Версия 21:33, 10 ноября 2016

Основные авторы описания: Левин А.Д. (студент, кафедра вычислительных методов, 604 группа)

Содержание

1 Свойства и структура алгоритмов
2 Программная реализация алгоритма
3 Литература

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Данный алгоритм появился в 1950 г. и носит имя венгерского физика и математика Корнелия Ланцоша (венг. Lánczos Kornél). Алгоритм Ланцоша относится к итерационным методам вычисления собственных значений для матриц столь больших порядков [math]n[/math], что к ним нельзя применить прямые методы из-за ограничений по времени и памяти.

Сам Ланцош указывал, что его метод предназначен для отыскания нескольких собственных векторов симметричных матриц, хотя к методу сразу было обращено внимание, как к способу приведения всей матрицы к трёхдиагональному виду. Двадцатью годами позже канадский математик Крис Пэж показал, что, несмотря на чувствительность к округлениям, алгоритм Ланцоша - эффективное средство вычисления некоторых [math]k[/math] собственных чисел и соответствующих им собственных векторов [1, c.276].

Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений симметричной матрицы [math]A[/math] соединяет в себе метод Ланцоша для построения последовательности подпространств Крылова и ортонормированных векторов Ланцоша и процедуру Рэлея-Ритца получения оптимальных приближений собственных значений и соответствующих векторов исходной матрицы [math]A[/math] [2, с.381].

В данной статье рассматривается вариант алгоритма Ланцоша, в котором опущено влияние ошибок округления на вычислительный процесс, хотя на практике этому посвящается отдельное внимание и существуют различные методы решения данной проблемы.

1.2 Математическое описание алгоритма

Для лучшего понимания описания, данного в этом пункте, рекомендуется ознакомиться с параграфом 6.6 Методы Крыловского подпространства из книги [2]. Здесь же будет дано краткое описание всех переменных, действий и необходимый теоретический минимум. Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы [math]A=A^T[/math] в точной арифметике: [2, с.381]

[math] \begin{align} q_1 & = \frac{b}{\|b\|_2}, \beta_0=0, q_0=0 \\ &for\ j\ & = 1 & to & k \\ z & = Aq_j \\ \alpha_{j}= q^{T}_{j}\,z \\ z & = z - \alpha_{j}\,q_j - \beta_{j-1}/,q_{j-1} \\ \end{align} [/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

3 Литература

[1] Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы //М.: Мир. - 1983. - С. 276-294

[2] James W. Demmel Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения //Мир. - 2001. С. 381-391

@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 == Общее описание алгоритма ==
-Данный алгоритм появился в 1950 г. и носит имя венгерского физика и математика Корнелия Ланцоша (венг. Lánczos Kornél). Алгоритм Ланцоша относится к итерационным методам вычисления собственных значений для матриц столь больших порядков <math>n</math>, что к ним нельзя применить прямые методы из-за ограничений по времени и памяти.
+Данный алгоритм появился в 1950 г. и носит имя венгерского физика и математика Корнелия Ланцоша (венг. Lánczos Kornél). Алгоритм Ланцоша относится к итерационным методам вычисления собственных значений для матриц столь больших порядков <math style="vertical-align:0%;>n</math>, что к ним нельзя применить прямые методы из-за ограничений по времени и памяти.
-Сам Ланцош указывал, что его метод предназначен для отыскания нескольких собственных векторов симметричных матриц, хотя к методу сразу было обращено внимание, как к способу приведения всей матрицы к трёхдиагональному виду. Двадцатью годами позже канадский математик Крис Пэж показал, что, несмотря на чувствительность к округлениям, алгоритм Ланцоша - эффективное средство вычисления некоторых <math>k</math> собственных чисел и соответствующих им собственных векторов [1, c.276].
+Сам Ланцош указывал, что его метод предназначен для отыскания нескольких собственных векторов симметричных матриц, хотя к методу сразу было обращено внимание, как к способу приведения всей матрицы к трёхдиагональному виду. Двадцатью годами позже канадский математик Крис Пэж показал, что, несмотря на чувствительность к округлениям, алгоритм Ланцоша - эффективное средство вычисления некоторых <math style="vertical-align:0%;>k</math> собственных чисел и соответствующих им собственных векторов [1, c.276].
 Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений симметричной матрицы <math style="vertical-align:0%;>A</math> соединяет в себе метод Ланцоша для построения последовательности подпространств Крылова и ортонормированных векторов Ланцоша и процедуру Рэлея-Ритца получения оптимальных приближений собственных значений и соответствующих векторов исходной матрицы <math style="vertical-align:0%;>A</math> [2, с.381].

Участник:AleksLevin/Алгоритм Ланцоша вычисления собственных значений симметричной матрицы для точной арифметики (без переортогонализации): различия между версиями