Участник:Viktorrulev/Алгоритм устойчивой кластеризации с иcпользованием связей: различия между версиями

Версия 11:56, 16 декабря 2016

Эта работа прошла предварительную проверку
Дата последней правки страницы: 16.12.2016
Данная работа соответствует формальным критериям.
Проверено Teplov.

Алгоритм устойчивой кластеризации с иcпользованием связей
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(M^2 + M^2m_{nbr} + M^{2}logM)[/math]
Объём входных данных	[math]M \times N[/math]
Объём выходных данных	[math]M[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(MlogM)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(M^2)[/math]

Автор описания: В.А. Рулев.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Кластеризация (кластерный анализ) — задача разбиения заданной выборки объектов на непересекающиеся подмножества, называемые кластерами, так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных кластеров существенно отличались. Каждый объект из выборки характеризуется рядом признаков, которые могут быть вещественными, целочисленными, категорийными (то есть принимающими значения из какого-либо конечного множества), бинарными (принимающими только два значения, обычно [math]true[/math] или [math]false[/math]).

Алгоритм устойчивой кластеризации с иcпользованием связей (robust clustering using links, ROCK) был предложен в 2000 году Sudipto Guha (Stanford University), Rajeev Rastogi (Bell Laboratories) и Kyuseok Shim (Bell Laboratories) ^[1] для кластеризации объектов с бинарными признаками. При этом алгоритм особенно эффективен, если у каждого объекта лишь небольшое количество признаков имеет значение [math]true[/math].

1.2 Математическое описание алгоритма

В ходе кластеризации [math]M[/math] имеющихся объектов [math]P=\{p_1,...,p_M\}[/math] (каждый объект имеет [math]N[/math] признаков) должны быть разделены на [math]K[/math] непересекающихся подмножеств (кластеров) [math]C_1, ..., C_K[/math] таким образом, чтобы полученные кластеры максимизировали некоторую критериальную функцию [math]E(C_1, ..., C_K)[/math].

Будет называть два объекта [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math] соседями, если мера сходства [math]neighbour(p_1,p_2)[/math] этих объектов больше некоторого заранее заданного порогового значения [math]\theta[/math] В качестве меры сходства в алгоритме устойчивой кластеризации с использованием связей используется основанная на коэффициенте Жаккара мера сходства [math]sim(p_1,p_2)[/math]. В ней [math]N(C_i)^{1+2f(\theta)}[/math] имеет смысл ожидаемого (среднего) количества связей внутри одного кластера.

Количеством связей [math]link(p_1,p_2)[/math] между двумя объектами [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math] будем называть количество общих соседей этих объектов.

Для того, чтобы сформировать кластеры, удовлетворяющие поставленному условию, необходимо последовательно объединять среди имеющихся кластеров такие пары кластеров, для которых метрика [math]goodness(C_i,C_j)[/math] достигает максимального значения среди всех пар кластеров. На начальном этапе каждый объект считается отдельным кластером.

Формулы метода:

[math] neighbour(p_1,p_2)=(sim(p_1,p_2)\gt \theta) [/math]

[math] sim(p_1,p_2)=\frac{N(p_1 \cap p_2)}{N(p_1 \cup p_2)} [/math]

[math] link(p_1,p_2)=N \Big( \{ p \in P | sim(p_1,p) \lt \theta \} \cap \{ p \in P | sim(p_2,p) \lt \theta \} \Big) [/math]

[math] E(C_1,...,C_K)=\sum_{i=1}^{K}N(C_i) \ast \sum_{p_q,p_r \in C_i}\frac{link(p_q,p_r)}{N(C_i)^{1+2f(\theta)}} [/math]

[math] f(\theta)=\frac {1-\theta}{1+\theta} [/math]

[math] goodness(C_i,C_j)=\frac {\sum_{p_r \in C_i, p_q \in C_j}{link(p_r,p_q)}} {(N(C_i) + N(C_j))^{1+2f(\theta)} - N(C_i)^{1+2f(\theta)} - N(C_j)^{1+2f(\theta)}} [/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро алгоритма можно разделить на два основных этапа:

Вычисление количества связей между каждой парой объектов ([math]\frac {M \times M} {2}[/math] вычислений количества связей)
Последовательные объединения пар наиболее подходящих кластеров ([math]M-K[/math] поисков пар и объединений)

Подробнее оба этапа будут описаны ниже.

1.4 Макроструктура алгоритма

На макроуровне можно выделить следующие шаги алгоритма:

Шаг 1: вычисление соседних объектов.

Шаг 2: вычисление количества связей между всеми объектами.

