Алгоритм Дейкстры

Основные авторы описания: А.Н.Дарьин

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм Дейкстры предназначен для решения задачи поиска кратчайшего пути на графе. Для заданного ориентированного взвешенного графа с неотрицательными весами алгоритм находит кратчайшие расстояния от выделенной вершины-источника до всех остальных вершин графа. Алгоритм Дейкстры (с использованием фибоначчиевой кучи) выполняется за время [math]O(m + n \ln n)[/math] и является асимптотически быстрейшим из известных последовательных алгоритмов для данного класса задач.

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть задан граф [math]G = (V, E)[/math] с весами рёбер [math]f(e)[/math] и выделенной вершиной-источником [math]u[/math]. Обозначим через [math]d(v)[/math] кратчайшее расстояние от источника [math]u[/math] до вершины [math]v[/math].

Пусть уже вычислены все расстояния, не превосходящие некоторого числа [math]r[/math], то есть расстояния до вершин из множества [math]V_r = \{ v \in V \mid d(v) \le r \}[/math]. Пусть

[math] (v, w) \in \arg\min \{ d(v) + f(e) \mid v \in V, e = (v, w) \in E \}. [/math]

Тогда [math]d(w) = d(v) + f(e)[/math], и [math]v[/math] лежит на кратчайшем пути от [math]u[/math] к [math]w[/math].

Величины [math]d^+(w) = d(v) + f(e)[/math], где [math]v \in V_r[/math], [math]e = (v, w) \in E[/math], называются предполагаемыми расстояниями и являются оценкой сверху для настоящих расстояний: [math]d(w) \le d^+(w)[/math].

Алгоритм Дейкстры на каждом шаге находит вершину с наименьшим предполагаемым расстоянием, помечает её как посещённую и обновляет предполагаемые расстояния для всех концов рёбер, исходящих из неё.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основные вычисления связаны с операциями над очередью с приоритетом:

• извлечение минимального элемента (delete_min);
• уменьшение приоритета элемента (decrease_key).

1.4 Макроструктура алгоритма

Псевдокод алгоритма:

Входные данные:
  граф с вершинами V, рёбрами E с весами f(e);
  вершина-источник u.
Выходные данные: расстояния d(v) до каждой вершины v ∈ V от вершины u.

Q := new priority queue
for each v ∈ V:
    if v = u then d(v) := 0 else d(v) := ∞ 
    Q.insert(v, d(v))

while Q ≠ ∅:
    v := Q.delete_min()
    for each e = (v, w) ∈ E:
        if d(w) > d(v) + f(e):
            d(w) := d(v) + f(e)
            Q.decrease_key(w, d(w))

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Конкретная реализация алгоритма Дейкстры определяется выбором используемого алгоритма очереди с приоритетом. В простейшем случае это может быть массив или список, поиск минимума в котором требует просмотра всех вершин. Более эффективным является использование кучи; наилучшую известную оценку сложности имеет вариант с использованием фибоначчиевой кучи.

Возможен вариант реализации, когда вершины добавляются в очередь не на этапе инициализации, а в момент первого посещения.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Последовательная сложность алгоритма равна [math]O(C_1 m + C_2n)[/math], где

• [math]C_1[/math] – количество операций уменьшения расстояния до вершины;
• [math]C_2[/math] – количество операций вычисления минимума.

Оригинальный алгоритм Дейкстры использовал в качестве внутренней структуры данных списки, для которых [math]C_1 = O(1)[/math], [math]C_2 = O(n)[/math], так что общая сложность составляла [math]O(n^2)[/math].

При использовании фибоначчиевой кучи время вычисления минимума сокращается до [math]C_2 = O(\ln n)[/math], так что общая сложность равна [math]O(m + n \ln n)[/math], что является асимптотически наилучшим известным результатом для данного класса задач.

1.7 Информационный граф

Приводится граф алгоритма для базовой реализации алгоритма Дейкстры на списках или массивах.

Рисунок 1. Граф алгоритма без отображения входных и выходных данных. n=3. Желтым цветом обозначены операции сравнения, зеленым - операции изменения меток вершин, синим - пометка вершины.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Алгоритм Дейкстры допускает эффективную параллелизацию, среднее время работы [math]O(n^{1/3}\ln n)[/math] с объёмом вычислений [math]O(n \ln n + m)[/math].

Алгоритм Δ-шагания может рассматриваться как параллельная версия алгоритма Дейкстры.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: взвешенный граф [math](V, E, W)[/math] ([math]n[/math] вершин [math]v_i[/math] и [math]m[/math] рёбер [math]e_j = (v^{(1)}_{j}, v^{(2)}_{j})[/math] с весами [math]f_j[/math]), вершина-источник [math]u[/math].

Объём входных данных: [math]O(m + n)[/math].

Выходные данные (возможные варианты):

1. для каждой вершины [math]v[/math] исходного графа – последнее ребро [math]e^*_v = (w, v)[/math], лежащее на кратчайшем пути от вершины [math]u[/math] к [math]v[/math], или соответствующая вершина [math]w[/math];
2. для каждой вершины [math]v[/math] исходного графа – суммарный вес [math]f^*(v)[/math] кратчайшего пути от вершины [math]u[/math] к [math]v[/math].

Объём выходных данных: [math]O(n)[/math].