Метод "Разделяй и властвуй" Завольсков/Землянский: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
 
(не показано 28 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 +
 
Авторы статьи: Завольсков Владислав, Землянский Роман, 614 группа
 
Авторы статьи: Завольсков Владислав, Землянский Роман, 614 группа
  
Строка 28: Строка 29:
 
  &&&&&& \ddots & b_{n-1} \\
 
  &&&&&& \ddots & b_{n-1} \\
 
  &&&&&& b_{n-1} & a_{n} \\
 
  &&&&&& b_{n-1} & a_{n} \\
−
\end{bmatrix}
+
\end{bmatrix} +
 +
</math>
 +
 
 +
<math>
 
+ \begin{bmatrix}
 
+ \begin{bmatrix}
 
  &&&&& \\
 
  &&&&& \\
Строка 35: Строка 39:
 
  &&&&& \\
 
  &&&&& \\
 
\end{bmatrix}
 
\end{bmatrix}
−
=
 
−
</math>
 
  
−
:<math>
 
 
= \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m} * \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 , \ldots  ,  0 , 1 , 1 , 0 \ldots , 0 \end{bmatrix}  
 
= \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m} * \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 , \ldots  ,  0 , 1 , 1 , 0 \ldots , 0 \end{bmatrix}  
  
−
= \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T}
+
\equiv \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T}
 
</math>
 
</math>
  
Строка 48: Строка 49:
 
<math>T_{1}</math> и <math>T_{2}</math>. Имеем:
 
<math>T_{1}</math> и <math>T_{2}</math>. Имеем:
  
−
<math>  
+
  <math>  
 
T = \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T}  
 
T = \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T}  
 
= \begin{bmatrix} Q_{1} \Lambda_{1} Q_{1}^{T} & 0 \\ 0 & Q_{2} L_{2} Q_{2}^{T}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T}  
 
= \begin{bmatrix} Q_{1} \Lambda_{1} Q_{1}^{T} & 0 \\ 0 & Q_{2} L_{2} Q_{2}^{T}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T}  
 
= \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix}(\begin{bmatrix} \Lambda_{1} & \\  & \Lambda_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T})\begin{bmatrix} Q_{1}^{T} & 0 \\ 0 & Q_{2}^{T}\end{bmatrix}
 
= \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix}(\begin{bmatrix} \Lambda_{1} & \\  & \Lambda_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T})\begin{bmatrix} Q_{1}^{T} & 0 \\ 0 & Q_{2}^{T}\end{bmatrix}
−
</math>,
+
  </math>,
  
 
где  
 
где  
  
−
<math>
+
  <math>
 
u = \begin{bmatrix} Q_{1}^{T} & 0 \\ 0 & Q_{2}^{T}\end{bmatrix}v
 
u = \begin{bmatrix} Q_{1}^{T} & 0 \\ 0 & Q_{2}^{T}\end{bmatrix}v
−
</math>
+
  </math>
  
 
так как <math>v = \begin{bmatrix} 0 , \ldots  ,  0 , 1 , 1 , 0 \ldots , 0 \end{bmatrix}^T</math>, получим матрицу, состоящую из последнего столбца матрицы <math> Q_{1}^{T}</math> и первого столбца матрицы <math> Q_{2}^{T}</math>.
 
так как <math>v = \begin{bmatrix} 0 , \ldots  ,  0 , 1 , 1 , 0 \ldots , 0 \end{bmatrix}^T</math>, получим матрицу, состоящую из последнего столбца матрицы <math> Q_{1}^{T}</math> и первого столбца матрицы <math> Q_{2}^{T}</math>.
Строка 71: Строка 72:
 
Тогда
 
Тогда
  
−
<math>det(D + \rho uu^{T} - \lambda I) = det((D - \lambda I)(I + \rho (D- \lambda I)^{-1} uu^{T}))</math>.
+
  <math>det(D + \rho uu^{T} - \lambda I) = det((D - \lambda I)(I + \rho (D- \lambda I)^{-1} uu^{T}))</math>.
  
 
Поскольку <math>D - \lambda I</math> невырожденна, <math>det(I + \rho (D - \lambda I)^{-1}uu^{T}) = 0</math> тогда и только тогда, когда <math>\lambda</math> - собственное значение. Заметим, что матрица <math>I + \rho (D - \lambda I)^{-1}uu^{T}</math> получается из единичной добавлением матрицы ранга 1. Определитель такой матрицы легко вычислить.
 
Поскольку <math>D - \lambda I</math> невырожденна, <math>det(I + \rho (D - \lambda I)^{-1}uu^{T}) = 0</math> тогда и только тогда, когда <math>\lambda</math> - собственное значение. Заметим, что матрица <math>I + \rho (D - \lambda I)^{-1}uu^{T}</math> получается из единичной добавлением матрицы ранга 1. Определитель такой матрицы легко вычислить.
  
−
'''Лемма 1.''' Справедливо равенство <math>det(I + xy^{T}) = 1 + y^{T}x</math>, где <math>x</math> и <math>y</math> - векторы.
+
  '''Лемма 1.''' Справедливо равенство <math>det(I + xy^{T}) = 1 + y^{T}x</math>, где <math>x</math> и <math>y</math> - векторы.
  
 
Таким образом,
 
Таким образом,
  
−
<math>det(I + \rho (D - \lambda I)^{-1}uu^{T}) = 1 + \rho u^{T}(D - \lambda I)^{-1}u</math>
+
  <math>det(I + \rho (D - \lambda I)^{-1}uu^{T}) = 1 + \rho u^{T}(D - \lambda I)^{-1}u</math> <math> = 1 + \rho \sum_{i=1, n} \frac{u_{i}^{2}} {d_{i}-\lambda} \equiv f(\lambda)</math> ,
  
−
<math> = 1 + \rho \sum_{i=1, n} \frac{u_{i}^{2}} {d_{i}-\lambda} = f(\lambda)</math> ,
+
т.е. собственные значения матрицы <math>T</math> есть корни так называемого векового уравнения <math>f(\lambda) = 0</math>. Если все числа <math>d_{i}</math> различны и все <math>u_{i} <> 0</math> (случай общего положения), то <math>f(\lambda)</math> имеет график типа показанного на рис.1(где <math>n = 4</math> и <math>\rho > 0</math>).
  
−
т.е. собственные значения матрицы <math>T</math> есть корни так называемого векового уравнения <math>f(\lambda) = 0</math>. Если все числа <math>d_{i}</math> различны и все <math>u_{i} <> 0</math> (случай общего положения), то <math>f(\lambda)</math> имеет график типа показанного на рис. 1 (где <math>n = 4</math> и <math>\rho > 0</math>).
+
[[File:Graphics.PNG|thumb|center|800px|Рис. 1. График функции <math> f(\lambda) = 1 + \frac{0.5}{1 - \lambda} + \frac{0.5}{2 - \lambda} + \frac{0.5}{3 - \lambda} + \frac{0.5}{4 - \lambda}</math>]]
  
−
Можно видеть, что прямая <math>y = 1</math> является горизонтальной асимптотой для этого графика, а прямые <math>\lambda = d_{i}</math> есть вертикальные асимптоты. Поскольку (*ФОРМУЛА*), функция возрастает всюду, кроме точек <math>\lambda = d_{i}</math>. Поэтому корни функции разделяются числами <math>d_{i}</math> и ещё один корень находится справа от точки <math>d_{1}</math> (на рис. 1 <math>d_{1} = 4</math>). (При <math>\rho<0</math> функция <math>f(\lambda)</math> всюду убывает и соответствующий корень находится слева от точки <math>d_{n}</math>). Для функции <math>f(\lambda)</math>, монотонной и гладкой на каждом из интервалов <math>(d_{i+1},d_{i})</math>, можно найти вариант метода Ньютона, который быстро и монотонно сходится к каждому из корней, если начальная точка взята в <math>(d_{i+1},d_{i})</math>. Нам достаточно знать, что на практике метод сходится к каждому собственному значению за ограниченное число шагов. Поскольку вычисление <math>f(\lambda)</math> и <math>f^{'}(\lambda)</math> стоит <math>O(n)</math> флопов, для вычисления одного собственного значения достаточно <math>O(n)</math>, а для вычисления всех <math>n</math> собственных значений матрицы <math>D + \rho uu^{T}</math> требуется <math>O(n^{2})</math> флопов.
+
Можно видеть, что прямая <math>y = 1</math> является горизонтальной асимптотой для этого графика, а прямые <math>\lambda = d_{i}</math> есть вертикальные асимптоты. Поскольку <math>f^{'}(\lambda) =  \rho \sum_{i=1, n} \frac{u_{i}^{2}} {(d_{i}-\lambda)^{2}}> 0 </math>, функция возрастает всюду, кроме точек <math>\lambda = d_{i}</math>. Поэтому корни функции разделяются числами <math>d_{i}</math> и ещё один корень находится справа от точки <math>d_{1}</math> (на рис. 1 <math>d_{1} = 4</math>). (При <math>\rho<0</math> функция <math>f(\lambda)</math> всюду убывает и соответствующий корень находится слева от точки <math>d_{n}</math>). Для функции <math>f(\lambda)</math>, монотонной и гладкой на каждом из интервалов <math>(d_{i+1},d_{i})</math>, можно найти вариант метода Ньютона, который быстро и монотонно сходится к каждому из корней, если начальная точка взята в <math>(d_{i+1},d_{i})</math>. Нам достаточно знать, что на практике метод сходится к каждому собственному значению за ограниченное число шагов. Поскольку вычисление <math>f(\lambda)</math> и <math>f^{'}(\lambda)</math> стоит <math>O(n)</math> флопов, для вычисления одного собственного значения достаточно <math>O(n)</math>, а для вычисления всех <math>n</math> собственных значений матрицы <math>D + \rho uu^{T}</math> требуется <math>O(n^{2})</math> флопов.
 
Для собственных векторов матрицы <math>D + \rho uu^{T}</math> мы легко можем получить явные выражения.
 
Для собственных векторов матрицы <math>D + \rho uu^{T}</math> мы легко можем получить явные выражения.
  
−
'''Лемма 2.''' Если <math>\alpha</math> - собственное значение матрицы <math>D + \rho uu^{T}</math>, то соответствующий вектор равен <math>(D - \alpha I)^{-1}u</math>. Поскольку матрица <math>D - \alpha I</math> диагональная, для вычисления такого вектора достаточно <math>O(n)</math> флопов.
+
  '''Лемма 2.''' Если <math>\alpha</math> - собственное значение матрицы <math>D + \rho uu^{T}</math>, то соответствующий вектор равен <math>(D - \alpha I)^{-1}u</math>. Поскольку матрица <math>D - \alpha I</math> диагональная, для вычисления такого вектора достаточно <math>O(n)</math> флопов.
  
 
Доказательство.
 
Доказательство.
  