Шаг 3: построение для каждого кластера упорядоченного списка значений метрики goodness со всеми остальными кластерами

Шаг 4: построение общего упорядоченного списка значений метрики goodness

Шаг 5 (повторяется то тех пор, пока количество кластеров не достигнет желаемого)

Шаг 5.1: объединение двух кластеров с наилучшим goodness

Шаг 5.2: обновление списков кластеров

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Ниже приведен псевдокод схемы реализации последовательного алгоритма:

procedure compute_links(P)
begin
  for each p[i], p[j] in P do
    if sim(p[i], p[j]) > theta
      is_neighbour[i, j] = true
    else
      is_neighbour[i, j] = false

  links[i, j] = 0
  for each p[i], p[j] in P do
    for p[k] in P do
      if is_neighbour[i, k] && is_neighbour[j, k]
        links[i, j] = links[i, j] + 1
end

procedure cluster(P, k)
begin
  links := compute_links(P)

  for each p in P do
    q[p] := build_local_list(links, p)
  Q := build global_list(P, q)

  while size(Q) > k do
  begin
    u := extract_max(Q)
    v := extract_max(q[u])
    w := merge(u, v)
    delete(Q, v)

    for each x in (q[u] or q[v]) do
    begin
      delete(q[x], u);
      delete(q[x], v)
      insert(q[x], w, goodness(x, w))
      insert(q[w], x, goodness(x, w))
      update(Q, x, q[x])
    end

    insert(Q, w, q[w])
    deallocate(q[u])
    deallocate(q[v])
  end
end

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Рассмотрим сложности шагов алгоритма из раздела 1.4.

Шаг 1: выполняется с помощью двух вложенных циклов и содержит [math]O(M^2)[/math] операций

Шаг 2: задача сводится к умножению полученной на предыдущем шаге матрицы соседства на саму себя. Это действие быть выполнено с помощью наивного метода за [math]O(M^3)[/math] операций. С помощью алгоритма Копперсмита — Винограда это можно сделать за [math]O(M^{2.37})[/math] операций.^[2] В случае, если среднее количество соседей каждого объекта значительно меньше общего количества объектов, связи могут быть вычислены за [math]O(M^2m_{nbr})[/math], где [math]m_{nbr}[/math] - среднее количество соседей объекта.

Шаг 3: имеет сложность [math]O(M)[/math].^[3]

Шаг 4: имеет сложность [math]O(M)[/math].

Шаг 5: вычислительная сложность каждой итерации цикла составляет [math]O(MlogM)[/math], так как в худшем случае в ходе итерации выполняется [math]M[/math] вставок элемента в упорядоченный список. Желаемое количество кластеров [math]K[/math] мало по сравнению с [math]M[/math], следовательно можно считать, что нужно выполнить [math]M[/math] итераций цикла. Таким образом, общая вычислительная сложность цикла равна [math]O(M^{2}logM)[/math].

Таким образом, общую последовательную сложность алгоритма в общем случае можно оценить, как

[math]O(M^2 + M^{2.37} + M^{2}logM)[/math]

или в случае небольшого количества соседних объектов для каждого объекта выборки, как

[math]O(M^2 + M^2m_{nbr} + M^{2}logM)[/math].

1.7 Информационный граф

Информационный граф перемножения плотных матриц с подробным описанием представлен в статье перемножение плотных матриц

Ниже представлен информационный граф наиболее интересного для рассмотрения этапа алгоритма устойчивой кластеризации с использованием связей - тела цикла (полупрозрачным показана следующая итерация цикла) при [math]n=5[/math].

Рисунок 1. Граф тела цикла; merge - объединение кластеров, insert - вставка goodness с новым кластером в упорядоченные списки соответствующих кластеров.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Шаг 1: каждая итерация цикла может быть выполнена независимо от всех остальных. Таким образом, в этом случае ширина ЯПФ равна [math]O(M^2)[/math], а высота - [math]O(1)[/math].

Шаг 2: высота ЯПФ равна [math]O(M)[/math], а ширина - [math]O(M^2)[/math] (см. перемножение плотных матриц)

Шаг 3: имеет небольшую асимптотическую сложность, может быть выполнен последовательно.

Шаг 4: аналогично шагу 3.

Шаг 5: каждая итерация цикла может быть выполнена только после полного завершения предыдущей, а внутри каждой отдельной итерации все вставки могут быть выполнены независимо друг от друга. Следовательно ширина ЯПФ в этом случае равна [math]O(M)[/math], а высота ЯПФ равна [math]O(MlogM)[/math].

Таким образом, высота ЯПФ зависит от размерности задачи как [math]O(MlogM)[/math], а ширина ЯПФ - как [math]O(M^2)[/math].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: информация об [math]M[/math] объектах, каждая их которых имеет [math]N[/math] бинарных атрибутов.

Объём входных данных: [math]M \times N[/math] бинарных переменных. В силу того, что обычно в большинстве случаев лишь небольшое количество атрибутов объекта имеет значение "true", каждый объект можно хранить в виде списка номеров атрибутов, значения которых равны "true".

Выходные данные: [math]K[/math] кластеров.

Объём выходных данных: [math]M[/math] индексов объектов, распределенных в [math]K[/math] списков.

1.10 Свойства алгоритма

Вычислительная сложность последовательного алгоритма в общем случае равна [math]O(M^{2.37})[/math], а в случае небольшого количества соседних объектов у каждого объекта сложность равна [math]O(M^{2})[/math].

Вычислительная мощность алгоритма (соотношение количества операций к объему входных и выходных данных) в общем случае равна O(M^{1.37}), в а случае небольшого количества соседних объектов (то есть в том случае, для которого и разрабатывался алгоритм) вычислительная мощность линейна.

