Алгоритм Тарьяна-Вишкина поиска компонент двусвязности

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Параллельный алгоритм Тарьяна-Вишкина находит компоненты двухсвязности неориентированного графа за время [math]O(\ln n)[/math] на [math]O(m + n)[/math] процессорах. Алгоритм может быть адаптирован для поиска мостов. Эффективность алгоритма Тарьяна-Вишкина подтверждена в последнее время как на системах архитектуры SMP, так и при вычислениях на GPU.

1.2 Математическое описание алгоритма

1. Для каждой компоненты связности графа найти какое-либо остовное дерево [math]T[/math].

2. Перенумеровать вершины [math]T[/math] в порядке обратного обхода.

3. В порядке возрастания номера вершины выполнить следующие действия:

a. [math]D(v) := 1+ \sum_{v \rightarrow w}D(w) [/math]

b. [math] L(v) := \min { \{N(v) - D(v)+1 \} \cup \{ L(w) | v \rightarrow w \} \cup \{ N(w) | v \cdots w \} }[/math]

c. [math] H(v) := \max { \{ N(v) \} \cup \{ H(w) | v \rightarrow w \} \cup \{ N(w) | v \cdots w \} }[/math]

d. Пометить ребро [math]v \rightarrow w[/math] мостом, если [math]H(w)\lt =N(w)[/math] и [math]L(w)\gt N(w)-D(w)[/math].

1.4 Макроструктура алгоритма

На первом шаге работы алгоритма строится остовный лес графа с использованием модифицированного алгоритма Шилоаха-Вишкина.

Для этого для каждой вершины [math]v[/math] определяется указатель на родительскую вершину [math]P(v)[/math]; на шаге инициализации [math]P(v):=v[/math]. Далее остовный лес строится чередованием двух параллельных операций:

• Удвоение указателей: [math]P(v):=P(P(v))[/math] ;

• Соединение: [math]P(P(v)):=P(w)[/math], где [math]v[/math] – вершина [math]P[/math]-дерева ( [math]P(v)=v[/math]на текущем шаге), [math]w[/math]– некоторая вершина, для которой существует ребро [math](v,w)\in E[/math]. Ребро помечается, как принадлежащее остовному лесу .

Далее производятся следующие шаги:

• перенумерация вершин в обратном порядке обхода (post-order);

• вычисление количества потомков [math]D(v)[/math] для каждой вершины;

• вычисление значений [math]L(v)[/math] и [math]H(v)[/math] для каждой вершины;

• пометка рёбер [math]v \rightarrow w[/math] мостами, если [math]H(w)\lt =N(w)[/math] и [math]L(w)\gt N(w)-D(w)[/math].

Основной идеей для обеспечения завершения работы алгоритма за [math]O( \ln n)[/math] шагов является систематическое использование операции удвоения указателей.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Последовательный вариант алгоритма аналогичен алгоритму Тарьяна и имеет линейную сложность [math]O(m + n)[/math].

1.7 Информационный граф

Далее представлен информационный граф алгоритма, демонстрирующий описанные уровни параллелизма. Информационный граф алгоритма — ориентированный граф, состоящий из вершин, соответствующих операциям алгоритма, и направленных дуг, соответствующих передаче данных (результаты одних операций передаются в качестве аргументов другим операциям) между ними.

Рисунок 1 – Информационный граф алгоритма Тарьяна-Вышкина

Рассмотрим подробнее данный информационный граф: в начале работы алгоритма происходит поиск в ширину (BFS) для построения дерева {1, 2}, затем поиск в глубину для нумерации вершин {3, 4, 5}, а затем подсчет величин Low, Disc {6} и сохранение ответа {7}.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Алгоритм изначально параллельный, время работы [math]O(\ln n)[/math] на [math]O(m + n)[/math] процессорах.

1.10 Свойства алгоритма

1. Компонента сильной связности – подграф, любые две вершины которого принадлежат какому-либо циклу, и содержащий все такие циклы для своих вершин.

2. Компонента сильной связности является объединением всех циклом, проходящих через её вершины.

2 Программная реализация алгоритма

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

Программа, реализующая алгоритм Тарьяна-Вышкина, состоит из двух частей: CPU части, отвечающей за параллельные вычисления на многоядерных CPU, а так же копирование данных на GPU и общее управлениями вычислениями, и GPU части, отвечающей только за вычисления на графическом ускорителе.

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.4.2 Масштабируемость реализации алгоритма

Проведём исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма Тарьяна-Вишкина согласно методике. Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов-2 Суперкомпьютерного комплекса Московского университета.

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

• размер графа [2^18 : 2^26].

Проведем отдельные исследования масштабируемости вширь реализации алгоритма Тарьяна-Вишкина.

Основной характеристикой для сравнения было выбрано время выполнения, так как производительность (определения как TEPS то есть число ребер графа, которое алгоритм обрабатывает в секунду) для данной операции не отражает реальную эффективность обработки.

Анализируя время выполнения можно оценить, насколько понижается эффективность обработки графа при увеличении его размера (данные перестают помещаться в кэш, в память GPU, узла и т.д.).

Рисунок 2. Параллельная реализация алгоритма Тарьяна-Вишкина масштабируемость вширь: производительность в зависимости от размера графа