QR-разложения плотных неособенных матриц
Нахождение разложения матриц в виде A = QR, где Q - унитарная, R — правая треугольная матрица[1]., является важным этапом при решении некоторых более сложных задач. Существование такого разложения, в котором правая треугольная матрица ещё и не содержит нулей на диагонали, доказано[2] для невырожденных матриц. Однако в ряде случаев QR-разложение (возможно, с нулями на диагонали R) нужно и в задачах без гарантии невырожденности. Поэтому для нахождения такого разложения разработано несколько классических методов, являющихся конструктивным доказательством существования разложения в общем случае, а также их варианты.
Содержание
1 Методы нахождения QR-разложения плотных неособенных матриц
Классические методы QR-разложения можно разделить на две группы: приведения матрицы унитарными преобразованиями к треугольному виду и приведения матрицы неунитарными преобразованиями к унитарному виду. К первой группе относятся методы Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), ко второй — метод ортогонализации. Строго говоря, доказательство теоремы[2] о существовании даёт ещё один способ разложения — через разложение Холецкого матрицы A^*A с последующей обратной подстановкой, но для вырожденных матриц он не работает, поэтому обычно не применяется.
1.1 Методы приведения унитарными преобразованиями к треугольному виду
1.1.1 Метод Гивенса
Классический метод Гивенса (вращений) основан на преобразованиях вращения (умножения на матрицы Гивенса) слева для приведения матрицы к правому треугольному виду R. Имеет линейный по размеру задачи критический путь графа.
1.1.2 Метод Хаусхолдера
Классический метод Хаусхолдера (отражений) основан на преобразованиях отражения (Хаусхолдера) слева для приведения матрицы к правому треугольному виду R. Устойчивый классический вариант имеет квадратичный по размеру задачи критический путь графа, применение сдваивания уменьшает его до O (n log_{2} n). Тем не менее, в библиотеках программ более популярен, чем метод Гивенса, из-за того, что легче опирается на базовые подпрограммы библиотеки BLAS.
1.2 Другие методы
1.2.1 Метод ортогонализации
Метод ортогонализации основан на процессе ортогонализации столбцов матрицы. Таким образом, правыми треугольными преобразованиями матрица приводится к унитарному виду Q. Классический метод неустойчив, а переортогонализация делает этот метод более медленным.
1.2.2 Метод треугольного разложения матрицы Грама
Практически не применяющийся метод работает только в условиях гарантированной невырожденности исходной матрицы A. Состоит из трёх частей: нахождение матрицы Грама A^*A столбцов исходной матрицы, нахождение_симметричного_треугольного_разложения матрицы Грама A^*A в виде R^*R, нахождение унитарной матрицы Q=AR^{-1}, например, с помощью модифицированной обратной подстановки.
2 Литература
- ↑ В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
- ↑ Перейти обратно: 2,0 2,1 Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.