Участник:Viktorrulev/Алгоритм устойчивой кластеризации с иcпользованием связей

Алгоритм устойчивой кластеризации с иcпользованием связей
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(M^2 + M^2m_{nbr} + M^{2}logM)[/math]
Объём входных данных	[math]M \times N[/math]
Объём выходных данных	[math]M[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(MlogM)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(M^2)[/math]

Автор описания: В.А. Рулев.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Кластеризация (кластерный анализ) — задача разбиения заданной выборки объектов на непересекающиеся подмножества, называемые кластерами, так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных кластеров существенно отличались. Каждый объект из выборки характеризуется рядом признаков, которые могут быть вещественными, целочисленными, категорийными (то есть принимающими значения из какого-либо множества) и другими. Множество значений, которые может принимать признак, называется доменом этого признака. Так, например, у объекта кошка может быть категорийный признак порода, доменом которого является множество [персидская, бенгальская, сфинкс, мейн-кун, ...].

Алгоритм устойчивой кластеризации с иcпользованием связей (robust clustering using links, ROCK) был предложен в 2000 году Sudipto Guha (Stanford University), Rajeev Rastogi (Bell Laboratories) и Kyuseok Shim (Bell Laboratories) для кластеризации объектов с категорийными признаками.

Алгоритм устойчивой кластеризации с использованием связей предназначен для работы с объектами типа "транзакция" ("покупательская корзина"). Транзакция представляет собой множество товаров, приобретенных покупателем у поставщика. Каждому товару, который есть в наличии у поставщика, в транзакции соответствует отдельный признак, который принимает значение true, если товар присутствует в транзакции, и false, если товар в транзакции отсутствует.

1.2 Математическое описание алгоритма

В ходе кластеризации [math]M[/math] имеющихся транзакций [math]P=\{p_1,...,p_M\}[/math] (каждая транзакция имеет [math]N[/math] признаков) должны быть разделены на [math]K[/math] непересекающихся подмножеств (кластеров) [math]C_1, ..., C_K[/math] таким образом, чтобы полученные кластеры максимизировали некоторую критериальную функцию [math]E(C_1, ..., C_K)[/math].

Будет называть две транзакции [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math] соседями, если мера сходства [math]neighbour(p_1,p_2)[/math] этих транзакций больше некоторого заранее заданного порогового значения [math]\theta[/math] В качестве меры сходства в алгоритме устойчивой кластеризации с использованием связей используется основанная на коэффициенте Жаккара мера сходства [math]sim(p_1,p_2)[/math]. В ней [math]N(C_i)^{1+2f(\theta)}[/math] имеет смысл ожидаемого (среднего) количества связей внутри одного кластера.

Количеством связей [math]link(p_1,p_2)[/math] между двумя транзакциями [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math] будем называть количество общих соседей этих транзакций.

Для того, чтобы сформировать кластеры, удовлетворяющие поставленному условию, необходимо последовательно объединять среди имеющихся кластеров такие пары кластеров, для которых метрика [math]goodness(C_i,C_j)[/math] достигает максимального значения среди всех пар кластеров. На начальном этапе каждая транзакция считается отдельным кластером.

Формулы метода:

[math] neighbour(p_1,p_2)=(sim(p_1,p_2)\gt \theta) [/math]

[math] sim(p_1,p_2)=\frac{N(p_1 \cap p_2)}{N(p_1 \cup p_2)} [/math]

[math] link(p_1,p_2)=N \Big( \{ p \in P | sim(p_1,p) \lt \theta \} \cap \{ p \in P | sim(p_2,p) \lt \theta \} \Big) [/math]

[math] E(C_1,...,C_K)=\sum_{i=1}^{K}N(C_i) \ast \sum_{p_q,p_r \in C_i}\frac{link(p_q,p_r)}{N(C_i)^{1+2f(\theta)}} [/math]

[math] f(\theta)=\frac {1-\theta}{1+\theta} [/math]

[math] goodness(C_i,C_j)=\frac {\sum_{p_r \in C_i, p_q \in C_j}{link(p_r,p_q)}} {(N(C_i) + N(C_j))^{1+2f(\theta)} - N(C_i)^{1+2f(\theta)} - N(C_j)^{1+2f(\theta)}} [/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро алгоритма можно разделить на два основных этапа:

1. Вычисление количества связей между каждой парой транзакций ([math]\frac {M \times M} {2}[/math] вычислений количества связей)
2. Последовательные объединения пар наиболее подходящих кластеров ([math]M-K[/math] поисков пар и объединений)

Подробнее оба этапа будут описаны ниже.

1.4 Макроструктура алгоритма

На макроуровне можно выделить следующие шаги алгоритма:

Шаг 1: вычисление соседних транзакций.

Шаг 2: вычисление количества связей между всеми транзакциями.