−
<math>(D + \rho uu^{T})[(D - \alpha I)^{-1}u] = (D - \alpha I + \alpha I + \rho uu^{T})(D - \alpha I)^{-1}u</math>
+
  <math>(D + \rho uu^{T})[(D - \alpha I)^{-1}u] = (D - \alpha I + \alpha I + \rho uu^{T})(D - \alpha I)^{-1}u</math>
  
−
<math>=u + \alpha (D - \alpha I)^{-1}u + u[\rho u^{T}(D - \alpha I)^{-1}u] </math>
+
  <math>=u + \alpha (D - \alpha I)^{-1}u + u[\rho u^{T}(D - \alpha I)^{-1}u] </math>
  
−
<math>=u + \alpha(D - \alpha I)^{-1}u - u</math>  
+
  <math>=u + \alpha(D - \alpha I)^{-1}u - u</math>  
  
−
                                      поскольку <math> \rho u^{T}(D - \alpha I)^{-1}u + 1 = f(\alpha) = 0 </math>
+
                                                      поскольку <math> \rho u^{T}(D - \alpha I)^{-1}u + 1 = f(\alpha) = 0 </math>
  
−
<math>=\alpha [(D - \alpha I)^{-1}u]</math>, что и требовалось.
+
  <math>=\alpha [(D - \alpha I)^{-1}u]</math>, что и требовалось.
  
  
Строка 107: Строка 108:
 
Алгоритм является рекурсивным.
 
Алгоритм является рекурсивным.
  
−
== Wiki Part ==
+
=== Дефляция ===
  
−
As with most eigenvalue algorithms for Hermitian matrices, divide-and-conquer begins with a reduction to [[Tridiagonal matrix|tridiagonal]] form. For an <math>m \times m</math> matrix, the standard method for this, via [[Householder reflection]]s, takes <math>\frac{4}{3}m^{3}</math> [[flops]], or <math>\frac{8}{3}m^{3}</math> if [[eigenvector]]s are needed as well.  There are other algorithms, such as the [[Arnoldi iteration]], which may do better for certain classes of matrices; we will not consider this further here.
+
До сих пор полагалось, что все <math>d_{i}</math> различны и все <math>u_{i}</math> отличны от нуля. Если это не так, вековое уравнение <math>f(\lambda)=0</math> имеет <math>k</math> вертикальных асимптот, где <math>k<n</math>, а потому <math>k</math> корней. Однако оказывается, что остальные <math>n - k</math> собственных значений могут быть определены без каких-либо усилий: если <math>d_{i}=d_{i+1}</math> или <math>u_{i}=0</math>, то легко показать, что <math>d_{i}</math> является собственным значением и для матрицы <math>D + \rho uu^{T}</math>. В такой ситуации мы говорим о ''дефляции''. На практике выбирается некоторое пороговое значение и дефляция для числа <math>d_{i}</math> регистрируется, если в смысле этого порога <math>d_{i}</math> достаточно близко к <math>d_{i+1}</math> либо <math>u_{i}</math> достаточно мало.
  
−
In certain cases, it is possible to ''deflate'' an eigenvalue problem into smaller problems. Consider a [[block diagonal matrix]]
+
Основной выигрыш от использования дефляции состоит не в том, что убыстряется решение векового уравнения - этот этап в любом случае стоит лишь <math>O(n^{2})</math> операций. Выигрыш заключается в ускорении матричного умножения на последнем шаге алгоритма. Действительно, если <math>u_{i}=0</math>, то соответствующий собственный вектор есть i-й столбец <math>e_{i}</math> единичной матрицы. Это означает, что <math>e_{i}</math> является i-м столбцом в матрице <math>Q_{'}</math>, поэтому при формировании матрицы <math>Q</math> посредством левого умножения <math>Q_{1}</math> на <math>Q_{2}</math> вычисление i-го столбца не требует никаких затрат. Аналогичное упрощение имеет место в случае <math>d_{i} = d_{i+1}</math>. При дефляции многих собственных значений устраняется большая часть работы, связанной с матричным умножением.
−
:<math>T = \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix}.</math>
 
−
The eigenvalues and eigenvectors of <math>T</math> are simply those of <math>T_{1}</math> and <math>T_{2}</math>, and it will almost always be faster to solve these two smaller problems than to solve the original problem all at once. This technique can be used to improve the efficiency of many eigenvalue algorithms, but it has special significance to divide-and-conquer.
 
  
−
The ''divide'' part of the divide-and-conquer algorithm comes from the realization that a tridiagonal matrix is "almost" block diagonal.
+
== Вычислительное ядро алгоритма ==
−
<!-- For original TeX, see image description page -->
+
Вычислительным ядром последовательной схемы решения является вычисление матрицы <math>Q</math> собственных векторов путём умножения матрицы <math>Q = \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix}</math> на матрицу <math>Q^{'}</math> Данная операция имеет сложность <math>cn^{3}</math> о чём и говорится в разделе [[#Последовательная сложность алгоритма]] .
−
:[[Image:Almost block diagonal.png]]
+
Ей предшествует вычисление собственных значений и векторов матрицы <math> D + \rho uu^{T}</math>
  
−
The size of submatrix <math>T_{1}</math> we will call <math>n \times n</math>, and then <math>T_{2}</math> is <math>(m - n) \times (m - n)</math>.  Note that the remark about <math>T</math> being almost block diagonal is true regardless of how <math>n</math> is chosen (i.e., there are many ways to so decompose the matrix).  However, it makes sense, from an efficiency standpoint, to choose <math>n \approx m/2</math>.  
+
== Макроструктура алгоритма ==
 +
В разделе [[#Информационный граф]] описана структура алгоритма, в которой есть блок умножения матриц для вычисления собственных векторов, являющийся вычислительным ядром алгоритма. В соответствующем разделе ([[#Вычислительное ядро алгоритма]]) мы упоминали о том, что данному блоку предшествует вычисление собственных значений, которое производится [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0 методом Ньютона].
  
−
We write <math>T</math> as a block diagonal matrix, plus a [[Rank (linear algebra)|rank-1]] correction:
+
=== Решение векового уравнения ===
−
<!-- For original TeX, see image description page -->
+
Подробно стоит поговорить о решении векового уравнения, которое является одной из основных частей алгоритма.
−
:[[Image:Block diagonal plus correction.png]]
 
  
−
The only difference between <math>T_{1}</math> and <math>\hat{T}_{1}</math> is that the lower right entry <math>t_{nn}</math> in <math>\hat{T}_{1}</math> has been replaced with <math>t_{nn} - \beta</math> and similarly, in <math>\hat{T}_{2}</math> the top left entry <math>t_{n+1,n+1}</math> has been replaced with <math>t_{n+1,n+1} - \beta</math>.
+
Предположим, что некоторое <math>u_{i}</math>, хотя и мало, все же недостаточно мало для того, чтобы была зарегистрирована дефляция. В этом случае применение метода Ньютона к решению векового уравнения встречается с затруднениями. Вспомним, что пересчет приближённого решения <math>u_{j}</math> уравнения <math>f(\lambda) = 0</math> в методе Ньютона основан на следующих положениях:
  
−
The remainder of the divide step is to solve for the eigenvalues (and if desired the eigenvectors) of <math>\hat{T}_{1}</math> and <math>\hat{T}_{2}</math>, that is to find the [[diagonalizable matrix|diagonalization]]s <math>\hat{T}_{1} = Q_{1} D_{1} Q_{1}^{T}</math> and <math>\hat{T}_{2} = Q_{2} D_{2} Q_{2}^{T}</math>.  This can be accomplished with recursive calls to the divide-and-conquer algorithm, although practical implementations often switch to the QR algorithm for small enough submatrices.
+
1. Вблизи точки <math>\lambda = \lambda_{j}</math> функция <math>f(\lambda)</math> аппроксимируется линейной функцией <math>l(\lambda)</math>; график есть прямая линия, касающаяся графика функции <math>f(\lambda)</math> при <math>\lambda = \lambda_{j}</math>.
  
−
The ''conquer'' part of the algorithm is the unintuitive part. Given the diagonalizations of the submatrices, calculated above, how do we find the diagonalization of the original matrix?
+
2. В качестве <math>\lambda_{j+1}</math> берётся нуль этого линейного приближения, т.е. <math>l(\lambda_{j+1})=0</math>.
  
−
First, define <math>z^{T} = (q_{1}^{T},q_{2}^{T})</math>, where <math>q_{1}^{T}</math> is the last row of <math>Q_{1}</math> and <math>q_{2}^{T}</math> is the first row of <math>Q_{2}</math>.  It is now elementary to show that
+
Функция, показанная на рис.1, не доставляет видимых трудностей методу Ньютона, поскольку вблизи каждого своего нуля <math>f(\lambda)</math> достаточно хорошо аппроксимируется линейными функциями. Однако рассмотрим график функции на рис. 2. Она получена из функции на рис. 1 заменой значения .5 для <math>u_{i}^{2}</math> на .001. Это новое значение недостаточно мало для того, чтобы вызвать дефляцию. График функции в левой части рис.2 визуально не отличим от её вертикальных и горизонтальных асимптот, поэтому в правой части укрупненно воспроизведён фрагмент графика, прилегающий к вертикальной асимптоте <math>\lambda = 2</math>. Видно, что график слишком быстро "выполняет поворот" и для большей части значений <math>\lambda</math> почти горизонтален. Поэтому, применяя метод Ньютона почти к любому начальному приближению <math>\lambda_{0}</math>, мы получаем линейное приближение <math>l(\lambda)</math> с почти горизонтальным графиком и малым положительным угловым коэффициентом. В результате <math>\lambda_{1}</math> является отрицательным числом, огромным по абсолютной величине, которое совершенно бесполезно в качестве приближения к истинному корню.
−
:<math>T = \begin{bmatrix} Q_{1} & \\ & Q_{2} \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} D_{1} & \\ & D_{2} \end{bmatrix} + \beta z z^{T} \right) \begin{bmatrix} Q_{1}^{T} & \\ & Q_{2}^{T} \end{bmatrix}</math>
 
  
−
The remaining task has been reduced to finding the eigenvalues of a diagonal matrix plus a rank-one correction. Before showing how to do this, let us simplify the notation. We are looking for the eigenvalues of the matrix <math>D + w w^{T}</math>, where <math>D</math> is diagonal with distinct entries and <math>w</math> is any vector with nonzero entries.
+
[[File:GraphNewton.png|thumb|center|800px|Рис. 2. График функции <math> f(\lambda) = 1 + \frac{10^{-3}}{1 - \lambda} + \frac{10^{-3}}{2 - \lambda} + \frac{10^{-3}}{3 - \lambda} + \frac{10^{-3}}{4 - \lambda}</math>]]
  
−
If w<sub>i</sub> is zero, (<math>e_i</math>,d<sub>i</sub>) is an eigenpair of <math>D + w w^{T}</math> since
+
Чтобы найти выход из этого положения, можно модифицировать метод Ньютона следующим образом: раз <math>f(\lambda)</math> нельзя хорошо приблизить линейной функцией <math>l(\lambda)</math>, попробуем взять в качестве приближения какую-нибудь другую простую функцию <math>h(\lambda)</math>. Нет ничего особого именно в прямых линиях: для метода Ньютона вместо <math>l(\lambda)</math> можно взять любое приближение <math>h(\lambda)</math>, значения и нули которого легко вычисляются. Функция <math>f(\lambda)</math> имеет полюсы в точках <math>d_{i}</math> и <math>d_{i+1}</math>, которые определяют её поведение в соответствующих окрестностях. Поэтому при поиске корня в интервале <math>(d_{i+1}, d_{i})</math> естественно выбрать функцию <math>h(\lambda)</math>, также имеющую эти полюсы, т.е. функцию вида
−
<math>(D + w w^{T})e_i = De_i = d_i e_i</math>.
+
<math>h(\lambda)= \frac{c_{1}}{d_{i}-\lambda} + \frac{c_{2}}{d_{i+1}-\lambda} + c_{3}</math>
  
