Участник:Full/Поиск автоморфизмов графов

Алгоритм: Поиск автоморфизмов графов
Автор статьи: Ефремов С.С. (группа 419)

1 Свойства и структура алгоритмов

Данный алгоритм, описанный в статье Егорова В.Н., предназначен для поиска автоморфизмов графов, которые можно представить в виде матриц смежности, а также для исследования изоморфности графов. Так как алгоритм работает с матрицами, можно решать эти же задачи и на других комбинаторных объектах, представимых матрицами смежности.

1.1 Общее описание алгоритма

На вход подается матрица смежности графа. При отображение вершины v1 в вершину v2 в соответсвующей графу матрице меняются местами строка и столбец v1 со строкой и столбцом v2. Автоморфизмом является отображение множества вершин графа на себя, сохраняющее смежность. Это есть такая перестановка строк и столбцов матрицы, после применения которой, матрица останется той же.

1.2 Математическое описание алгоритма

1.2.1 Определения и обозначения

$A = A^{n\times n}$ - матрица смежности графа $G(V,E)$ размера $n\times n$; $a_{ij}$ - элементы матрицы ,$\ i,j = 1,\ldots,n=|V|$.

Частичным отображением $g^s_k$ ($s$ - обозначает индекс элемента в множестве $M_k$) называется подстановка вида

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & k & k+1 &\ldots & n\cr r_1 & r_2 & \ldots & r_k & q_{k+1} & \ldots & q_n \end{pmatrix}$

, где $r_1,\ldots,r_k$ - фиксированные (заданные) элементы, $q_{k+1},\ldots,q_n$ - произвольные, причем последовательность $r_1,\ldots,r_k$, $q_{k+1},\ldots,q_n$ является перестановкой вершин заданного графа.

$M_k$ - множество, состоящее из элементов $g^s_k$, $\ s = 1,\ldots,n_k=|M_k|$.

$|M_k|$ - количество элементов $g^s_k$ в множестве.

$M'_k$ - множество элементов, которые содержатся в $M_k$ и удовлетворяют критерию $h$.

h - критерий (описанный далее).

$\{M'_k\}$ - последовательность множеств $M'_k$, $k = 1,\ldots,n$.

1.2.2 Проверка по критерию

Критерием $h$ является проверка подматриц на равенство. Предположим, требуется определить, удовлетворяет ли элемент $g^s_k$ критерию h. Для этого необходимо, чтобы элементы $a_{ij}$, для всех $i,j \leq k$, были равны соответствующим элементам $a_{r_ir_j}$. Подматрица $g^s_k$ выглядит так:

$\begin{matrix} & r_1 & r_2 & \dots & r_k \cr r_1 & a_{r_1r_1} & a_{r_1r_2} & \dots & a_{r_1r_k} \cr r_2 & a_{r_2r_1} & a'_{r_2r_2} & \dots & a_{r_2r_k} \cr \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr r_k & a_{r_kr_1} & a_{r_kr_2} & \dots & a_{r_kr_k} \cr \end{matrix}$

Если хотя бы одно из равенств не выполнено, это означает, что по данной частичной подстановке хотя бы одна вершина отобразилась в другую так, что структура графа изменилась. А так как частичная перестановка $g^s_k$ фиксирует $r_1, \ldots r_k$, то структура останется измененой, что означает отображение не будет являться автоморфизмом.

1.2.3 Построение множеств частичных отображений

Описание построения $M'_n$.

На первом этапе рассматриваются все $g^s_1$, образующие множество $M_1$. Каждый элемент $g^s_1$ проверяется по критерию h. Элементы, удовлетворяющие h, образуют $M'_1$. В каждый элемент из $M'_1$ добавляется еще одно отображение (2 $\to$ $r_2$), т.е. происходит переход от $g^s_1$ к $g^s_2$. Из каждого $g^s_1$ получается разных $(n-1)$ элементов $g^s_2$. Всевозможные элементы $g^s_2$ образуют $M_2$. Далее строится $M'_2$, добавляя в него только те элементы из $M_2$, которые удовлетворяют критерию. Аналогично получаются множества $M_3,\ M'_3,\ M_4,\ldots, M_n,\ M'_n$.

Таким образом, получается последовательнось множеств частичных отображенией:

$\{M'_k\}$: $M'_1 \subseteq M'_2 \subseteq \ldots \subseteq M'_n$.

Множество $M'_n$ является множеством всех возможных автоморфизмов (или пустое, если их нет).

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром алгоритма является последовательность множеств $M'_1 \ldots M'_n$. Вычисляется на основе соответствующих $M_1 \ldots M_n$. Построение $M_1 \ldots M_n$ занимает не существенную часть времени.

1.4 Макроструктура алгоритма

Каждое множество $M_i (i = 2 \ldots n)$ вычисляется из $M'_{i-1}$ путем добавления в каждый элемент (частичная перестановка, представленная вектором целых чисел) из $M'_{i-1}$ всех возможных оставшихся чисел, которых нет в соответствующем элементе.

Для этого удобно использовать 2 не фиксированных по количеству строк двумерных массива размера t на n (t может увеличиваться), хранящих частичные отображения, такого вида:

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots &a_{1i} & ? & \ldots & ? \cr a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2i} & ? & \ldots & ? \cr \ldots \cr a_{k1} & a_{k2} & \ldots &a_{ki} & ? & \ldots & ? \cr ? & ? & \ldots & ? & ? & \ldots & ? \cr \ldots \cr ? & ? & \ldots & ? & ? & \ldots & ? \cr \end{pmatrix}$

? - эти значения не известны и заполняются постепенно.

Один массив для $M'_{i-1}$, другой для вычисления из предыдущего $M_i$. Из каждой строки множества $M'_{i-1}$ (первый массив), в соответствие с алгоритмом, получается $n$ новых строк длины i, которые записываются во второй массив (расширяется, если нужно).

После этого, второй массив копируется в первый и запускается цикл по всем векторам. Вектор исключается из массива, если: 1) $a_{ji}$ равен какому-либо числу в данном векторе; 2) вектор с $a_{ji}$ является частичной перестановкой, не удовлетворяющей критерию;