Алгоритм Тарьяна поиска «мостов» в графе: различия между версиями
| [выверенная версия] | [досмотренная версия] |
ASA (обсуждение | вклад) |
ASA (обсуждение | вклад) |
||
| (не показаны 3 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 17: | Строка 17: | ||
• <math>N(v)</math> – нумерация вершин в обратном порядке обхода вершин (post-order). | • <math>N(v)</math> – нумерация вершин в обратном порядке обхода вершин (post-order). | ||
| − | • <math>D(v)</math> – количество потомков вершины <math>v</math> в ориентированном дереве <math>T</math>, то есть . | + | |
| − | • <math>S(v)={w | v => w \ | + | • <math>D(v)</math> – количество потомков вершины <math>v</math> в ориентированном дереве <math>T</math>, то есть. |
| + | |||
| + | • <math>S(v)={w | v => w \lor \exists u(v => u \land u***w)}</math> | ||
• <math>L(v) = \min S(v)</math>, <math>H(v) = \max S(v)</math>. | • <math>L(v) = \min S(v)</math>, <math>H(v) = \max S(v)</math>. | ||
| Строка 58: | Строка 60: | ||
== Программная реализация алгоритма == | == Программная реализация алгоритма == | ||
=== Особенности реализации последовательного алгоритма === | === Особенности реализации последовательного алгоритма === | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма === | === Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма === | ||
| − | === | + | === Результаты прогонов === |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
=== Выводы для классов архитектур === | === Выводы для классов архитектур === | ||
| − | |||
== Литература == | == Литература == | ||
| Строка 74: | Строка 68: | ||
[[Категория:Начатые статьи]] | [[Категория:Начатые статьи]] | ||
| + | |||
| + | [[en:Tarjan's algorithm for finding the bridges of a graph]] | ||
Текущая версия на 17:52, 6 июля 2022
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Алгоритм Тарьяна [1] находит мосты в неориентированном графе за время [math]O(m)[/math].
Пусть [math]T[/math] – дерево в одной из компонент связности графа [math]G.[/math]
Выберем корневую вершину и введём обозначения:
• [math]v-\gt w[/math], если в дереве имеется [math]e=(v,w)[/math], и вершина находится дальше от корня [math]r[/math], чем вершина [math]v[/math]. Далее будем считать дерево [math]T[/math] направленным графом, содержащим рёбра указанного вида.
• [math]v=\gt w[/math], если в ориентированном дереве [math]T[/math] имеется направленный путь от [math]v[/math] к [math]w[/math].
• [math]v***w[/math], если в графе [math]G[/math] существует ребро [math]e=(v,w)[/math], не принадлежащее дереву [math]T[/math].
• [math]N(v)[/math] – нумерация вершин в обратном порядке обхода вершин (post-order).
• [math]D(v)[/math] – количество потомков вершины [math]v[/math] в ориентированном дереве [math]T[/math], то есть.
• [math]S(v)={w | v =\gt w \lor \exists u(v =\gt u \land u***w)}[/math]
• [math]L(v) = \min S(v)[/math], [math]H(v) = \max S(v)[/math].
Алгоритм Тарьяна основан на следующем свойстве: ребро является мостом тогда и только тогда, когда [math]v-\gt w, H(w) \lt = N(w), L(w) \gt N(w) - D(w)[/math]
1.2 Математическое описание алгоритма
1. Для каждой компоненты связности графа найти какое-либо остовное дерево [math]T[/math]. 2. Перенумеровать вершины [math]T[/math] в порядке обратного обхода.
3. В порядке возрастания номера вершины выполнить следующие действия:
a. [math]D(v) := 1+ \sum_{v \rightarrow w}D(w) [/math]
b. [math] L(v) := \min { \{N(v) - D(v)+1 \} \cup \{ L(w) | v \rightarrow w \} \cup \{ N(w) | v \cdots w \} }[/math]
c. [math] H(v) := \max { \{ N(v) \} \cup \{ H(w) | v \rightarrow w \} \cup \{ N(w) | v \cdots w \} }[/math]
d. Пометить ребро [math]v \rightarrow w[/math] мостом, если [math]H(w)\lt =N(w)[/math] и [math]L(w)\gt N(w)-D(w)[/math].
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
1.4 Макроструктура алгоритма
1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
1.6 Последовательная сложность алгоритма
Последовательная сложность алгоритма составляет [math]O(|E|)[/math].
1.7 Информационный граф
1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
Алгоритм Тарьяна может работать с любым остовным деревом, поэтому можно применить эффективно параллелизуемый поиск в ширину. Последующие вычисления также могут быть параллелизованы.
Параллельный алгоритм Тарьяна-Вишкина[2] основан на аналогичных вычислениях и может быть адаптирован для поиска мостов.
1.9 Входные и выходные данные алгоритма
1.10 Свойства алгоритма
2 Программная реализация алгоритма
2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
2.2 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
2.3 Результаты прогонов
2.4 Выводы для классов архитектур
3 Литература
- ↑ Tarjan, R Endre. “A Note on Finding the Bridges of a Graph.” Information Processing Letters 2, no. 6 (April 1974): 160–61. doi:10.1016/0020-0190(74)90003-9.
- ↑ Tarjan, Robert Endre, and Uzi Vishkin. “An Efficient Parallel Biconnectivity Algorithm.” SIAM Journal on Computing 14, no. 4 (1985): 862–74.
