Метод ортогонализации: различия между версиями
| [досмотренная версия] | [досмотренная версия] |
Frolov (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{level-m}} '''Ортогонализация Грама-Шмидта''' — это один из методов, в которых на основе множес…») |
Frolov (обсуждение | вклад) м |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
{{level-m}} | {{level-m}} | ||
'''Ортогонализация Грама-Шмидта''' — это один из методов, в которых на основе множества линейно независимых векторов <math>{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{N}}</math> строится множество ортогональных векторов <math>{\displaystyle \mathbf {b}_{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N}} </math> или ортонормированных векторов <math>{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e}_{N}} </math>, причём так, что каждый вектор <math>{\displaystyle \mathbf {b} _{j}} </math> или <math>{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}</math> может быть выражен линейной комбинацией векторов <math>{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\; \mathbf {a} _{j}}</math>. Данный процесс может быть использован для получения [[QR-разложения плотных неособенных матриц|QR-разложения]], в которой систему исходных векторов образуют столбцы исходной матрицы, а столбцы матрицы Q представляют из себя набор полученных при ортогонализации векторов. Таким образом, в отличие от методов Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), основанных на приведении матрицы левыми унитарными/ортогональными преобразованиями к треугольному виду, метод ортогонализации основан на приведении матрицы правыми неортогональными (можно сказать, треугольными) преобразованиями к унитарному/ортогональному виду. | '''Ортогонализация Грама-Шмидта''' — это один из методов, в которых на основе множества линейно независимых векторов <math>{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{N}}</math> строится множество ортогональных векторов <math>{\displaystyle \mathbf {b}_{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N}} </math> или ортонормированных векторов <math>{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e}_{N}} </math>, причём так, что каждый вектор <math>{\displaystyle \mathbf {b} _{j}} </math> или <math>{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}</math> может быть выражен линейной комбинацией векторов <math>{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\; \mathbf {a} _{j}}</math>. Данный процесс может быть использован для получения [[QR-разложения плотных неособенных матриц|QR-разложения]], в которой систему исходных векторов образуют столбцы исходной матрицы, а столбцы матрицы Q представляют из себя набор полученных при ортогонализации векторов. Таким образом, в отличие от методов Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), основанных на приведении матрицы левыми унитарными/ортогональными преобразованиями к треугольному виду, метод ортогонализации основан на приведении матрицы правыми неортогональными (можно сказать, треугольными) преобразованиями к унитарному/ортогональному виду. | ||
| + | |||
| + | == Математические основы метода == | ||
| + | |||
| + | [[Классический метод ортогонализации QR-разложения квадратной матрицы (вещественный вариант)|Классический метод ортогонализации]] довольно прост, однако из-за неустойчивости, проявляющейся в неортогональности получаемых систем, редко применяется на практике. | ||
| + | |||
| + | Наиболее распространённой формой метода является [[Метод ортогонализации QR-разложения квадратной матрицы с переортогонализацией (вещественный вариант)|Вариант метода ортогонализации с переортогонализацией]]. | ||
Версия 14:12, 4 мая 2017
Ортогонализация Грама-Шмидта — это один из методов, в которых на основе множества линейно независимых векторов [math]{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{N}}[/math] строится множество ортогональных векторов [math]{\displaystyle \mathbf {b}_{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N}} [/math] или ортонормированных векторов [math]{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e}_{N}} [/math], причём так, что каждый вектор [math]{\displaystyle \mathbf {b} _{j}} [/math] или [math]{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}[/math] может быть выражен линейной комбинацией векторов [math]{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\; \mathbf {a} _{j}}[/math]. Данный процесс может быть использован для получения QR-разложения, в которой систему исходных векторов образуют столбцы исходной матрицы, а столбцы матрицы Q представляют из себя набор полученных при ортогонализации векторов. Таким образом, в отличие от методов Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), основанных на приведении матрицы левыми унитарными/ортогональными преобразованиями к треугольному виду, метод ортогонализации основан на приведении матрицы правыми неортогональными (можно сказать, треугольными) преобразованиями к унитарному/ортогональному виду.
Математические основы метода
Классический метод ортогонализации довольно прост, однако из-за неустойчивости, проявляющейся в неортогональности получаемых систем, редко применяется на практике.
Наиболее распространённой формой метода является Вариант метода ортогонализации с переортогонализацией.
