Участник:Alexboboshko/Решение начальной задачи Коши для системы ОДУ методом Рунге-Кутта 4-го порядка

РК
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math] 4mn [/math]
Объём входных данных	[math] m + 3 [/math]
Объём выходных данных	[math] (m+1)n [/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	?
Ширина ярусно-параллельной формы	?

Основные авторы описания:

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Ме́тоды Ру́нге — Ку́тты — важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

Формально, методом Рунге — Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Поскольку в описанной выше вычислительной схеме наиболее трудоемкой является операция расчета правых частей ОДУ при вычислении [math]k_i ( i = 1, \dots, 4) [/math], то основное внимание следует уделить распараллеливанию этой операции. Здесь будет применяться подход декомпозиции уравнений системы ОДУ на подсистемы. Поэтому для инициализации рассмотрим следующую схему декомпозиции данных по имеющимся процессорным элементам с локальной памятью: на каждый [math]\mu[/math]- ПЭ (процессорный элемент) ([math]\mu = 0, \dots, p-1 [/math]) распределяется [math] m/p [/math] дифференциальных уравнений и вектор [math] \bar y_0 [/math]. Далее расчеты производятся по следующей схеме:

1. на каждом ПЭ одновременно вычисляются [math] n/p [/math] соответствующих компонент вектора [math] \bar k_1 [/math] по формуле [math] [ \bar k_1 ]_{\mu} = h[ \bar f(x_i, \bar y_i) ]_{\mu} [/math]
2. для обеспечения второго расчетного этапа необходимо провести сборку вектора [math] \bar k_1 [/math] целиком на каждом ПЭ. Затем независимо выполняется вычисление компонент вектора [math] \bar k_2 [/math] по формуле [math] [ \bar k_2 ]_{\mu} = h[ \bar f(x_i + h/2,\bar y_i + 1/2 \bar k_1)]_{\mu} [/math];
3. проводится сборка вектора [math] \bar k_2 [/math] на каждом ПЭ, вычисляются компоненты вектора [math] \bar k_3:\ [ \bar k_3 ]_{\mu} = h [\bar f(x_i + h/2,\bar y_i + 1/2 \bar k_2)]_{\mu} [/math];
4. проводится сборка вектора [math] \bar k_3 [/math] на каждом ПЭ, вычисляются компоненты вектора [math] \bar k_4:\ [ \bar k_4 ]_{\mu} = h [\bar f(x_i + h,\bar y_i + \bar k_3)]_{\mu} [/math];
5. рассчитываются с идеальным параллелизмом компоненты вектора [math] \bar y_{i+1}:\ [\bar y_{i+1}]_{\mu} = [\bar y_{i}]_{\mu} + ([ \bar k_1 ]_{\mu} + 2[ \bar k_2 ]_{\mu} + 2[ \bar k_3 ]_{\mu} + [ \bar k_4 ]_{\mu})/6\ [/math] и производится сборка вектора [math] \bar y_{i+1} [/math] на каждом ПЭ. Если необходимо продолжить вычислительный процесс, то полагается [math] i = i + 1 [/math] и осуществляется переход на п. 1

Заметим, что в данном алгоритме производится четыре операции вычисления вектора правых частей ОДУ, шестнадцать операций сложения векторов и умножения вектора на число и четыре операции глобальной сборки векторов.

3 Литература

[1]

<references \>