−
If <math>\lambda</math> is an eigenvalue, we have:
+
Константы <math>c_{1},c_{2}</math> и <math>c_{3}</math> обеспечивающие, что <math>h(\lambda)</math> есть приближение к <math>f(\lambda)</math>, можно выбрать несколькими способами. Отметим, что если <math>c_{1},c_{2}</math> и <math>c_{3}</math> уже известны, то уравнение <math>h(\lambda)=0</math> легко решается относительно <math>\lambda</math>, поскольку сводится к эквивалентному квадратному уравнению
−
:<math>(D + w w^{T})q = \lambda q</math>
+
<math>c_{1}(d_{i+1}-\lambda)+c_{2}(d_{i}-\lambda)+c_{3}(d_{i}-\lambda)(d_{i+1}-\lambda)=0</math>
−
where <math>q</math> is the corresponding eigenvector.  Now
 
−
:<math>(D - \lambda I)q + w(w^{T}q) = 0</math>
 
−
:<math>q + (D - \lambda I)^{-1} w(w^{T}q) = 0</math>
 
−
:<math>w^{T}q + w^{T}(D - \lambda I)^{-1} w(w^{T}q) = 0</math>
 
−
Keep in mind that <math>w^{T}q</math> is a nonzero scalar. Neither <math>w</math> nor <math>q</math> are zero. If <math>w^{T}q</math> were to be zero, <math>q</math> would be an eigenvector of <math>D</math> by <math>(D + w w^{T})q = \lambda q</math>. If that were the case, <math>q</math> would contain only one nonzero position since <math>D</math> is distinct diagonal and thus the inner product <math>w^{T}q</math> can not be zero after all. Therefore, we have:
 
−
:<math>1 + w^{T}(D - \lambda I)^{-1} w = 0</math>
 
−
or written as a scalar equation,
 
−
:<math>1 + \sum_{j=1}^{m} \frac{w_{j}^{2}}{d_{j} - \lambda} = 0.</math>
 
−
This equation is known as the ''secular equation''. The problem has therefore been reduced to finding the roots of the [[rational function]] defined by the left-hand side of this equation.
 
  
−
All general eigenvalue algorithms must be iterative, and the divide-and-conquer algorithm is no different. Solving the [[nonlinear]] secular equation requires an iterative technique, such as the [[Newton's method|Newton–Raphson method]].  However, each root can be found in [[Big O notation|O]](1) iterations, each of which requires <math>\Theta(m)</math> flops (for an <math>m</math>-degree rational function), making the cost of the iterative part of this algorithm <math>\Theta(m^{2})</math>.
+
Пусть <math>\lambda_{j}</math> - приближённое значение корня. определим <math>c_{1},c_{2}</math> и <math>c_{3}</math> так, чтобы
 +
<math>\frac{c_{1}}{d_{i}-\lambda} + \frac{c_{2}}{d_{i+1}-\lambda} + c_{3} = h(\lambda) \approx f(\lambda) = 1 + \rho \sum_{k=1, n} \frac{u_{k}^{2}} {d_{k}-\lambda} </math>
  
−
== Вычислительное ядро алгоритма ==
+
для <math>\lambda</math> в окрестности <math>\lambda_{j}</math>. Заметим, что
−
В описываемом алгоритме выделяется и описывается [[глоссарий#Вычислительное ядро|''вычислительное ядро'']], т.е. та часть алгоритма, на которую приходится основное время работы алгоритма. Если в алгоритме несколько вычислительных ядер, то отдельно описывается каждое ядро. Описание может быть сделано в достаточно произвольной форме: словесной или с использованием языка математических формул. Вычислительное ядро может полностью совпадать с описываемым алгоритмом.
+
 
 +
<math>f(\lambda) = 1 + \rho \sum_{k=1, i} \frac{u_{k}^{2}} {d_{k}-\lambda} + \rho \sum_{k=i+1, n} \frac{u_{k}^{2}} {d_{k}-\lambda} \equiv 1 + \psi_{1}(\lambda) + \psi_{2}(\lambda)</math>.
 +
 
 +
Если <math>\lambda \in (d_{i+1},d_{i})</math>, то <math>\psi_{1}(\lambda)</math> есть сумма положительных слагаемых, а <math>\psi_{2}(\lambda)</math> - сумма отрицательных. Поэтому и <math>\psi_{1}(\lambda)</math>, и <math>\psi_{2}(\lambda)</math> могут быть вычислены с высокой точностью; однако при их сложении вполне вероятно взаимное уничтожение верных разрядов и потеря относительной точности в сумме. Возьмем числа <math>c_{1}</math> и <math>\hat{c_{1}}</math>, такие, что функция
 +
 
 +
<math>h_{1}(\lambda) \equiv \hat{c_{1}} + \frac{c_{1}}{d_{i}-\lambda}</math>  удовлетворяет условиям  <math>h_{1}(\lambda_{j}) = \psi_{1}(\lambda_{j})</math> и <math>h_{1}^{'}(\lambda_{j})=\psi_{1}^{'}(\lambda_{j})</math> (1)
 +
 
 +
Это означает, что гипербола, являющаяся графиком функции <math>h_{1}(\lambda)</math>, касается графика функции <math>\psi_{i}(\lambda)</math> при <math>\lambda = \lambda_{j}</math>. Два условия в (1) - это обычные условия метода Ньютона, за исключением того, что вместо прямой в качестве приближения используется гипербола. Легко проверить, что <math>c_{1}=\psi_{1}^{'}(\lambda_{j})(d_{i} - \lambda_{j})^{2}</math> и <math>\hat{c_{1}}=\psi_{1}(\lambda_{j}) - \psi_{1}^{'}(\lambda_{j})(d_{i} - \lambda_{j})</math>
 +
 
 +
Подобным же образом выбираем <math>c_{2}</math> и <math>\hat{c_{2}}</math> так, чтобы функция
 +
 
 +
<math>h_{2}(\lambda) \equiv \hat{c_{2}} + \frac{c_{2}}{d_{i+1}-\lambda}</math>
 +
 
 +
Удовлетворяла условиям
 +
 
 +
  <math>h_{2}(\lambda_{j}) = \psi_{2}(\lambda_{j})</math> и <math>h_{2}^{'}(\lambda_{j})=\psi_{2}^{'}(\lambda_{j})</math> (2)
 +
 
 +
Наконец, полагаем
 +
 
 +
<math>h(\lambda) = 1 + h_{1}(\lambda) + h_{2}(\lambda) = (1 + \hat{c_{1}} + \hat{c_{2}} + \frac{c_{1}}{d_{i}-\lambda} + \frac{c_{2}}{d_{i+1}-\lambda} </math>
  
−
== Макроструктура алгоритма ==
+
<math>\equiv c_{3} + \frac{c_{1}}{d_{i}-\lambda} + \frac{c_{2}}{d_{i+1}-\lambda}</math>.
−
Сюда добавим про дефляцию и решение векового уравнения
 
  
 
== Схема реализации последовательного алгоритма ==
 
== Схема реализации последовательного алгоритма ==
Строка 165: Строка 173:
 
''proc dc_eig''<math>(T,Q,\Lambda)...</math> по входной матрице <math>T</math> вычисляются выходные матрицы <math>Q</math> и <math>\Lambda</math>, такие, что <math>T = Q\Lambda Q^{T}</math>
 
''proc dc_eig''<math>(T,Q,\Lambda)...</math> по входной матрице <math>T</math> вычисляются выходные матрицы <math>Q</math> и <math>\Lambda</math>, такие, что <math>T = Q\Lambda Q^{T}</math>
  
−
Если <math>T</math> - матрица размера <math>1 x 1</math>
+
'''Если <math>T</math> - матрица размера <math>1</math> x <math>1</math>'''
−
 
 
−
1. Присвоить выходным параметрам значения <math> Q = 1, \Lambda = T</math>
 
  
−
Иначе
+
  1. Присвоить выходным параметрам значения <math> Q = 1, \Lambda = T</math>
  
−
1. Представить <math>T</math> в виде <math> T = \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T} </math>
+
'''Иначе'''
  
−
2. ''call dc_eig''<math>(T_{1},Q_{1},\Lambda_{1})</math>
+
  1. Представить <math>T</math> в виде <math> T = \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T} </math>
  
−
3. ''call dc_eig''<math>(T_{2},Q_{2},\Lambda_{2})</math>
+
  2. ''call dc_eig''<math>(T_{1},Q_{1},\Lambda_{1})</math>
  
−
4. Построить <math>D+\rho uu^{T}</math> по <math> Lambda_{1},Lambda_{2}, Q_{1}, Q_{2}</math>
+
  3. ''call dc_eig''<math>(T_{2},Q_{2},\Lambda_{2})</math>
  
−
5. Найти матрицу собственных значений <math>\Lambda</math>
+
  4. Построить <math>D+\rho uu^{T}</math> по <math> \Lambda_{1},\Lambda_{2}, Q_{1}, Q_{2}</math>
  
−
6. Найти матрицу собственных векторов <math>Q^{'}</math> для матрицы <math>D+\rho uu^{T}</math>
+
  5. Найти матрицу собственных значений <math>\Lambda</math>
  
−
7. Построить матрицу собственных векторов <math>Q</math> для матрицы <math>T</math> :
+
  6. Найти матрицу собственных векторов <math>Q^{'}</math> для матрицы <math>D+\rho uu^{T}</math>
  
−
<math> Q = \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix}* Q^{'} </math>
+
  7. Построить матрицу собственных векторов <math>Q</math> для матрицы <math>T</math> : <math> Q = \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix}* Q^{'} </math>
  
−
8. Присвоить выходным параметрам значения <math>Q</math> и <math>\Lambda</math>
+
  8. Присвоить выходным параметрам значения <math>Q</math> и <math>\Lambda</math>
  
−
''endif''
+
'''endif'''
  
 
== Последовательная сложность алгоритма ==
 
== Последовательная сложность алгоритма ==
 
Проанализируем сложность алгоритма. Пусть <math>t(n)</math> - число флопов при обработке матрицы размера <math> n x n</math> процедурой ''dc_eig''. Тогда  
 
Проанализируем сложность алгоритма. Пусть <math>t(n)</math> - число флопов при обработке матрицы размера <math> n x n</math> процедурой ''dc_eig''. Тогда  
  
−
<math> t(n) = 2t(n/2) </math> два рекурсивных обращения к ''dc_eig''<(math>T_{i},Q_{i},\Lambda_{i})</math>
+
<math> t(n) = 2t(n/2) </math> два рекурсивных обращения к ''dc_eig''<math>(T_{i},Q_{i},\Lambda_{i})</math>
  
 
<math> +O(n^{2})</math> вычисление собственных значений матрицы <math>D+\rho uu^{T}</math>
 
<math> +O(n^{2})</math> вычисление собственных значений матрицы <math>D+\rho uu^{T}</math>
Строка 203: Строка 209:
  
  
−
Если <math> Q_{1}, Q_{2}</math> и <math>Q^{'}</math> рассматриваются как плотные матрицы и используется стандартный алгоритм матричного умножения, то константа <math> c </math> в последней строке равна 1. Таким образом, именно это умножение составляет наиболее трудоёмкую часть алгоритма в целом. Игнорируя члены порядка <math>n^{2}</math>, получаем <math>t(n) = 2t(n/2) + cn^{3}</math>. Решая это разностное уравнение, находим <math> t = c\frac{4}{3}n^{3} </math>
+
Если <math> Q_{1}, Q_{2}</math> и <math>Q^{'}</math> рассматриваются как плотные матрицы и используется стандартный алгоритм матричного умножения, то константа <math> c </math> в последней строке равна 1. Таким образом, именно это умножение составляет наиболее трудоёмкую часть алгоритма в целом. Игнорируя члены порядка <math>n^{2}</math>, получаем <math>t(n) = 2t(n/2) + cn^{3}</math>. Решая это разностное уравнение, находим <math> t \approx c\frac{4}{3}n^{3} </math>
  
−
На практике константа <math>c</math> обычно гораздо меньше <math>1</math>, потому что матрица <math>Q^{'}</math> весьма разрежена вследствие явления, называемого дефляцией.
+
На практике константа <math>c</math> обычно гораздо меньше 1, потому что матрица <math>Q^{'}</math> весьма разрежена вследствие явления, называемого дефляцией.
  
