QR-разложения плотных неособенных матриц: различия между версиями
| [досмотренная версия] | [досмотренная версия] |
Frolov (обсуждение | вклад) |
Frolov (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
{{level-p}} | {{level-p}} | ||
| − | Нахождение разложения матриц в виде <math>A = QR</math>, где <math>Q</math> - унитарная, <math>R</math> — правая треугольная матрица<ref>В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.</ref>., является важным этапом при решении некоторых более сложных задач. Поэтому для нахождения такого разложения разработано несколько классических методов, а также их варианты. | + | Нахождение разложения матриц в виде <math>A = QR</math>, где <math>Q</math> - унитарная, <math>R</math> — правая треугольная матрица<ref>В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.</ref>., является важным этапом при решении некоторых более сложных задач. Существование такого разложения, в котором правая треугольная матрица ещё и не содержит нулей на диагонали, доказано<ref name="VOLA">Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.</ref> для невырожденных матриц. Однако в ряде случаев <math>QR</math>-разложение (возможно, с нулями на диагонали <math>R</math>) нужно и в задачах без гарантии невырожденности. Поэтому для нахождения такого разложения разработано несколько классических методов, а также их варианты. |
== Методы нахождения QR-разложения плотных неособенных матриц == | == Методы нахождения QR-разложения плотных неособенных матриц == | ||
| − | Классические методы QR-разложения можно разделить на две группы: приведения матрицы унитарными преобразованиями к треугольному виду и приведения матрицы неунитарными преобразованиями к унитарному виду. К первой группе относятся методы Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), ко второй - метод ортогонализации. | + | Классические методы QR-разложения можно разделить на две группы: приведения матрицы унитарными преобразованиями к треугольному виду и приведения матрицы неунитарными преобразованиями к унитарному виду. К первой группе относятся методы Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), ко второй - метод ортогонализации. Строго говоря, доказательство теоремы<ref name="VOLA" /> о существовании даёт ещё один способ разложения - через разложение Холецкого матрицы <math>A^*A</math> с последующей обратной подстановкой, но для вырожденных матриц он не работает, поэтому обычно не применяется. |
=== Метод Гивенса === | === Метод Гивенса === | ||
Версия 12:04, 17 мая 2017
Нахождение разложения матриц в виде [math]A = QR[/math], где [math]Q[/math] - унитарная, [math]R[/math] — правая треугольная матрица[1]., является важным этапом при решении некоторых более сложных задач. Существование такого разложения, в котором правая треугольная матрица ещё и не содержит нулей на диагонали, доказано[2] для невырожденных матриц. Однако в ряде случаев [math]QR[/math]-разложение (возможно, с нулями на диагонали [math]R[/math]) нужно и в задачах без гарантии невырожденности. Поэтому для нахождения такого разложения разработано несколько классических методов, а также их варианты.
Содержание
1 Методы нахождения QR-разложения плотных неособенных матриц
Классические методы QR-разложения можно разделить на две группы: приведения матрицы унитарными преобразованиями к треугольному виду и приведения матрицы неунитарными преобразованиями к унитарному виду. К первой группе относятся методы Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), ко второй - метод ортогонализации. Строго говоря, доказательство теоремы[2] о существовании даёт ещё один способ разложения - через разложение Холецкого матрицы [math]A^*A[/math] с последующей обратной подстановкой, но для вырожденных матриц он не работает, поэтому обычно не применяется.
1.1 Метод Гивенса
Классический метод Гивенса (вращений) основан на преобразованиях вращения (умножения на матрицы Гивенса) слева.
1.2 Метод Хаусхолдера
Классический метод Хаусхолдера (отражений) основан на преобразованиях отражения (Хаусхолдера).
1.3 Метод ортогонализации
Метод ортогонализации основан на процессе ортогонализации столбцов матрицы.
