Участник:Full/Поиск автоморфизмов графов: различия между версиями
Full (обсуждение | вклад) |
Full (обсуждение | вклад) |
||
| (не показаны 2 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 198: | Строка 198: | ||
* <math>n</math> ярусов сравнений (количество сравнений <math> k = 1 \ldots n: \frac{1}{e^{k}} \frac{n^{n+1/2}}{(n-k-2)^{(n-k-3/2)}~2^{(k)^2}} \times (n - k)(2k + 1) </math>) | * <math>n</math> ярусов сравнений (количество сравнений <math> k = 1 \ldots n: \frac{1}{e^{k}} \frac{n^{n+1/2}}{(n-k-2)^{(n-k-3/2)}~2^{(k)^2}} \times (n - k)(2k + 1) </math>) | ||
| − | При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, | + | При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, алгоритм имеет сложность <math> O(n) </math>. |
При классификации по ширине ЯПФ его сложность <math> O(n(\frac{e}{2})^{\ln(n)^2} \ln(n))) </math>. | При классификации по ширине ЯПФ его сложность <math> O(n(\frac{e}{2})^{\ln(n)^2} \ln(n))) </math>. | ||
| Строка 223: | Строка 223: | ||
Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов"<ref name="Lom">Воеводин Вл., Жуматий С., Соболев С., Антонов А., Брызгалов П., Никитенко Д., Стефанов К., Воеводин Вад. Практика суперкомпьютера «Ломоносов» // Открытые системы, 2012, N 7, С. 36-39.</ref> [http://parallel.ru/cluster Суперкомпьютерного комплекса Московского университета]. | Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов"<ref name="Lom">Воеводин Вл., Жуматий С., Соболев С., Антонов А., Брызгалов П., Никитенко Д., Стефанов К., Воеводин Вад. Практика суперкомпьютера «Ломоносов» // Открытые системы, 2012, N 7, С. 36-39.</ref> [http://parallel.ru/cluster Суперкомпьютерного комплекса Московского университета]. | ||
| − | Набор и границы значений изменяемых | + | Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма: |
* число процессоров [4 : 128] с шагом <math> 2^n</math> (точки отображены с шагом 4, усреднив результаты); | * число процессоров [4 : 128] с шагом <math> 2^n</math> (точки отображены с шагом 4, усреднив результаты); | ||
| Строка 239: | Строка 239: | ||
Оценки масштабируемости выбранной реализации: | Оценки масштабируемости выбранной реализации: | ||
| − | * По числу процессов: -0, | + | * По числу процессов: -0,00837. |
| − | * По размеру задачи: 0, | + | * По размеру задачи: 0,04612. |
| − | * По двум направлениям: 0, | + | * По двум направлениям: 0,00253. |
== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма == | == Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма == | ||
Текущая версия на 21:10, 12 декабря 2017
Алгоритм: Поиск автоморфизмов графов
Автор статьи: Ефремов С.С. (группа 419)
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритмов
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
- 2.2 Локальность данных и вычислений
- 2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
- 2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
- 2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
- 2.6 Выводы для классов архитектур
- 2.7 Существующие реализации алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритмов
Данный алгоритм, описанный в статье Егорова В.Н.[1], предназначен для поиска автоморфизмов графов, которые можно представить в виде матриц смежности, а также для исследования изоморфности графов. Так как алгоритм работает с матрицами, можно решать эти же задачи и на других комбинаторных объектах, представимых матрицами смежности[2].
1.1 Общее описание алгоритма
На вход подается матрица смежности графа. При отображение вершины v1 в вершину v2 в соответсвующей графу матрице меняются местами строка и столбец v1 со строкой и столбцом v2. Автоморфизмом является отображение множества вершин графа на себя, сохраняющее смежность. Это есть такая перестановка строк и столбцов матрицы, после применения которой, матрица останется той же.
1.2 Математическое описание алгоритма
1.2.1 Определения и обозначения
[math]A = A^{n\times n}[/math] - матрица смежности графа [math]G(V,E)[/math] размера [math]n\times n[/math]; [math]a_{ij}[/math] - элементы матрицы ,[math]\ i,j = 1,\ldots,n=|V|[/math].