 
== Информационный граф ==
 
== Информационный граф ==
−
Это очень важный раздел описания. Именно здесь можно показать (увидеть) как устроена параллельная структура алгоритма, для чего приводится описание и изображение его информационного графа ([[глоссарий#Граф алгоритма|''графа алгоритма'']] [1]). Для рисунков с изображением графа будут составлены рекомендации по их формированию, чтобы все информационные графы, внесенные в энциклопедию, можно было бы воспринимать и интерпретировать одинаково. Дополнительно можно привести полное параметрическое  описание графа в терминах покрывающих функций [1].
+
В данном разделе представлен информационный граф алгоритма: на рисунке 2 изображена структура всего алгоритма в целом, в то время как на рисунке 3 детально описана одна из ячеек структуры.
−
 
+
[[File:DivideAndConquerTree.png|thumb|center|left|800px|Рис. 3. Дерево алгоритма "Разделяй и властвуй"]]
−
Интересных вариантов для отражения информационной структуры алгоритмов много. Для каких-то алгоритмов нужно показать максимально подробную структуру, а иногда важнее макроструктура. Много информации несут разного рода проекции информационного графа, выделяя его регулярные составляющие и одновременно скрывая несущественные детали. Иногда оказывается полезным показать последовательность в изменении графа при изменении значений внешних переменных  (например, размеров матриц): мы часто ожидаем "подобное" изменение информационного графа, но это изменение не всегда очевидно на практике.
 
−
 
 
−
В целом, задача изображения графа алгоритма весьма нетривиальна. Начнем с того, что это потенциально бесконечный граф, число вершин и дуг которого определяется значениями внешних переменных, а они могут быть весьма и весьма велики. В такой ситуации, как правило, спасают упомянутые выше соображения подобия, делающие графы для разных значений внешних переменных "похожими": почти всегда достаточно привести лишь один граф небольшого размера, добавив, что графы для остальных значений будут устроены "точно также". На практике, увы, не всегда все так просто, и здесь нужно быть аккуратным.
 
−
 
 
−
Далее, граф алгоритма - это потенциально многомерный объект. Наиболее естественная система координат для размещения вершин и дуг информационного графа опирается на структуру вложенности циклов в реализации алгоритма. Если глубина вложенности циклов не превышает трех, то и граф размещается в привычном трехмерном пространстве, однако для более сложных циклических конструкций с глубиной вложенности 4 и больше необходимы специальные методы представления и изображения графов.
 
−
 
 
−
В данном разделе AlgoWiki могут использоваться многие интересные возможности, которые еще подлежат обсуждению: возможность повернуть граф при его отображении на экране компьютера для выбора наиболее удобного угла обзора, разметка вершин по типу соответствующим им операций, отражение [[глоссарий#Ярусно-параллельная форма графа алгоритма|''ярусно-параллельной формы графа'']] и другие. Но в любом случае нужно не забывать главную задачу данного раздела - показать информационную структуру алгоритма так, чтобы стали понятны все его ключевые особенности, особенности параллельной структуры, особенности множеств дуг, участки регулярности и, напротив, участки с недерминированной структурой, зависящей от входных данных.
 
−
 
 
−
На рис.1 показана информационная структура алгоритма умножения матриц, на рис.2 - информационная структура одного из вариантов алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений с блочно-двухдиагональной матрицей.
 
  
−
[[file:Fig1.svg|thumb|center|300px|Рис.1. Информационная структура алгоритма умножения матриц]]
+
[[File:InfoGraph.jpg|thumb|center|1200px|Рис. 4. Детальное описание одного блока алгоритма]]
−
[[file:Fig2.svg|thumb|center|300px|Рис.2. Информационная структура одного из вариантов алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений с блочно-двухдиагональной матрицей]]
 
  
 
== Ресурс параллелизма алгоритма ==
 
== Ресурс параллелизма алгоритма ==
−
Здесь приводится оценка [[глоссарий#Параллельная сложность|''параллельной сложности'']] алгоритма: числа шагов, за которое можно выполнить данный алгоритм в предположении доступности неограниченного числа необходимых процессоров (функциональных устройств, вычислительных узлов, ядер и т.п.). Параллельная сложность алгоритма понимается как высота канонической ярусно-параллельной формы [1]. Необходимо указать, в терминах каких операций дается оценка. Необходимо описать сбалансированность параллельных шагов по числу и типу операций, что определяется шириной ярусов канонической ярусно-параллельной формы и составом операций на ярусах.  
+
Рассмотрев информационный граф алгоритма, можно заметить, что в структуре имеется два параллельных блока - вызов рекурсивных функций ''dc_eig'' для вычисления собственных значений и векторов матриц <math>T_{1}</math> и <math>T_{2}</math> - это единственная часть алгоритма, в которой мы прибегаем к параллелизму. В случае реализации без параллелизма, функции ''dc_eig'' отрабатывают последовательно - сначала со входными параметрами <math>T_{1}, Q_{1}, \Lambda_{1}</math>, затем - <math>T_{2}, Q_{2}, \Lambda_{2}</math>.
  
−
Параллелизм в алгоритме часто имеет естественную иерархическую структуру. Этот факт очень полезен на практике, и его необходимо отразить в описании. Как правило, подобная иерархическая структура параллелизма хорошо отражается в последовательной реализации алгоритма через циклический профиль результирующей программы (конечно же, с учетом графа вызовов), поэтому циклический профиль ([[#Описание схемы реализации последовательного алгоритма|п.1.5]]) вполне  может быть использован и для отражения ресурса параллелизма.
+
== Входные и выходные данные алгоритма ==
 +
На вход алгоритму подаётся трёхдиагональная матрица, описанная в разделе [[#Математическое описание алгоритма]]
  
−
Для описания ресурса параллелизма алгоритма (ресурса параллелизма информационного графа) необходимо указать ключевые параллельные ветви в терминах [[глоссарий#Конечный параллелизм|''конечного'']] и [[глоссарий#Массовый параллелизм|''массового'']] параллелизма. Далеко не всегда ресурс параллелизма выражается просто, например, через [[глоссарий#Кооодинатный параллелизм|''координатный параллелизм'']] или, что то же самое, через независимость итераций некоторых циклов (да-да-да, циклы - это понятие, возникающее лишь на этапе реализации, но здесь все так связано… В данном случае, координатный параллелизм означает, что информационно независимые вершины лежат на гиперплоскостях, перпендикулярных одной из координатных осей). С этой точки зрения, не менее важен и ресурс [[глоссарий#Скошенный параллелизм|''скошенного параллелизма'']]. В отличие от координатного параллелизма, скошенный параллелизм намного сложнее использовать на практике, но знать о нем необходимо, поскольку иногда других вариантов и не остается: нужно оценить потенциал алгоритма, и лишь после этого, взвесив все альтернативы, принимать решение о конкретной параллельной реализации. Хорошей иллюстрацией может служить алгоритм, структура которого показана на рис.2: координатного параллелизма нет, но есть параллелизм скошенный, использование которого снижает сложность алгоритма с <math>n\times m</math> в последовательном случае до <math>(n+m-1)</math> в параллельном варианте.
+
На выходе мы получаем собственные значения и собственные вектора исходной матрицы
−
 
 
−
Рассмотрим алгоритмы, последовательная сложность которых уже оценивалась в [[#Последовательная сложность алгоритма|п.1.6]]. Параллельная сложность алгоритма суммирования элементов вектора сдваиванием равна <math>\log_2n</math>, причем число операций на каждом ярусе убывает с <math>n/2</math> до <math>1</math>. Параллельная сложность быстрого преобразования Фурье (базовый алгоритм Кули-Тьюки) для векторов с длиной, равной степени двойки - <math>\log_2n</math>. Параллельная сложность базового алгоритма разложения Холецкого (точечный вариант для плотной симметричной и положительно-определенной матрицы) это <math>n</math> шагов для вычислений квадратного корня, <math>(n-1)</math> шагов для операций деления и <math>(n-1)</math> шагов для операций умножения и сложения.
 
−
 
 
−
== Входные и выходные данные алгоритма ==
 
−
В данном разделе необходимо описать объем, структуру, особенности и свойства входных и выходных данных алгоритма: векторы, матрицы, скаляры, множества, плотные или разреженные структуры данных, их объем. Полезны предположения относительно диапазона значений или структуры, например, диагональное преобладание в структуре входных матриц, соотношение между размером матриц по отдельным размерностям, большое число матриц очень малой размерности, близость каких-то значений к машинному нулю, характер разреженности матриц и другие.
 
  
 
== Свойства алгоритма ==
 
== Свойства алгоритма ==
−
Описываются прочие свойства алгоритма, на которые имеет смысл обратить внимание на этапе реализации. Как и ранее, никакой привязки к конкретной программно-аппаратной платформе не предполагается, однако вопросы реализации в проекте AlgoWiki всегда превалируют, и необходимость обсуждения каких-либо свойств алгоритмов определяется именно этим.
+
Описанный в данной статье алгоритм является самым быстрым алгоритмом, среди существующих: QR / Бисекция и обратная итерация / Разделяй и властвуй.
−
 
 
−
Весьма полезным является ''соотношение последовательной и параллельной сложности'' алгоритма. Оба понятия мы рассматривали ранее, но здесь делается акцент на том выигрыше, который теоретически может дать параллельная реализация алгоритма. Не менее важно описать и те сложности, которые могут возникнуть в процессе получения параллельной версии алгоритма.
 
−
 
 
−
[[глоссарий#Вычислительная мощность|''Вычислительная мощность'']] алгоритма равна отношению числа операций к суммарному объему входных и выходных данных. Она показывает, сколько операций приходится на единицу переданных данных. Несмотря на простоту данного понятия, это значение исключительно полезно на практике: чем выше  вычислительная мощность, тем меньше накладных расходов вызывает перемещение данных для их обработки, например, на сопроцессоре, ускорителе или другом узле кластера. Например, вычислительная мощность скалярного произведения двух векторов равна всего лишь <math>1</math>, а вычислительная мощность алгоритма умножения двух квадратных матриц равна <math>2n/3</math>.
 
