далее продолжать кластеризацию.

Первый этап

На первом этапе строится граф [math]G(V,E)[/math], [math]V[/math] - множество вершин, [math]E[/math] - множество ребер, по принципу k ближайших соседей. Изначально граф состоит из множества вершин и пустого множества ребер. Для каждой вершины графа мы выбираем k других вершин, расстояния до которых минимальны (то есть k первых вершин в списке вершин графа, упорядоченных по увеличению расстояния до данной) и добавляем в множество ребер соответствующие ребра, соединяющие данную вершину с каждой из выбранных k вершин.

Второй этап

Состоит в итеративном разбиении графа на множество подграфов. Изначально (на первой итерации) разбиение состоит из единственного подграфа. Пусть [math]T[/math] - множество подграфов на текущей итерации. Каждая итерация выполняется следующим образом - выбирается максимальный подграф из имеющихся в разбиении по числу вершин (то есть такой подграф [math]G_1(V_1,E_1)\in{T}: \forall {G_2(V_2,E_2)\in{T}: G_2\neq G_1} =\gt |(V_1)|\gt |(V_2)|[/math] ). Выбранный подграф разбивается на 2 подграфа следующим образом - сначала выбираются все разбиения [math]G_2(V_2,E_2)[/math] и [math]G_3(V_3,E_3)[/math], такие, что [math]\min(|V_2|,|V_3|)\geq\frac{|V_1|}{4}[/math]. Далее среди всех таких разбиений выбирается такое, для которого величина [math]\sum{|E_1^*|},E_1^* [/math]- некое ребро, ведущее из вершины, попавшей в [math]G_2[/math] в вершину, попавшую в [math]G_3[/math]. В определенный момент, когда размер наибольшего кластера [math]|V_b|\leq{q*|V|}[/math], где [math]|V|[/math] - количество вершин в изначальном графе, а [math]q[/math] - предварительно заданный параметр, процесс дальнейшего разибения прекращается и алгоритм переходи на 3-й этап

Третий этап алгоритма: 

Введем несколько определений:

Абсолютной взаимной связностью пары кластеров называется величина [math]EC_{({C_i},{C_j})}[/math], вычисляется как сумма весов ребер, соединяющих вершина 1-го кластера [math]C_i[/math] с вершинами второго кластера [math]C_j[/math]. Внутренняя связность кластера [math]E_{C_i}[/math]вычисляется как сумма весов ребер, входящих в разделитель, разбивающих [math]C_i[/math] на 2 равных подграфа.

Относительная взаимная связность пары кластеров [math]RI_{(C_i,C_j)}[/math] вычисляется по формуле [math]RI_{(C_i,C_j)}=\frac{2*|EC_{(C_i,C_j)}|}{|EC_{C_i}|+|EC_{C_j}|}[/math]

Абсолютное взаимное сходство пары кластеров [math]S_{E_{(C_i,C_j)}}[/math]вычисляется как среднее сходство между связанными вершинами [math]C_i[/math] и [math]C_j[/math]

Относительное взаимное сходство пары кластеров [math]C_i[/math] и [math]C_j[/math] обозначается [math]RC_{(C_i,C_j)}[/math]и рассчитывается по формуле

[math]RC_{(C_i,C_j)}=\frac{S_{EC_{(C_i,C_j)}}}{\frac{|C_i|}{|C_i|+|C_j|}*S_{EC_{(C_i)}}+{\frac{|C_j|}{|C_i|+|C_j|}*S_{EC_{(C_j)}}}}[/math]

На третьем этапе происходит агломеративная иерархическая кластеризация.

Есть два различных подхода анализа сходства.

Первый - для каждой пары кластеров проверяется истинность следующих высказываний

[math]RI(Ci,Cj)\geq{T_{RI}} [/math] и [math]RC_{(C_{i},C_{j})}\geq{T_{RC}}[/math]

В случае, если для некоторого [math]C_i[/math] существует несколько кластеров [math]C_j[/math], удовлетворяющих этим условиям, выбирается такой [math]C_j[/math], что

значение [math]EC_{(C_i,C_j)}[/math] максимально.

Процесс останавливается, когда нет кластеров, удовлетворяющих указанным условиям (либо когда остался только 1 кластер)

Второй подход - выбирается такая пара кластеров, что [math]RI_{(C_i,C_j)}*RC^\alpha_{(C_i,C_j)}[/math] максимально, где [math]\alpha[/math] - заданный заранее параметр.

Процесс останавливается, когда нет кластеров, удовлетворяющих указанным условиям (либо когда остался только 1 кластер) [2]

1.3  Вычислительное ядро алгоритма

На первом этапе вычислительное ядро состоит из построения графа k ближайших соседей по исходной матрице смежности (требуется для каждой вершины перебрать всех соседей и выделить k ближайших)

На втором этапе вычислительное ядро состоит из повторяющегося нахождения разбиения графа на два подграфа, удовлетворяющего ранее описанным условиям

На третьем этапе вычислительное ядро состоит из вычисления на очередном этапе метрики схожести для двух кластеров, и их последующего объединения

1.4  Макроструктура алгоритма

1. Построение графа k-ближайших соседей по исходным данным

2. Разбиения полученного на первом этапе графа на множество подграфов. На очередной итерации выбирается максимальный подграф, для него определяется оптимальное разбиение (подробнее описано в разделе 1.2), подграф разбивается в соответсвии с данным разбиением, начинается следующая итерация. В определенный момент, когда количество вершни в максимальном подграфе становится меньше, чем некоторая изначально заданная доля от количества вершин в первоначальном графе, разбиение прекращается.