Частичным отображением [math]g^s_k[/math] ([math]s[/math] - обозначает индекс элемента в множестве [math]M_k[/math]) называется подстановка вида
- [math] \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & k & k+1 &\ldots & n\cr r_1 & r_2 & \ldots & r_k & q_{k+1} & \ldots & q_n \end{pmatrix} [/math]
, где [math]r_1,\ldots,r_k[/math] - фиксированные (заданные) элементы, [math]q_{k+1},\ldots,q_n[/math] - произвольные, причем последовательность [math]r_1,\ldots,r_k[/math], [math]q_{k+1},\ldots,q_n[/math] является перестановкой вершин заданного графа.
[math]M_k[/math] - множество, состоящее из элементов [math]g^s_k[/math], [math]\ s = 1,\ldots,n_k=|M_k|[/math].
[math]|M_k|[/math] - количество элементов [math]g^s_k[/math] в множестве.
[math]M'_k[/math] - множество элементов, которые содержатся в [math]M_k[/math] и удовлетворяют критерию [math]h[/math].
h - критерий (описанный далее).
[math]\{M'_k\}[/math] - последовательность множеств [math]M'_k[/math], [math]k = 1,\ldots,n[/math].
1.2.2 Проверка по критерию
Критерием [math]h[/math] является проверка подматриц на равенство. Предположим, требуется определить, удовлетворяет ли элемент [math]g^s_k[/math] критерию h. Для этого необходимо, чтобы элементы [math]a_{ij}[/math], для всех [math]i,j \leq k[/math], были равны соответствующим элементам [math]a_{r_ir_j}[/math]. Подматрица [math]g^s_k[/math] выглядит так:
[math] \begin{matrix} & r_1 & r_2 & \dots & r_k \cr r_1 & a_{r_1r_1} & a_{r_1r_2} & \dots & a_{r_1r_k} \cr r_2 & a_{r_2r_1} & a'_{r_2r_2} & \dots & a_{r_2r_k} \cr \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr r_k & a_{r_kr_1} & a_{r_kr_2} & \dots & a_{r_kr_k} \cr \end{matrix} [/math]
Если хотя бы одно из равенств не выполнено, это означает, что по данной частичной подстановке хотя бы одна вершина отобразилась в другую так, что структура графа изменилась. А так как частичная перестановка [math]g^s_k[/math] фиксирует [math]r_1, \ldots r_k[/math], то структура останется измененой, что означает отображение не будет являться автоморфизмом.
1.2.3 Построение множеств частичных отображений
Описание построения [math]M'_n[/math].
На первом этапе рассматриваются все [math]g^s_1[/math], образующие множество [math]M_1[/math]. Каждый элемент [math]g^s_1[/math] проверяется по критерию h. Элементы, удовлетворяющие h, образуют [math]M'_1[/math]. В каждый элемент из [math]M'_1[/math] добавляется еще одно отображение (2 [math]\to[/math] [math]r_2[/math]), т.е. происходит переход от [math]g^s_1[/math] к [math]g^s_2[/math]. Из каждого [math]g^s_1[/math] получается разных [math](n-1)[/math] элементов [math]g^s_2[/math]. Всевозможные элементы [math]g^s_2[/math] образуют [math]M_2[/math]. Далее строится [math]M'_2[/math], добавляя в него только те элементы из [math]M_2[/math], которые удовлетворяют критерию. Аналогично получаются множества [math]M_3,\ M'_3,\ M_4,\ldots, M_n,\ M'_n[/math].
Таким образом, получается последовательнось множеств частичных отображенией:
[math]\{M'_k\}[/math]: [math]M'_1 \subseteq M'_2 \subseteq \ldots \subseteq M'_n[/math].
Множество [math]M'_n[/math] является множеством всех возможных автоморфизмов (или пустое, если их нет).
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
Вычислительным ядром алгоритма является последовательность множеств [math]M'_1 \ldots M'_n[/math]. Вычисляется на основе соответствующих [math]M_1 \ldots M_n[/math]. Построение [math]M_1 \ldots M_n[/math] занимает несущественную часть времени.