−
 
 
−
Вопрос первостепенной важности на последующем этапе реализации - это [[глоссарий#Устойчивость|''устойчивость'']] алгоритма. Все, что касается различных сторон этого понятия, в частности, оценки устойчивости, должно быть описано в данном разделе.
 
−
 
 
−
''Сбалансированность'' вычислительного процесса можно рассматривать с разных сторон. Здесь и сбалансированность типов операций, в частности, арифметических операций между собой (сложение, умножение, деление) или же арифметических операций по отношению к операциям обращения к памяти (чтение/запись). Здесь и сбалансированность операций между параллельными ветвями алгоритма. С одной стороны, балансировка нагрузки является необходимым условием эффективной реализации алгоритма. Вместе с этим, это очень непростая задача, и в описании должно быть отмечено явно, насколько алгоритм обладает этой особенностью. Если обеспечение сбалансированности не очевидно, желательно описать возможные пути решения этой задачи.
 
  
−
На практике важна [[глоссарий#Детерминированность|''детерминированность алгоритмов'']], под которой будем понимать постоянство структуры вычислительного процесса. С этой точки зрения, классическое умножение плотных матриц является детерминированным алгоритмом, поскольку его структура при фиксированном размере матриц никак не зависит от элементов входных матриц. Умножение разреженных матриц, когда матрица хранятся в одном из специальных форматов, свойством детерминированности уже не обладает: его свойства, например, степень локальности данных зависит от структуры разреженности входных матриц. Итерационный алгоритм с выходом по точности также не является детерминированным: число итераций, а значит и число операций, меняется в зависимости от входных данных. В этом же ряду стоит использование датчиков случайных чисел, меняющих вычислительный процесс для различных запусков программы. Причина выделения свойства детерминированности понятна: работать с детерминированным алгоритмом проще, поскольку один раз найденная структура и будет определять качество его реализации. Если детерминированность нарушается, то это должно быть здесь описано вместе с описанием того, как недетерминированность влияет на структуру вычислительного процесса.
+
Последовательная сложность алгоритма: <math> t = c\frac{4}{3}n^{3} </math>
  
−
Серьезной причиной недетерминированности работы параллельных программ является изменение порядка выполнения ассоциативных операций. Типичный пример - это использование глобальных MPI-операций на множестве параллельных процессов, например, суммирование элементов распределенного массива. Система времени исполнения MPI сама выбирает порядок выполнения операций, предполагая выполнение свойства ассоциативности, из-за чего ошибки округления меняются от запуска программы к запуску, внося изменения в конечный результат ее работы. Это очень серьезная проблема, которая сегодня встречается часто на системах с массовым параллелизмом и определяет отсутствие повторяемости результатов работы параллельных программ. Данная особенность характерна для [[#ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритмов|второй части AlgoWiki]], посвященной реализации алгоритмов, но вопрос очень важный, и соответствующие соображения, по возможности, должны быть отмечены и здесь.
+
Параллельная сложность алгоритма (в силу использования дефляции): <math> O(n^{2.3)}</math>  или в самых редких случаях <math> O(n^{2}) </math> (см. [3] стр. 8).
  
−
Заметим, что, в некоторых случаях, недетерминированность в структуре алгоритмов можно "убрать" введением соответствующих макроопераций, после чего структура становится не только детерминированной, но и более понятной для восприятия. Подобное действие также следует отразить в данном разделе.
+
Особенности алгоритма:
  
−
[[глоссарий#Степень исхода|''Степень исхода вершины информационного графа'']] показывает, в скольких операциях ее результат будет использоваться в качестве аргумента. Если степень исхода вершины велика, то на этапе реализации алгоритма нужно позаботиться об эффективном доступе к результату ее работы. В этом смысле, особый интерес представляют рассылки данных, когда результат выполнения одной операции используется во многих других вершинах графа, причем число таких вершин растет с увеличением значения внешних переменных.
+
1. Использование дефляции ([[#Дефляция]])
  
−
''"Длинные" дуги в информационном графе'' [1] говорят о потенциальных сложностях с размещением данных в иерархии памяти компьютера на этапе выполнения программы. С одной стороны, длина дуги зависит от выбора конкретной системы координат, в которой расположены вершины графа, а потому в другой системе координат они попросту могут исчезнуть (но не появится ли одновременно других длинных дуг?). А с другой стороны, вне зависимости от системы координат их присутствие может быть сигналом о необходимости длительного хранения данных на определенном уровне иерархии, что накладывает дополнительные ограничения на эффективность реализации алгоритма. Одной из причин возникновения длинных дуг являются рассылки скалярных величин по всем итерациям какого-либо цикла: в таком виде длинные дуги не вызывают каких-либо серьезных проблем на практике.
+
2. Использование адаптированного метода Ньютона ([[#Макроструктура алгоритма]])
−
 
 
−
Для проектирования специализированных процессоров или реализации алгоритма на ПЛИС представляют интерес ''компактные укладки информационного графа'' [1], которые также имеет смысл привести в данном разделе.
 
  
 
= ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма =
 
= ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма =
 
Вторая часть описания алгоритмов в рамках AlgoWiki рассматривает все составные части процесса их реализации. Рассматривается как последовательная реализация алгоритма, так и параллельная. Описывается взаимосвязь свойств программ, реализующих алгоритм, и особенностей архитектуры компьютера, на которой они выполняются. Исследуется работа с памятью, локальность данных и вычислений, описывается масштабируемость и эффективность параллельных программ, производительность компьютеров, достигаемая на данной программе. Обсуждаются особенности реализации для разных классов архитектур компьютеров, приводятся ссылки на реализации в существующих библиотеках.
 
Вторая часть описания алгоритмов в рамках AlgoWiki рассматривает все составные части процесса их реализации. Рассматривается как последовательная реализация алгоритма, так и параллельная. Описывается взаимосвязь свойств программ, реализующих алгоритм, и особенностей архитектуры компьютера, на которой они выполняются. Исследуется работа с памятью, локальность данных и вычислений, описывается масштабируемость и эффективность параллельных программ, производительность компьютеров, достигаемая на данной программе. Обсуждаются особенности реализации для разных классов архитектур компьютеров, приводятся ссылки на реализации в существующих библиотеках.
  
−
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
 
−
Здесь описываются особенности и варианты реализации алгоритма в виде последовательной программы, которые влияют на [[глоссарий#Эффективность реализации|''эффективность ее выполнения'']]. В частности, в данном разделе имеет смысл ''сказать о существовании блочных вариантов реализации алгоритма'', дополнительно описав потенциальные преимущества или недостатки, сопровождающие такую реализацию. Важный вопрос - это ''возможные варианты организации работы с данными'', варианты структур данных, наборов временных массивов и другие подобные вопросы. Для различных вариантов реализации следует оценить доступный ресурс параллелизма и объем требуемой памяти.
 
−
 
−
Важным нюансом является ''описание необходимой разрядности выполнения операций алгоритма'' (точности). На практике часто нет никакой необходимости выполнять все арифметические операции над вещественными числами с двойной точностью, т.к. это не влияет ни на устойчивость алгоритма, ни на точность получаемого результата. В таком случае, если значительную часть операций можно выполнять над типом float, и лишь в некоторых фрагментах необходим переход к типу double, это обязательно нужно отметить. Это прямое указание не только на правильную реализацию с точки зрения устойчивости по отношению к ошибкам округления, но и на более эффективную.
 
−
 
−
Опираясь на информацию из [[#Описание ресурса параллелизма алгоритма|п.1.8]] (описание ресурса параллелизма алгоритма), при описании последовательной версии стоит сказать про возможности [[глоссарий#Эквивалентное преобразование|''эквивалентного преобразования программ'']], реализующих данных алгоритм. В дальнейшем, это даст возможность простого использования доступного параллелизма или же просто покажет, как использовать присущий алгоритму параллелизм на практике. Например, параллелизм на уровне итераций самого внутреннего цикла обычно используется для векторизации. Однако, в некоторых случаях этот параллелизм можно поднять "вверх" по структуре вложенности объемлющих циклов, что делает возможной и эффективную реализацию данного алгоритма на многоядерных SMP-компьютерах.
 
−
 
−
С этой же точки зрения, в данном разделе весьма полезны соображения по реализации алгоритма на различных параллельных вычислительных платформах. Высокопроизводительные кластеры, многоядерные узлы, возможности для векторизации или использования ускорителей - особенности этих архитектур не только опираются на разные свойства алгоритмов, но и по-разному должны быть выражены в программах, что также желательно описать в данном разделе.
 
−
 
−
== [[Локальность данных и вычислений]] ==
 
−
Вопросы локальности данных и вычислений не часто изучаются на практике, но именно локальность определяет эффективность выполнения программ на современных вычислительных платформах [2, 3]. В данном разделе приводятся оценки степени [[глоссарий#Локальность использования данных|''локальности данных'']] и [[глоссарий#Локальность вычислений|вычислений]] в программе, причем рассматривается как [[глоссарий#Временная локальность|''временна́я'']], так и [[глоссарий#Пространственная локальность|''пространственная'']] локальность. Отмечаются позитивные и негативные факты, связанные с локальностью, какие ситуации и при каких условиях могут возникать. Исследуется, как меняется локальность при переходе от последовательной реализации к параллельной. Выделяются ключевые шаблоны взаимодействия программы, реализующей описываемый алгоритм, с памятью. Отмечается возможная взаимосвязь между используемыми конструкциями языков программирования и степенью локальности, которыми обладают результирующие программы.
 
−
 
−
Отдельно приводятся профили взаимодействия с памятью для вычислительных ядер и ключевых фрагментов. Если из-за большого числа обращений по общему профилю сложно понять реальную специфику взаимодействия программ с памятью, то проводится последовательная детализация и приводится серия профилей более мелкого масштаба.
 
−
 
−
На рис.3 и рис.4 показаны профили обращения в память для программ, реализующих разложение Холецкого и быстрое преобразование Фурье, по которым хорошо видна разница свойств локальности у данных алгоритмов.
 
−
 
−
[[file:Cholesky_locality1.jpg|thumb|center|700px|Рис.3 Реализация метода Холецкого. Общий профиль обращений в память]]
 
−
[[file:fft 1.PNG|thumb|center|700px|Рис.4 Нерекурсивная реализация БПФ для степеней двойки. Общий профиль обращений в память]]
 
−
 
−
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
 
−
Раздел довольно обширный, в котором должны быть описаны основные факты и положения, формирующие параллельную программу. К их числу можно отнести:
 
−
* представленный иерархически ресурс параллелизма, опирающийся на структуру циклических конструкций и на граф вызовов программы;
 
−
* комбинацию (иерархию) массового параллелизма и параллелизма конечного;
 
−
* возможные способы распределения операций между процессами/нитями;
 
−
* возможные способы распределения данных;
 
−
* оценку количества операций, объёма и числа пересылок данных (как общего числа, так и в пересчёте на каждый параллельный процесс);
 
−
 
−
и другие.
 
−
 
−
В этом же разделе должны быть даны рекомендации или сделаны комментарии относительно реализации алгоритма с помощью различных технологий параллельного программирования: MPI, OpenMP, CUDA или использования директив векторизации.
 
