Участник:AleksLevin/Алгоритм Ланцоша вычисления собственных значений симметричной матрицы для точной арифметики (без переортогонализации): различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 18: Строка 18:
 
Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы <math style="vertical-align:0%;>A=A^T</math> в точной арифметике: [2, с.381]
 
Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы <math style="vertical-align:0%;>A=A^T</math> в точной арифметике: [2, с.381]
  
[[Файл:Example.jpg]]
+
[[Файл:Math_algorithm_Levin.png|600px]]
  
 
== Вычислительное ядро алгоритма ==
 
== Вычислительное ядро алгоритма ==

Версия 22:21, 10 ноября 2016

Основные авторы описания: Левин А.Д. (студент, кафедра вычислительных методов, 604 группа)

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Данный алгоритм появился в 1950 г. и носит имя венгерского физика и математика Корнелия Ланцоша (венг. Lánczos Kornél). Алгоритм Ланцоша относится к итерационным методам вычисления собственных значений для матриц столь больших порядков [math] n[/math], что к ним нельзя применить прямые методы из-за ограничений по времени и памяти.

Сам Ланцош указывал, что его метод предназначен для отыскания нескольких собственных векторов симметричных матриц, хотя к методу сразу было обращено внимание, как к способу приведения всей матрицы к трёхдиагональному виду. Двадцатью годами позже канадский математик Крис Пэж показал, что, несмотря на чувствительность к округлениям, алгоритм Ланцоша - эффективное средство вычисления некоторых [math]k[/math] собственных чисел и соответствующих им собственных векторов [1, c.276].

Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений симметричной матрицы [math]A[/math] соединяет в себе метод Ланцоша для построения последовательности подпространств Крылова и ортонормированных векторов Ланцоша и процедуру Рэлея-Ритца получения оптимальных приближений собственных значений и соответствующих векторов исходной матрицы [math]A[/math] [2, с.381].

В данной статье рассматривается вариант алгоритма Ланцоша, в котором опущено влияние ошибок округления на вычислительный процесс, хотя на практике этому посвящается отдельное внимание и существуют различные методы решения данной проблемы.

1.2 Математическое описание алгоритма

Для лучшего понимания описания, данного в этом пункте статьи, рекомендуется ознакомиться с параграфом 6.6 Методы Крыловского подпространства [2, с.313]. Здесь же дано краткое описание всех переменных, математических операций и необходимый теоретический минимум.

Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы [math]A=A^T[/math] в точной арифметике: [2, с.381]

Math algorithm Levin.png

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

3 Литература

[1] Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы //М.: Мир. - 1983. - С. 276-294

[2] James W. Demmel Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения //Мир. - 2001. С. 381-391