3. Итеративно осуществляется обхединение подграфов, на основе метрик взаимной связности и взаимного сходства. Процесс объединения завершается в момент достижения целевых показателей по данным метрикам.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Схема представлена в виде C++-подобного псевдокода, макрооперации в алгоритме выделены в соответствии с предыдущим разделом описания. 

 int n; // Количество точек.
int k; // Параметр k
int Dist[n][n]; // Матрица расстояний между точками.
 
integer E[n][n]; // Матрица рёбер графа

foreach (int i=0; i<n; i++) ) {
   integer KNeighbours[k]; // список, используемый для хранения ближайших соседей
   integer countN = 0;
   
   foreach (int j=i+1; j<n; j++ ) {
     //Заполняем список k ближайших соседей по матрице Dist
   }
 
   foreach (int j=0; j<k; j++) {
     E[i][KNeighbours[j]] = 1;
   }
 }
 return E;

double q; //Параметр, описание находится в соответствующем разделе. 
Graph g = getBiggestGraph(); //Находим граф максимального размера
int maxSize = getSize(g); //Находим размер данного графа
while (maxSize > n * q) { 
   breakGraph(g); // Разбиваем граф
}

Graph graphs[m]; //Разбиение по кластерам
while (count(graphs)>1){
   pairs_exist = false //Значение будет обновлено позже, если найдется подходящая пара для объединения
   for (int i = 0; i < m; i++) {
      for (int j = i + 1; j < m; j++) { 
         if (checkSimilarity(graphs[i],graphs[j])) { //Проверяем, достаточно ли схожи графы для объединения
			unite(graphs[i], graphs[l]) 
		 } else {
			break;
		 }
      }
   }
}

1.6  Последовательная сложность алгоритма

На первом этапе построение графа k-ближайших соседей требует [math]O(n^2)[/math] операций.

На втором этапе для итеративного разбиения требуется [math]O(nm)[/math]операций, где [math]n[/math] - количество вершин графа, а [math]m[/math] - количество подграфов в итоговом разбиении.

На третьем этапе требуется [math]O(m^2logm)[/math] операций, причем вычисление метрики считается за одну операцию.

Итоговая оценка последовательной сложности [math]O(n^2)+O(nm)+O(m^2logm)[/math]

1.7 Информационный граф

Инфограф.png

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

На первом этапе вычисление [math]k[/math] ближайших вершин для [math]i[/math]-й вершины можно распараллелить между [math]n[/math] процессами (это вычисление независимо для каждой вершины). На втором и третьем этапах процессы разбиения и объединения подграфов происходят последовательно. Получаем оценку параллельной сложности алгоритма [math]O(nm)+O(m^2logm)[/math]

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

На вход алгоритму подается множество из [math]n[/math] векторов длины [math]l[/math], описывающих объекты для кластеризации. Также передаются параметры [math]k[/math] (для построения графа k ближайших соседей на первом этапе) и [math]q[/math] (используется на втором этапе для определения критерия прекращения итерационного процесса). На выходе алгоритм выдает массив длины [math]n[/math], заполненный числами от [math]1[/math] до [math]n[/math], показывающими, в какой кластер попал соответствующий объект.

1.10 Свойства алгоритма

Первый этап алгоритма хорошо распараллеливается (так как нахождение [math]k[/math] ближайших вершин для каждой вершины можно осуществлять независимо). Второй и третий этап выполняются последовательно итерация за итерацией, но возможно их частичное распараллеливание.

Вычислительная мощность (соотношение времени выполнения и объема входных и выходных данных) для разных этапов:

[math]O(1)[/math] для первого этапа

[math]O(\frac{nm}{n^2+m^2})[/math] для второго этапа

[math]O(\frac{m^2log(m)}{m^2+n})[/math] для третьего этапа


1-й этап алгоритма детерминирован (граф [math]k[/math] ближайших соседей всегда одинаков), второй и третий этапы недетерминированы (зависят от того, какие подграфы будут выбираться на итерациях алгоритма)

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Реализации алгоритма Chameleon для систем с распределенной памятью найдено не было, но была найдена параллельная реализация для систем с общей памятью [3]. Для данной реализации авторы приводят информацию о производительности, но не приводят исходный код программы. По этой причине была исследована масштабируемость алгоритма в зависимости от количества точек для кластеризации для реализации в пределах одного узла для реализации [4]. Запуск программы осуществлялся на вычислительном комплексе IBM Blue Gene/P на одном узле. Характеристики узла приведены по ссылке [5]. Далее приведены графики зависимости времени работы программы от размера входных данных. Графики для 4-х и 8 процессов оценочны.

718bad6be0fe40419c7ad15675f079f4.png

Эффективность алгоритма убывает с ростом числа процессов. Темпы убывания эффективности растут с ростом размера входных данных.

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

Одна из последовательных реализаций алгоритма находится по ссылке [1]

Параллельных реализаций алгоритма найдено не было

3 Литература

  1. ↑ http://studopedia.ru/7_41934_algoritm-dinamicheskoy-ierarhicheskoy-klasterizatsii-CHAMELEON.html
  2. ↑ http://www-users.cs.umn.edu/~han/dmclass/chameleon.pdf
  3. ↑ http://research.ijcaonline.org/volume79/number8/pxc3891600.pdf
  4. ↑ http://www.codeforge.com/article/192925
  5. ↑ http://hpc.cmc.msu.ru/bgp
Источник — https://algowiki-project.org/w/ru/index.php?title=Участник:Hromovalexander/Алгоритм_динамической_иерархической_кластеризации_CHAMELEON&oldid=22157