  
 
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==
 
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==
−
Задача данного раздела - показать пределы [[глоссарий#Масштабируемость|''масштабируемости'']] алгоритма на различных платформах. Очень важный раздел. Нужно выделить, описать и оценить влияние точек барьерной синхронизации, глобальных операций, операций сборки/разборки данных, привести оценки или провести исследование [[глоссарий#Сильная масштабируемость|''сильной'']] и [[глоссарий#Слабая масштабируемость|''слабой'']] масштабируемости алгоритма и его реализаций.
+
TBD
−
 
 
−
Масштабируемость алгоритма определяет свойства самого алгоритма безотносительно конкретных особенностей используемого компьютера. Она показывает, насколько параллельные свойства алгоритма позволяют использовать возможности растущего числа процессорных элементов. Масштабируемость параллельных программ определяется как относительно конкретного компьютера, так и относительно используемой технологии программирования, и в этом случае она показывает, насколько может вырасти реальная производительность данного компьютера на данной программе, записанной с помощью данной технологии программирования, при использовании бóльших вычислительных ресурсов (ядер, процессоров, вычислительных узлов).
 
−
 
 
−
Ключевой момент данного раздела заключается в том, чтобы показать ''реальные параметры масштабируемости программы'' для данного алгоритма на различных вычислительных платформах в зависимости от числа процессоров и размера задачи  [4]. При этом важно подобрать такое соотношение между числом процессоров и размером задачи, чтобы отразить все характерные точки в поведении параллельной программы, в частности, достижение максимальной производительности, а также тонкие эффекты, возникающие, например, из-за блочной структуры алгоритма или иерархии памяти.
 
−
 
 
−
На рис.5. показана масштабируемость классического алгоритма умножения плотных матриц в зависимости от числа процессоров и размера задачи. На графике хорошо видны области с большей производительностью, отвечающие уровням кэш-памяти.
 
−
[[file:Масштабируемость перемножения матриц производительность.png|thumb|center|700px|Рис.5 Масштабируемость классического алгоритма умножения плотных матриц в зависимости от числа процессоров и размера задачи]]
 
−
 
 
−
== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
 
−
Это объемный раздел AlgoWiki, поскольку оценка эффективности реализации алгоритма требует комплексного подхода [5], предполагающего аккуратный анализ всех этапов от архитектуры компьютера до самого алгоритма. Основная задача данного раздела заключается в том, чтобы оценить степень эффективности параллельных программ, реализующих данный алгоритм на различных платформах, в зависимости от числа процессоров и размера задачи. Эффективность в данном разделе понимается широко: это и [[глоссарий#Эффективность распараллеливания|''эффективность распараллеливания'']] программы, это и [[глоссарий#Эффективность реализации|''эффективность реализации'']] программ по отношению к пиковым показателям работы вычислительных систем.
 
−
 
 
−
Помимо собственно показателей эффективности, нужно описать и все основные причины, из-за которых эффективность работы параллельной программы на конкретной вычислительной платформе не удается сделать выше. Это не самая простая задача, поскольку на данный момент нет общепринятой методики и соответствующего инструментария, с помощью которых подобный анализ можно было бы провести. Требуется оценить и описать эффективность работы с памятью (особенности профиля взаимодействия программы с памятью), эффективность использования заложенного в алгоритм ресурса параллелизма, эффективность использования коммуникационной сети (особенности коммуникационного профиля), эффективность операций ввода/вывода и т.п. Иногда достаточно интегральных характеристик по работе программы, в некоторых случаях полезно показать данные мониторинга нижнего уровня, например, по загрузке процессора, кэш-промахам, интенсивности использования сети Infiniband и т.п. Хорошее представление о работе параллельной MPI-программы дают данные трассировки, полученные, например, с помощью системы Scalasca.
 
−
 
 
−
== Выводы для классов архитектур ==
 
−
В данный раздел должны быть включены рекомендации по реализации алгоритма для разных классов архитектур. Если архитектура какого-либо компьютера или платформы обладает специфическими особенностями, влияющими на эффективность реализации, то это здесь нужно отметить.
 
  
−
На практике это сделать можно по-разному: либо все свести в один текущий раздел, либо же соответствующие факты сразу включать в предшествующие разделы, где они обсуждаются и необходимы по смыслу. В некоторых случаях, имеет смысл делать отдельные варианты всей [[#ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритмов|части II]] AlgoWiki применительно к отдельным классам архитектур, оставляя общей машинно-независимую [[#ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов|часть I]]. В любом случае, важно указать и позитивные, и негативные факты по отношению к конкретным классам. Можно говорить о возможных вариантах оптимизации или даже о "трюках" в написании программ, ориентированных на целевые классы архитектур.
 
  
 
== Существующие реализации алгоритма ==
 
== Существующие реализации алгоритма ==
−
Для многих пар алгоритм+компьютер уже созданы хорошие реализации, которыми можно и нужно пользоваться на практике. Данный раздел предназначен для того, чтобы дать ссылки на основные существующие последовательные и параллельные реализации алгоритма, доступные для использования уже сейчас. Указывается, является ли реализация коммерческой или свободной, под какой лицензией распространяется, приводится местоположение дистрибутива и имеющихся описаний. Если есть информация об особенностях, достоинствах и/или недостатках различных реализаций, то это также нужно здесь указать. Хорошими примерами реализации многих алгоритмов являются MKL, ScaLAPACK, PETSc, FFTW, ATLAS, Magma и другие подобные библиотеки.
+
Большого количества реализаций данного алгоритма найдено не было: единственный пример описан на страницах 7, 19 и 20 в [http://www.netlib.org/lapack/lawnspdf/lawn132.pdf этой статье], которая указана в списке литературы.
  
 
= Литература =
 
= Литература =
−
[1] Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. - СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.
+
[1] Дж. Деммель, «Вычислительная линейная алгебра» //С. 230-235
  
−
[2] Воеводин В.В., Воеводин Вад.В. Спасительная локальность суперкомпьютеров //Открытые системы. - 2013. - № 9. - С. 12-15.
+
[2] [http://www.netlib.org/utk/people/JackDongarra/PAPERS/104_1999_a-parallel-divide-and-conquer-algorithm.pdf Francoise Tisseury, Jack Dongarra, A Parallel Divide and Conquer Algorithm for the Symmetric Eigenvalue Problem on Distributed Memory Architectures]
  
−
[3] Воеводин Вад.В., Швец П. Метод покрытий для оценки локальности использования данных в программах // Вестник УГАТУ. — 2014. — Т. 18, № 1(62). — С. 224–229.
+
[3] [http://www.netlib.org/lapack/lawnspdf/lawn132.pdf Francoise Tisseury, Jack Dongarra, Parallelizing the Divide and Conquer Algorithm for the Symmetric Tridiagonal Eigenvalue Problem on Distributed Memory Architectures]
  
−
[4] Антонов А.С., Теплов А.М. О практической сложности понятия масштабируемости параллельных программ// Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах (HPC 2014): Материалы XIV Международной конференции -Пермь: Издательство ПНИПУ, 2014. С. 20-27.
+
[4] [https://en.wikipedia.org/wiki/Divide-and-conquer_eigenvalue_algorithm Алгоритм "Разделяй и властвуй" - Wikipedia]
  
−
[5] Никитенко Д.А. Комплексный анализ производительности суперкомпьютерных систем, основанный на данных системного мониторинга // Вычислительные методы и программирование. 2014. 15. 85–97.
+
[5] [http://www.cscamm.umd.edu/tadmor/pub/linear-stability/Gill_Tadmor_SISC90.pdf Doron Grill and Eitan Tadmor AN <math>O(N2)</math> METHOD FOR COMPUTING THE EIGENSYSTEM OF <math>N</math>x<math>N</math> SYMMETRIC TRIDIAGONAL MATRICES BY THE DIVIDE AND CONQUER APPROACH]
  
 
[[en:Description of algorithm properties and structure]]
 
[[en:Description of algorithm properties and structure]]

Текущая версия на 21:07, 15 октября 2016

Авторы статьи: Завольсков Владислав, Землянский Роман, 614 группа

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Метод разделяй и властвуй вычисления собственных значений и векторов трёхдиагональной матрицы - это наиболее быстрый из существующих методов, если нужны все собственные значения и собственные векторы трехдиагональной матриц, начиная с порядка n, примерно равного 26. (Точное значение этого порогового порядка зависит от компьютера.) Его численно устойчивая реализация весьма не тривиальна. В самом деле, хотя впервые метод был предложен еще в 1981 г., "правильный" способ его реализации был найден лишь в 1992 г. Этот способ воплощен LAPACK-программами ssyevd (для плотных матриц) и sstevd (для трехдиагональных матриц). В них стратегия "разделяй-и-влавствуй" используется для матриц порядка, большего чем 25. Для матриц меньшего порядка (или если нужны только собственные значения) происходит автоматический переход к QR-итерации.

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть

[math] L = \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1}&&&&& \\ b_{1} & \ddots & \ddots \\ & \ddots & a_{m-1} & b_{m-1} \\ && b_{m-1} & a_{m} & b_{m} \\ &&& b_{m} & a_{m+1} & b_{m+1} \\ &&&& b_{m+1} & \ddots \\ &&&&&& \ddots & b_{n-1} \\ &&&&&& b_{n-1} & a_{n} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} &&&&& \\ b_{1} & \ddots & \ddots \\ & \ddots & a_{m-1} & b_{m-1} \\ && b_{m-1} & a_{m} - b_{m} \\ &&&& a_{m+1} - b_{m} & b_{m+1} \\ &&&& b_{m+1} & \ddots \\ &&&&&& \ddots & b_{n-1} \\ &&&&&& b_{n-1} & a_{n} \\ \end{bmatrix} + [/math]

[math] + \begin{bmatrix} &&&&& \\ &&b_{m} & b_{m} \\ &&b_{m} & b_{m} \\ &&&&& \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m} * \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 , \ldots , 0 , 1 , 1 , 0 \ldots , 0 \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T} [/math]

Предположим, что нам известны спектральные разложения матриц [math]T_{1}[/math] и [math] T_{2} [/math]: [math] T_{i} = Q_{i} \Lambda_{i} Q_{i}^{T} [/math]. В действительности, они будут рекурсивно вычисляться тем же самым алгоритмом. Установим связь между собственными значениями матрицы Т и собственными значениями матриц [math]T_{1}[/math] и [math]T_{2}[/math]. Имеем: 

 [math] 
T = \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T} 
= \begin{bmatrix} Q_{1} \Lambda_{1} Q_{1}^{T} & 0 \\ 0 & Q_{2} L_{2} Q_{2}^{T}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T} 
= \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix}(\begin{bmatrix} \Lambda_{1} & \\  & \Lambda_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T})\begin{bmatrix} Q_{1}^{T} & 0 \\ 0 & Q_{2}^{T}\end{bmatrix}
  [/math],

где 

 [math]
u = \begin{bmatrix} Q_{1}^{T} & 0 \\ 0 & Q_{2}^{T}\end{bmatrix}v
  [/math]

так как [math]v = \begin{bmatrix} 0 , \ldots , 0 , 1 , 1 , 0 \ldots , 0 \end{bmatrix}^T[/math], получим матрицу, состоящую из последнего столбца матрицы [math] Q_{1}^{T}[/math] и первого столбца матрицы [math] Q_{2}^{T}[/math].