Шаг 3: построение для каждого кластера упорядоченного списка значений метрики goodness со всеми остальными кластерами

Шаг 4: построение общего упорядоченного списка значений метрики goodness

Шаг 5 (повторяется то тех пор, пока количество кластеров не достигнет желаемого)

Шаг 5.1: объединение двух кластеров с наилучшим goodness

Шаг 5.2: обновление списков кластеров

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Ниже приведен псевдокод схемы реализации последовательного алгоритма:

procedure compute_links(P)
begin
  for each p[i], p[j] in P do
    if sim(p[i], p[j]) > theta
      is_neighbour[i, j] = true
    else
      is_neighbour[i, j] = false

  links[i, j] = 0
  for each p[i], p[j] in P do
    for p[k] in P do
      if is_neighbour[i, k] && is_neighbour[j, k]
        links[i, j] = links[i, j] + 1
end

procedure cluster(P, k)
begin
  links := compute_links(P)

  for each p in P do
    q[p] := build_local_list(links, p)
  Q := build global_list(P, q)

  while size(Q) > k do
  begin
    u := extract_max(Q)
    v := extract_max(q[u])
    w := merge(u, v)
    delete(Q, v)

    for each x in (q[u] or q[v]) do
    begin
      delete(q[x], u);
      delete(q[x], v)
      insert(q[x], w, goodness(x, w))
      insert(q[w], x, goodness(x, w))
      update(Q, x, q[x])
    end

    insert(Q, w, q[w])
    deallocate(q[u])
    deallocate(q[v])
  end
end

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Рассмотрим сложности шагов алгоритма из раздела 1.4.

Шаг 1: выполняется с помощью двух вложенных циклов и содержит [math]O(M^2)[/math] операций

Шаг 2: задача сводится к умножению полученной на предыдущем шаге матрицы соседства на саму себя. Это действие быть выполнено с помощью наивного метода за [math]O(M^3)[/math] операций. С помощью алгоритма Копперсмита — Винограда это можно сделать за [math]O(M^{2.37})[/math] операций. В случае, если среднее количество соседей каждой транзакции значительно меньше общего количества транзакций, связи могут быть вычислены за [math]O(M^2m_{nbr})[/math], где [math]m_{nbr}[/math] - среднее количество соседей транзакции.

Шаг 3: имеет сложность [math]O(M)[/math].

Шаг 4: имеет такую же вычислительную сложность, как и предыдущий шаг.

Шаг 5: вычислительная сложность каждой итерации цикла составляет [math]O(MlogM)[/math], так как в худшем случае в ходе итерации выполняется [math]M[/math] вставок элемента в упорядоченный список. Желаемое количество кластеров [math]K[/math] мало по сравнению с [math]M[/math], следовательно можно считать, что нужно выполнить [math]M[/math] итераций цикла. Таким образом, общая вычислительная сложность цикла равна [math]O(M^{2}logM)[/math].

Таким образом, общую последовательную сложность алгоритма в общем случае можно оценить, как

[math]O(M^2 + M^{2.37} + M^{2}logM)[/math]

или в случае небольшого количества соседних транзакций, как

[math]O(M^2 + M^2m_{nbr} + M^{2}logM)[/math].

1.7 Информационный граф

Информационный граф перемножения плотных матриц с подробным описанием представлен в статье перемножение плотных матриц

Ниже представлен информационный граф наиболее интересного для рассмотрения этапа алгоритма устойчивой кластеризации с использованием связей - тела цикла (полупрозрачным показана следующая итерация цикла) при [math]n=5[/math].

Рисунок 1. Граф тела цикла; merge - объединение кластеров, insert - вставка goodness с новым кластером в упорядоченные списки соответствующих кластеров.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Шаг 1: каждая итерация цикла может быть выполнена независимо от всех остальных. Таким образом, в этом случае ширина ЯПФ равна [math]O(M^2)[/math], а высота - [math]O(1)[/math].

Шаг 2: высота ЯПФ равна [math]O(M)[/math], а ширина - [math]O(M^2)[/math] (см. перемножение плотных матриц)

Шаг 3: имеет небольшую асимптотическую сложность, может быть выполнен последовательно.

Шаг 4: аналогично шагу 3.

Шаг 5: каждая итерация цикла может быть выполнена только после полного завершения предыдущей, а внутри каждой отдельной итерации все вставки могут быть выполнены независимо друг от друга. Следовательно ширина ЯПФ в этом случае равна [math]O(M)[/math], а высота ЯПФ равна [math]O(MlogM)[/math].

Таким образом, высота ЯПФ зависит от размерности задачи как [math]O(MlogM)[/math], а ширина ЯПФ - как [math]O(M^2)[/math].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: информация об [math]M[/math] транзакциях, каждая их которых имеет [math]N[/math] бинарных атрибутов.

Объём входных данных: [math]M \times N[/math] бинарных переменных. В силу того, что обычно в большинстве случаев лишь небольшое количество атрибутов транзакции имеет значение "1", каждую транзакцию можно хранить в виде списка номеров атрибутов, значения которых равны "1".

Выходные данные: [math]K[/math] кластеров.

Объём выходных данных: [math]M[/math] индексов транзакций, распределенных в [math]K[/math] списков.

1.10 Свойства алгоритма

Вычислительная сложность последовательного алгоритма в общем случае равна [math]O(M^{2.37})[/math], а в случае небольшого количества соседних транзакций у каждой транзакции сложность равна [math]O(M^{2})[/math].

Вычислительная мощность алгоритма (соотношение количества операций к объему входных и выходных данных) в общем случае равна O(M^{1.37}), в а случае небольшого количества соседних транзакций (то есть в том случае, для которого и разрабатывался алгоритм) вычислительная мощность линейна.

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как показано выше, является квадратичным.

2 Программная реализация алгоритма

2.7 Существующие реализации алгоритма

Алгоритм устойчивой кластеризации с иcпользованием связей реализован в пакете CBA языка R.

3 Литература

<references \>