1.4 Макроструктура алгоритма
Каждое множество [math] M_i (i = 2 \ldots n) [/math] вычисляется из [math] M'_{i-1} [/math] путем добавления в каждый элемент (частичная перестановка, представленная вектором целых чисел) из [math] M'_{i-1} [/math] всех возможных оставшихся чисел, которых нет в соответствующем элементе.
Для этого удобно использовать 2 не фиксированных по количеству строк двумерных массива размера t на n (t может увеличиваться), хранящих частичные отображения, такого вида:
- [math] \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots &a_{1i} & ? & \ldots & ? \cr a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2i} & ? & \ldots & ? \cr \ldots \cr a_{k1} & a_{k2} & \ldots &a_{ki} & ? & \ldots & ? \cr ? & ? & \ldots & ? & ? & \ldots & ? \cr \ldots \cr ? & ? & \ldots & ? & ? & \ldots & ? \cr \end{pmatrix} [/math]
? - эти значения не известны и заполняются постепенно.
Один массив для [math] M'_{i-1} [/math], другой для вычисления из предыдущего [math] M_i [/math]. Из каждой строки множества [math] M'_{i-1} [/math] (первый массив), в соответствие с алгоритмом, получается [math] n [/math] новых строк длины i, которые записываются во второй массив (расширяется, если нужно).
После этого, второй массив копируется в первый и запускается цикл по всем векторам. Вектор исключается из массива, если [math] a_{ji} [/math] равен какому-либо числу в данном векторе или вектор с [math] a_{ji} [/math] является частичной перестановкой, не удовлетворяющей критерию;
1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
Схема реализации представлена на языке C++
#define GRAPH_SIZE 300
#define ROW_ARR_SIZE 10000
#define COL_ARR_SIZE GRAPH_SIZE
const int N = GRAPH_SIZE;
vector<array<unsigned short,COL_ARR_SIZE>> Mi(ROW_ARR_SIZE, COL_ARR_SIZE);
vector<array<unsigned short,COL_ARR_SIZE>> M'i(ROW_ARR_SIZE, COL_ARR_SIZE);
unsigned char **matrix;
struct_M'i make_M'i(Mi) {
struct_M'i M'i;
for (auto x: Mi) {
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (check_h(x) && !eq(x, i)) {
M'i.push_back(x.add(i));
}
}
}
return M'i;
}
struct_Mi make_Mi(M'i) {
struct_Mi Mi;
for (auto x: M'i) {
for (int i = 0; i < n; ++i) {
Mi.push_back(x.add(i));
}
}
return Mi;
}
int main() {
//заполнение матрицы смежности
init_automorphisms(matrix);
//распараллеливание
switch(process) {
case 0:
begin = 0;
end = stop_0;
case 1:
begin = start_1;
end = stop_1;
...
case N:
begin = start_n;
end = M_0.size();
//основной цикл
for (i = begin; i < end; ++i) {
Mi = make_Mi(M'i-1);
M'i = make_M'i(Mi);
}
//сохранение результата (вывод автоморфизмов)
final_automorphism(M'i);
}
1.6 Последовательная сложность алгоритма
Сложность всего алгоритма представляет собой сумму сложностей вычисления [math]M'_1 \ldots M'_n[/math].
Количество элементов в каждом множестве (с вероятностью близкой к единице):
[math] |M'_{k}| \thickapprox \frac{n!}{(n-k-2)!~2^{(k)^2}} \thickapprox \frac{1}{e^{k}} \frac{n^{n+1/2}}{(n-k-2)^{(n-k-3/2)}~2^{(k)^2}} [/math]
Можно оценить: [math] |M'_k| = \frac{n(n-1)\ldots(n-k-1)}{2^{(k)^2}} \le \frac{n^{k}}{2^{(k)^2}} [/math]
Количество операций сравнения для подсчета всех множеств:
[math] \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{e^{k}} \frac{n^{n+1/2}}{(n-k-2)^{(n-k-3/2)}~2^{(k)^2}} \times (n - k)(2k + 1)[/math]
Оценка (были учтены точка стабилизации и точка максимума последовательности множеств):
[math] n \times \frac{n^{(5/7) \ln(n)}}{2^{((5/7)\ln(n))^2}}\times n(2(\frac{5}{7}\ln(n)) + 1)\times \log_2(n) = O(n^2(\frac{e}{2})^{\ln(n)^2} \ln(n))[/math]
Сложность экспоненциальная.