Следовательно, [math]T[/math] имеет те же собственные значения, что и пдобная ей матрица [math]D + \rho uu^{T}[/math], где [math]D = \begin{bmatrix} L_{1} & 0 \\ 0 & L_{2}\end{bmatrix}[/math] - диагональная матрица, [math]\rho = b_{m}[/math] - число, а [math]u[/math] - вектор.

Будем предполагать, не ограничивая общности, что диагональные элементы [math]d_{1}, \ldots, d_{n}[/math] матрицы [math]D[/math] упорядочены по убыванию: [math]d_{n} \lt = \ldots \lt =d_{1}[/math].

Чтобы найти собственные значения матрицы [math]D + \rho uu^{T}[/math], вычислим её характеристический многочлен, считая пока матрицу [math]D - \lambda I[/math] невырожденной. Тогда 

 [math]det(D + \rho uu^{T} - \lambda I) = det((D - \lambda I)(I + \rho (D- \lambda I)^{-1} uu^{T}))[/math].

Поскольку [math]D - \lambda I[/math] невырожденна, [math]det(I + \rho (D - \lambda I)^{-1}uu^{T}) = 0[/math] тогда и только тогда, когда [math]\lambda[/math] - собственное значение. Заметим, что матрица [math]I + \rho (D - \lambda I)^{-1}uu^{T}[/math] получается из единичной добавлением матрицы ранга 1. Определитель такой матрицы легко вычислить. 

 Лемма 1. Справедливо равенство [math]det(I + xy^{T}) = 1 + y^{T}x[/math], где [math]x[/math] и [math]y[/math] - векторы.

Таким образом, 

 [math]det(I + \rho (D - \lambda I)^{-1}uu^{T}) = 1 + \rho u^{T}(D - \lambda I)^{-1}u[/math] [math] = 1 + \rho \sum_{i=1, n} \frac{u_{i}^{2}} {d_{i}-\lambda} \equiv f(\lambda)[/math] ,

т.е. собственные значения матрицы [math]T[/math] есть корни так называемого векового уравнения [math]f(\lambda) = 0[/math]. Если все числа [math]d_{i}[/math] различны и все [math]u_{i} \lt \gt 0[/math] (случай общего положения), то [math]f(\lambda)[/math] имеет график типа показанного на рис.1(где [math]n = 4[/math] и [math]\rho \gt 0[/math]).

Рис. 1. График функции [math] f(\lambda) = 1 + \frac{0.5}{1 - \lambda} + \frac{0.5}{2 - \lambda} + \frac{0.5}{3 - \lambda} + \frac{0.5}{4 - \lambda}[/math]

Можно видеть, что прямая [math]y = 1[/math] является горизонтальной асимптотой для этого графика, а прямые [math]\lambda = d_{i}[/math] есть вертикальные асимптоты. Поскольку [math]f^{'}(\lambda) = \rho \sum_{i=1, n} \frac{u_{i}^{2}} {(d_{i}-\lambda)^{2}}\gt 0 [/math], функция возрастает всюду, кроме точек [math]\lambda = d_{i}[/math]. Поэтому корни функции разделяются числами [math]d_{i}[/math] и ещё один корень находится справа от точки [math]d_{1}[/math] (на рис. 1 [math]d_{1} = 4[/math]). (При [math]\rho\lt 0[/math] функция [math]f(\lambda)[/math] всюду убывает и соответствующий корень находится слева от точки [math]d_{n}[/math]). Для функции [math]f(\lambda)[/math], монотонной и гладкой на каждом из интервалов [math](d_{i+1},d_{i})[/math], можно найти вариант метода Ньютона, который быстро и монотонно сходится к каждому из корней, если начальная точка взята в [math](d_{i+1},d_{i})[/math]. Нам достаточно знать, что на практике метод сходится к каждому собственному значению за ограниченное число шагов. Поскольку вычисление [math]f(\lambda)[/math] и [math]f^{'}(\lambda)[/math] стоит [math]O(n)[/math] флопов, для вычисления одного собственного значения достаточно [math]O(n)[/math], а для вычисления всех [math]n[/math] собственных значений матрицы [math]D + \rho uu^{T}[/math] требуется [math]O(n^{2})[/math] флопов. Для собственных векторов матрицы [math]D + \rho uu^{T}[/math] мы легко можем получить явные выражения. 

 Лемма 2. Если [math]\alpha[/math] - собственное значение матрицы [math]D + \rho uu^{T}[/math], то соответствующий вектор равен [math](D - \alpha I)^{-1}u[/math]. Поскольку матрица [math]D - \alpha I[/math] диагональная, для вычисления такого вектора достаточно [math]O(n)[/math] флопов.

Доказательство. 

 [math](D + \rho uu^{T})[(D - \alpha I)^{-1}u] = (D - \alpha I + \alpha I + \rho uu^{T})(D - \alpha I)^{-1}u[/math]

 [math]=u + \alpha (D - \alpha I)^{-1}u + u[\rho u^{T}(D - \alpha I)^{-1}u] [/math]

 [math]=u + \alpha(D - \alpha I)^{-1}u - u[/math] 

                                                      поскольку [math] \rho u^{T}(D - \alpha I)^{-1}u + 1 = f(\alpha) = 0 [/math]

 [math]=\alpha [(D - \alpha I)^{-1}u][/math], что и требовалось.


Для вычисления по этой простой формуле всех [math]n[/math] собственных векторов требуется [math]O(n^{2})[/math] флопов. К сожалению, формула не обеспечивает численной устойчивости, так как для двух очень близких значений [math]\alpha_{i}[/math] может давать неортогональные приближенные собственные векторы [math]u_{i}[/math]. Потребовалось целое десятилетие для того, чтобы найти устойчивую альтернативу исходному описанию алгоритма. Снова детали будут обсуждаться позднее в данном разделе.

Алгоритм является рекурсивным.

1.2.1 Дефляция

До сих пор полагалось, что все [math]d_{i}[/math] различны и все [math]u_{i}[/math] отличны от нуля. Если это не так, вековое уравнение [math]f(\lambda)=0[/math] имеет [math]k[/math] вертикальных асимптот, где [math]k\lt n[/math], а потому [math]k[/math] корней. Однако оказывается, что остальные [math]n - k[/math] собственных значений могут быть определены без каких-либо усилий: если [math]d_{i}=d_{i+1}[/math] или [math]u_{i}=0[/math], то легко показать, что [math]d_{i}[/math] является собственным значением и для матрицы [math]D + \rho uu^{T}[/math]. В такой ситуации мы говорим о дефляции. На практике выбирается некоторое пороговое значение и дефляция для числа [math]d_{i}[/math] регистрируется, если в смысле этого порога [math]d_{i}[/math] достаточно близко к [math]d_{i+1}[/math] либо [math]u_{i}[/math] достаточно мало.

Основной выигрыш от использования дефляции состоит не в том, что убыстряется решение векового уравнения - этот этап в любом случае стоит лишь [math]O(n^{2})[/math] операций. Выигрыш заключается в ускорении матричного умножения на последнем шаге алгоритма. Действительно, если [math]u_{i}=0[/math], то соответствующий собственный вектор есть i-й столбец [math]e_{i}[/math] единичной матрицы. Это означает, что [math]e_{i}[/math] является i-м столбцом в матрице [math]Q_{'}[/math], поэтому при формировании матрицы [math]Q[/math] посредством левого умножения [math]Q_{1}[/math] на [math]Q_{2}[/math] вычисление i-го столбца не требует никаких затрат. Аналогичное упрощение имеет место в случае [math]d_{i} = d_{i+1}[/math]. При дефляции многих собственных значений устраняется большая часть работы, связанной с матричным умножением.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром последовательной схемы решения является вычисление матрицы [math]Q[/math] собственных векторов путём умножения матрицы [math]Q = \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix}[/math] на матрицу [math]Q^{'}[/math] Данная операция имеет сложность [math]cn^{3}[/math] о чём и говорится в разделе #Последовательная сложность алгоритма . Ей предшествует вычисление собственных значений и векторов матрицы [math] D + \rho uu^{T}[/math]

1.4 Макроструктура алгоритма

В разделе #Информационный граф описана структура алгоритма, в которой есть блок умножения матриц для вычисления собственных векторов, являющийся вычислительным ядром алгоритма. В соответствующем разделе (#Вычислительное ядро алгоритма) мы упоминали о том, что данному блоку предшествует вычисление собственных значений, которое производится методом Ньютона.

1.4.1 Решение векового уравнения

Подробно стоит поговорить о решении векового уравнения, которое является одной из основных частей алгоритма.

Предположим, что некоторое [math]u_{i}[/math], хотя и мало, все же недостаточно мало для того, чтобы была зарегистрирована дефляция. В этом случае применение метода Ньютона к решению векового уравнения встречается с затруднениями. Вспомним, что пересчет приближённого решения [math]u_{j}[/math] уравнения [math]f(\lambda) = 0[/math] в методе Ньютона основан на следующих положениях: 

1. Вблизи точки [math]\lambda = \lambda_{j}[/math] функция [math]f(\lambda)[/math] аппроксимируется линейной функцией [math]l(\lambda)[/math]; график есть прямая линия, касающаяся графика функции [math]f(\lambda)[/math] при [math]\lambda = \lambda_{j}[/math].

2. В качестве [math]\lambda_{j+1}[/math] берётся нуль этого линейного приближения, т.е. [math]l(\lambda_{j+1})=0[/math].

Функция, показанная на рис.1, не доставляет видимых трудностей методу Ньютона, поскольку вблизи каждого своего нуля [math]f(\lambda)[/math] достаточно хорошо аппроксимируется линейными функциями. Однако рассмотрим график функции на рис. 2. Она получена из функции на рис. 1 заменой значения .5 для [math]u_{i}^{2}[/math] на .001. Это новое значение недостаточно мало для того, чтобы вызвать дефляцию. График функции в левой части рис.2 визуально не отличим от её вертикальных и горизонтальных асимптот, поэтому в правой части укрупненно воспроизведён фрагмент графика, прилегающий к вертикальной асимптоте [math]\lambda = 2[/math]. Видно, что график слишком быстро "выполняет поворот" и для большей части значений [math]\lambda[/math] почти горизонтален. Поэтому, применяя метод Ньютона почти к любому начальному приближению [math]\lambda_{0}[/math], мы получаем линейное приближение [math]l(\lambda)[/math] с почти горизонтальным графиком и малым положительным угловым коэффициентом. В результате [math]\lambda_{1}[/math] является отрицательным числом, огромным по абсолютной величине, которое совершенно бесполезно в качестве приближения к истинному корню.

