Участник:Khotkin/Построение матрицы Адамара произвольного размера: различия между версиями
Khotkin (обсуждение | вклад) |
Khotkin (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 56: | Строка 56: | ||
является матрицей Адамара порядка <math>2^{m+1}</math> | является матрицей Адамара порядка <math>2^{m+1}</math> | ||
| − | Кроме того, матрицу Адамара порядка <math>2^m</math> можно получить по следующей формуле <math>H^{\otimes m} = H_1 \otimes ... \otimes H_1</math>, где <math> \otimes </math> означает тензорное произведение. | + | Кроме того, матрицу Адамара порядка <math>2^m</math> можно получить по следующей формуле <math>H^{\otimes m} = H_1 \otimes ... \otimes H_1</math>, где знак <math> \otimes </math> означает тензорное произведение. |
=== Математическое описание алгоритма === | === Математическое описание алгоритма === | ||
Версия 19:34, 15 октября 2016
Всем привет! Здесь Кирилл Хоткин и Михаил Царев делают задание по суперкомпьютерам.
| Сюда тоже запилим | |
| Последовательный алгоритм | |
| Последовательная сложность | [math]O(n^3)[/math] |
| Объём входных данных | [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math] |
| Объём выходных данных | [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math] |
| Параллельный алгоритм | |
| Высота ярусно-параллельной формы | [math]O(n)[/math] |
| Ширина ярусно-параллельной формы | [math]O(n^2)[/math] |
Основные авторы описания: А.В.Фролов, Вад.В.Воеводин (раздел 2.2), А.М.Теплов (разделы 2.4, 2.5)
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
- 2.2 Локальность данных и вычислений
- 2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
- 2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
- 2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
- 2.6 Выводы для классов архитектур
- 2.7 Существующие реализации алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Матрица Адамара [math]H[/math] порядка [math]n[/math] представляет собой матрицу размера n×n из элементов [math]+1[/math] и [math]-1[/math], такую, что: [math]H \cdot H^T = n \cdot E_n,[/math] где [math]E_n[/math] — это единичная матрица размера n×n.
Матрицы Адамара находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (ортогональные блок-схемы), квантовой информатике и прочих областях.
Матрица Адамара остаётся матрицей Адамара при следующих преобразованиях:
- умножение строчки или столбца на −1;
- перестановка строчек или столбцов местами.
Матрицы Адамара, получаемые друг из друга многократным применением указанных выше преобразований называются эквивалентными.
Матрица Адамара называется нормализованной, если её первая строка и столбец состоят только из единиц.
Под матрицией Адамара [math]H_m[/math] подразумевается матрица порядка [math]2^m[/math]
Примерами матриц Адамара различных размеров являются следующие матрицы:
[math]H_0 = (1);[/math]
[math]H_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\1 & -1 \end{pmatrix}; [/math]
[math]H_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\1 & -1 & 1 & -1 \\1 & 1 &- 1 & -1 \\1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}. [/math]
Вообще, если [math]H_m[/math] матрица Адамара порядка [math]2^m[/math], то матрица [math]H_{m+1} = \begin{pmatrix} H_m & H_m \\H_m & -H_m \end{pmatrix} [/math] является матрицей Адамара порядка [math]2^{m+1}[/math]
Кроме того, матрицу Адамара порядка [math]2^m[/math] можно получить по следующей формуле [math]H^{\otimes m} = H_1 \otimes ... \otimes H_1[/math], где знак [math] \otimes [/math] означает тензорное произведение.