1.7 Информационный граф
Граф алгоритма[3][4][5] для [math]n = 4[/math] (при росте [math]n[/math] изменения графа будут аналогичны, а отклонения не существенны:
При больших [math]n[/math] ширина ярусов будет расти до яруса под номером [math]\lceil\frac{5}{7}\log_2(n) - 1\rceil[/math], после начнет убывать.
1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
Для поиска автоморфизмов матрицы порядка [math]n[/math] итерационным алгоритмом в параллельном варианте требуется выполнить:
- [math]n[/math] ярусов сравнений (количество сравнений [math] k = 1 \ldots n: \frac{1}{e^{k}} \frac{n^{n+1/2}}{(n-k-2)^{(n-k-3/2)}~2^{(k)^2}} \times (n - k)(2k + 1) [/math])
При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, алгоритм имеет сложность [math] O(n) [/math].
При классификации по ширине ЯПФ его сложность [math] O(n(\frac{e}{2})^{\ln(n)^2} \ln(n))) [/math].
1.9 Входные и выходные данные алгоритма
Входные данные: матрица смежности [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]) графа . Дополнительные ограничения:
- [math]a_{ij}[/math] – любые, но в данной статье рассматриваются из множества {0,1}.
Объём входных данных: [math]n^2[/math].
Выходные данные: множество [math]M'_n[/math], представленное матрицей (элементы [math]g^s_n[/math] - полученные автоморфизмы).
Объём выходных данных: [math]l \times n[/math], где [math]l[/math] количество всевозможных автоморфизмов для данного графа.
1.10 Свойства алгоритма
2 Программная реализация алгоритма
2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
2.2 Локальность данных и вычислений
2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
2.4.1 Масштабируемость реализации алгоритма
Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов"[6] Суперкомпьютерного комплекса Московского университета.
Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:
- число процессоров [4 : 128] с шагом [math] 2^n[/math] (точки отображены с шагом 4, усреднив результаты);
- размер матрицы [300 : 1000].
В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон алгоритма:
- минимальная эффективность реализации 17,44%;
- максимальная эффективность реализации 88,73%.
На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации поиска автоморфизмов графов в зависимости от изменяемых параметров запуска.
Оценки масштабируемости выбранной реализации:
- По числу процессов: -0,00837.
- По размеру задачи: 0,04612.
- По двум направлениям: 0,00253.
2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
2.6 Выводы для классов архитектур
2.7 Существующие реализации алгоритма
Информация о реализациях данного алгоритма не найдена. При анализе алгоритма было разработано 2 программы:
- 1) приложение с графическим интерфейсом, написанное на Qt
- не поддерживает распараллеливание
- справляется с графами размера до 500 вершин
- удобный анализ графов
- помимо нахождения автоморфизмов, решает задачи изоморфизма и гомоморфизма графов
- 2) программа на языки C++ с поддержкой OpenMPI
- поддерживает распараллеливание средствами OpenMPI
- помимо нахождения автоморфизмов, сохраняет много информации для анализа графов с большим количеством вершин
3 Литература
- ↑ Группы автоморфизмов и изоморфизм комбинаторных объектов и алгебраических структур. Егоров В.Н., Егоров А.В. (Ломоносовские чтения, Научная конференция, Москва, факультет ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова).
- ↑ О группах автоморфизмов матриц. Егоров В.Н. (журнал "Прикладная дискретная математика").
- ↑ Воеводин В.В. Математические основы параллельных вычислений// М.: Изд. Моск. ун-та, 1991. 345 с.
- ↑ Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. – СПб.: БХВ - Петербург, 2002. – 608 с.
- ↑ Фролов А.В.. Принципы построения и описание языка Сигма. Препринт ОВМ АН N 236. М.: ОВМ АН СССР, 1989.
- ↑ Воеводин Вл., Жуматий С., Соболев С., Антонов А., Брызгалов П., Никитенко Д., Стефанов К., Воеводин Вад. Практика суперкомпьютера «Ломоносов» // Открытые системы, 2012, N 7, С. 36-39.