Рис. 2. График функции [math] f(\lambda) = 1 + \frac{10^{-3}}{1 - \lambda} + \frac{10^{-3}}{2 - \lambda} + \frac{10^{-3}}{3 - \lambda} + \frac{10^{-3}}{4 - \lambda}[/math]

Чтобы найти выход из этого положения, можно модифицировать метод Ньютона следующим образом: раз [math]f(\lambda)[/math] нельзя хорошо приблизить линейной функцией [math]l(\lambda)[/math], попробуем взять в качестве приближения какую-нибудь другую простую функцию [math]h(\lambda)[/math]. Нет ничего особого именно в прямых линиях: для метода Ньютона вместо [math]l(\lambda)[/math] можно взять любое приближение [math]h(\lambda)[/math], значения и нули которого легко вычисляются. Функция [math]f(\lambda)[/math] имеет полюсы в точках [math]d_{i}[/math] и [math]d_{i+1}[/math], которые определяют её поведение в соответствующих окрестностях. Поэтому при поиске корня в интервале [math](d_{i+1}, d_{i})[/math] естественно выбрать функцию [math]h(\lambda)[/math], также имеющую эти полюсы, т.е. функцию вида 

[math]h(\lambda)= \frac{c_{1}}{d_{i}-\lambda} + \frac{c_{2}}{d_{i+1}-\lambda} + c_{3}[/math]

Константы [math]c_{1},c_{2}[/math] и [math]c_{3}[/math] обеспечивающие, что [math]h(\lambda)[/math] есть приближение к [math]f(\lambda)[/math], можно выбрать несколькими способами. Отметим, что если [math]c_{1},c_{2}[/math] и [math]c_{3}[/math] уже известны, то уравнение [math]h(\lambda)=0[/math] легко решается относительно [math]\lambda[/math], поскольку сводится к эквивалентному квадратному уравнению 

[math]c_{1}(d_{i+1}-\lambda)+c_{2}(d_{i}-\lambda)+c_{3}(d_{i}-\lambda)(d_{i+1}-\lambda)=0[/math]

Пусть [math]\lambda_{j}[/math] - приближённое значение корня. определим [math]c_{1},c_{2}[/math] и [math]c_{3}[/math] так, чтобы 

[math]\frac{c_{1}}{d_{i}-\lambda} + \frac{c_{2}}{d_{i+1}-\lambda} + c_{3} = h(\lambda) \approx f(\lambda) = 1 + \rho \sum_{k=1, n} \frac{u_{k}^{2}} {d_{k}-\lambda} [/math]

для [math]\lambda[/math] в окрестности [math]\lambda_{j}[/math]. Заметим, что 

[math]f(\lambda) = 1 + \rho \sum_{k=1, i} \frac{u_{k}^{2}} {d_{k}-\lambda} + \rho \sum_{k=i+1, n} \frac{u_{k}^{2}} {d_{k}-\lambda} \equiv 1 + \psi_{1}(\lambda) + \psi_{2}(\lambda)[/math].

Если [math]\lambda \in (d_{i+1},d_{i})[/math], то [math]\psi_{1}(\lambda)[/math] есть сумма положительных слагаемых, а [math]\psi_{2}(\lambda)[/math] - сумма отрицательных. Поэтому и [math]\psi_{1}(\lambda)[/math], и [math]\psi_{2}(\lambda)[/math] могут быть вычислены с высокой точностью; однако при их сложении вполне вероятно взаимное уничтожение верных разрядов и потеря относительной точности в сумме. Возьмем числа [math]c_{1}[/math] и [math]\hat{c_{1}}[/math], такие, что функция 

[math]h_{1}(\lambda) \equiv \hat{c_{1}} + \frac{c_{1}}{d_{i}-\lambda}[/math]   удовлетворяет условиям  [math]h_{1}(\lambda_{j}) = \psi_{1}(\lambda_{j})[/math] и [math]h_{1}^{'}(\lambda_{j})=\psi_{1}^{'}(\lambda_{j})[/math] (1)

Это означает, что гипербола, являющаяся графиком функции [math]h_{1}(\lambda)[/math], касается графика функции [math]\psi_{i}(\lambda)[/math] при [math]\lambda = \lambda_{j}[/math]. Два условия в (1) - это обычные условия метода Ньютона, за исключением того, что вместо прямой в качестве приближения используется гипербола. Легко проверить, что [math]c_{1}=\psi_{1}^{'}(\lambda_{j})(d_{i} - \lambda_{j})^{2}[/math] и [math]\hat{c_{1}}=\psi_{1}(\lambda_{j}) - \psi_{1}^{'}(\lambda_{j})(d_{i} - \lambda_{j})[/math]

Подобным же образом выбираем [math]c_{2}[/math] и [math]\hat{c_{2}}[/math] так, чтобы функция 

[math]h_{2}(\lambda) \equiv \hat{c_{2}} + \frac{c_{2}}{d_{i+1}-\lambda}[/math]

Удовлетворяла условиям 

 [math]h_{2}(\lambda_{j}) = \psi_{2}(\lambda_{j})[/math] и [math]h_{2}^{'}(\lambda_{j})=\psi_{2}^{'}(\lambda_{j})[/math] (2)

Наконец, полагаем 

[math]h(\lambda) = 1 + h_{1}(\lambda) + h_{2}(\lambda) = (1 + \hat{c_{1}} + \hat{c_{2}} + \frac{c_{1}}{d_{i}-\lambda} + \frac{c_{2}}{d_{i+1}-\lambda} [/math]

[math]\equiv c_{3} + \frac{c_{1}}{d_{i}-\lambda} + \frac{c_{2}}{d_{i+1}-\lambda}[/math].

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Вычисление собственных значений и собственных векторов симметричной трехдиагональной матрицы посредством стратегии "разделяй и властвуй":


proc dc_eig[math](T,Q,\Lambda)...[/math] по входной матрице [math]T[/math] вычисляются выходные матрицы [math]Q[/math] и [math]\Lambda[/math], такие, что [math]T = Q\Lambda Q^{T}[/math]

Если [math]T[/math] - матрица размера [math]1[/math] x [math]1[/math] 

 1. Присвоить выходным параметрам значения [math] Q = 1, \Lambda = T[/math]

Иначе 

 1. Представить [math]T[/math] в виде [math] T = \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T} [/math]

 2. call dc_eig[math](T_{1},Q_{1},\Lambda_{1})[/math]

 3. call dc_eig[math](T_{2},Q_{2},\Lambda_{2})[/math]

 4. Построить [math]D+\rho uu^{T}[/math] по [math] \Lambda_{1},\Lambda_{2}, Q_{1}, Q_{2}[/math]

 5. Найти матрицу собственных значений [math]\Lambda[/math]

 6. Найти матрицу собственных векторов [math]Q^{'}[/math] для матрицы [math]D+\rho uu^{T}[/math]

 7. Построить матрицу собственных векторов [math]Q[/math] для матрицы [math]T[/math] : [math] Q = \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix}* Q^{'} [/math]

 8. Присвоить выходным параметрам значения [math]Q[/math] и [math]\Lambda[/math]

endif

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Проанализируем сложность алгоритма. Пусть [math]t(n)[/math] - число флопов при обработке матрицы размера [math] n x n[/math] процедурой dc_eig. Тогда

[math] t(n) = 2t(n/2) [/math] два рекурсивных обращения к dc_eig[math](T_{i},Q_{i},\Lambda_{i})[/math]

[math] +O(n^{2})[/math] вычисление собственных значений матрицы [math]D+\rho uu^{T}[/math]

[math] +O(n^{2})[/math] вычисление собственных векторов матрицы [math]D+\rho uu^{T}[/math]

[math] +c*n^{3}[/math] вычисление матрицы [math]Q = \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix}*Q^{'}[/math]


Если [math] Q_{1}, Q_{2}[/math] и [math]Q^{'}[/math] рассматриваются как плотные матрицы и используется стандартный алгоритм матричного умножения, то константа [math] c [/math] в последней строке равна 1. Таким образом, именно это умножение составляет наиболее трудоёмкую часть алгоритма в целом. Игнорируя члены порядка [math]n^{2}[/math], получаем [math]t(n) = 2t(n/2) + cn^{3}[/math]. Решая это разностное уравнение, находим [math] t \approx c\frac{4}{3}n^{3} [/math]

На практике константа [math]c[/math] обычно гораздо меньше 1, потому что матрица [math]Q^{'}[/math] весьма разрежена вследствие явления, называемого дефляцией.

1.7 Информационный граф

В данном разделе представлен информационный граф алгоритма: на рисунке 2 изображена структура всего алгоритма в целом, в то время как на рисунке 3 детально описана одна из ячеек структуры.

Рис. 3. Дерево алгоритма "Разделяй и властвуй"
Рис. 4. Детальное описание одного блока алгоритма

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Рассмотрев информационный граф алгоритма, можно заметить, что в структуре имеется два параллельных блока - вызов рекурсивных функций dc_eig для вычисления собственных значений и векторов матриц [math]T_{1}[/math] и [math]T_{2}[/math] - это единственная часть алгоритма, в которой мы прибегаем к параллелизму. В случае реализации без параллелизма, функции dc_eig отрабатывают последовательно - сначала со входными параметрами [math]T_{1}, Q_{1}, \Lambda_{1}[/math], затем - [math]T_{2}, Q_{2}, \Lambda_{2}[/math].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

На вход алгоритму подаётся трёхдиагональная матрица, описанная в разделе #Математическое описание алгоритма

На выходе мы получаем собственные значения и собственные вектора исходной матрицы

1.10 Свойства алгоритма

Описанный в данной статье алгоритм является самым быстрым алгоритмом, среди существующих: QR / Бисекция и обратная итерация / Разделяй и властвуй.

Последовательная сложность алгоритма: [math] t = c\frac{4}{3}n^{3} [/math]

Параллельная сложность алгоритма (в силу использования дефляции): [math] O(n^{2.3)}[/math] или в самых редких случаях [math] O(n^{2}) [/math] (см. [3] стр. 8).

Особенности алгоритма:

1. Использование дефляции (#Дефляция)

2. Использование адаптированного метода Ньютона (#Макроструктура алгоритма)

2 ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма

Вторая часть описания алгоритмов в рамках AlgoWiki рассматривает все составные части процесса их реализации. Рассматривается как последовательная реализация алгоритма, так и параллельная. Описывается взаимосвязь свойств программ, реализующих алгоритм, и особенностей архитектуры компьютера, на которой они выполняются. Исследуется работа с памятью, локальность данных и вычислений, описывается масштабируемость и эффективность параллельных программ, производительность компьютеров, достигаемая на данной программе. Обсуждаются особенности реализации для разных классов архитектур компьютеров, приводятся ссылки на реализации в существующих библиотеках.


2.1 Масштабируемость алгоритма и его реализации

TBD


2.2 Существующие реализации алгоритма

Большого количества реализаций данного алгоритма найдено не было: единственный пример описан на страницах 7, 19 и 20 в этой статье, которая указана в списке литературы.

3 Литература

[1] Дж. Деммель, «Вычислительная линейная алгебра» //С. 230-235

[2] Francoise Tisseury, Jack Dongarra, A Parallel Divide and Conquer Algorithm for the Symmetric Eigenvalue Problem on Distributed Memory Architectures

[3] Francoise Tisseury, Jack Dongarra, Parallelizing the Divide and Conquer Algorithm for the Symmetric Tridiagonal Eigenvalue Problem on Distributed Memory Architectures

[4] Алгоритм "Разделяй и властвуй" - Wikipedia

[5] Doron Grill and Eitan Tadmor AN [math]O(N2)[/math] METHOD FOR COMPUTING THE EIGENSYSTEM OF [math]N[/math]x[math]N[/math] SYMMETRIC TRIDIAGONAL MATRICES BY THE DIVIDE AND CONQUER APPROACH

Источник — https://algowiki-project.org/w/ru/index.php?title=Метод_%22Разделяй_и_властвуй%22_Завольсков/Землянский&oldid=11026