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как показано выше, является квадратичным.

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Проведём исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма устройчивой кластеризации с использованием связей, выполненной с использованием OpenMP. Исследование проводилось на персональном компьютере HP Pavilion dv6 (процессор Intel Core i7 3610QM 2300 МГц, 8 логических ядер).

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

число нитей [1 : 8] с шагом 1;
количество точек [500 : 1500] с шагом 100.

На следующих рисунках приведены графики времени выполнения выбранной реализации разложения Холецкого в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Рисунок 2. Параллельная реализация алгоритма устойчивой кластеризации с использованием связей. Изменение времени выполнения кластеризации в зависимости от количества точек и от количества параллельных нитей.

Для проверяющего: я сделал OpenMP и MPI реализации этого алгоритма, но при запуске на Ломоносове они не дают никакого ускорения в зависимости от количества нитей/процессов. Я могу предоставить графики, показывающие это. Также я готов предоставить исходники обеих программ, но не могу выложить их на git.algowiki-project.org, потому что мне не приходит письмо с подтверждением регистрации.

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

Алгоритм устойчивой кластеризации с иcпользованием связей реализован в пакете CBA языка R.^[4]

3 Литература

↑ Sudipto Guha, Rajeev Rastogi, Kyuseok Shim ROCK: A robust clustering algorithm for categorical attributes. 2000. Information Systems. Vol 25, Issue 5, Pages 345-366
↑ Donald Coppersmith and Shmuel Winograd. Matrix multiplication via arithmetic progressions. In Proc. of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing. 1987.
↑ Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, and Ronald L. Rivest. Introduction to Algorithms. The MIT Press, Massachusetts, 1990.
↑ https://en.wikibooks.org/wiki/Data_Mining_Algorithms_In_R/Clustering/RockCluster

[1] Sudipto Guha, Rajeev Rastogi, Kyuseok Shim ROCK: A robust clustering algorithm for categorical attributes. 2000. Information Systems. Vol 25, Issue 5, Pages 345-366

[2] Donald Coppersmith and Shmuel Winograd. Matrix multiplication via arithmetic progressions. In Proc. of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing. 1987.

[3] Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, and Ronald L. Rivest. Introduction to Algorithms. The MIT Press, Massachusetts, 1990.

[4] ttps://en.wikibooks.org/wiki/Data_Mining_Algorithms_In_R/Clustering/RockCluster

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Строка 16: / Строка 16: @@
 === Общее описание алгоритма ===
-Кластеризация (кластерный анализ) — задача разбиения заданной выборки объектов на непересекающиеся подмножества, называемые кластерами, так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных кластеров существенно отличались. Каждый объект из выборки характеризуется рядом признаков, которые могут быть вещественными, целочисленными, категорийными (то есть принимающими значения из какого-либо множества) и другими. Множество значений, которые может принимать признак, называется доменом этого признака. Так, например, у объекта '''кошка''' может быть категорийный признак '''порода''', доменом которого является множество '''[персидская, бенгальская, сфинкс, мейн-кун, ...]'''.
+Кластеризация (кластерный анализ) — задача разбиения заданной выборки объектов на непересекающиеся подмножества, называемые кластерами, так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных кластеров существенно отличались. Каждый объект из выборки характеризуется рядом признаков, которые могут быть вещественными, целочисленными, категорийными (то есть принимающими значения из какого-либо конечного множества), бинарными (принимающими только два значения, обычно <math>true</math> или <math>false</math>).
-'''Алгоритм устойчивой кластеризации с иcпользованием связей (robust clustering using links, ROCK)''' был предложен в 2000 году Sudipto Guha (Stanford University), Rajeev Rastogi (Bell Laboratories) и Kyuseok Shim (Bell Laboratories) <ref>Sudipto Guha, Rajeev Rastogi, Kyuseok Shim ROCK: A robust clustering algorithm for categorical attributes. 2000. Information Systems. Vol 25, Issue 5, Pages 345-366</ref> для кластеризации объектов с категорийными признаками.
+'''Алгоритм устойчивой кластеризации с иcпользованием связей (robust clustering using links, ROCK)''' был предложен в 2000 году Sudipto Guha (Stanford University), Rajeev Rastogi (Bell Laboratories) и Kyuseok Shim (Bell Laboratories) <ref>Sudipto Guha, Rajeev Rastogi, Kyuseok Shim ROCK: A robust clustering algorithm for categorical attributes. 2000. Information Systems. Vol 25, Issue 5, Pages 345-366</ref> для кластеризации объектов с бинарными признаками. При этом алгоритм особенно эффективен, если у каждого объекта лишь небольшое количество признаков имеет значение <math>true</math>.
-Алгоритм устойчивой кластеризации с использованием связей предназначен для работы с объектами типа "транзакция" ("покупательская корзина"). Транзакция представляет собой множество товаров, приобретенных покупателем у поставщика. Каждому товару, который есть в наличии у поставщика, в транзакции соответствует отдельный признак, который принимает значение '''true''', если товар присутствует в транзакции, и '''false''', если товар в транзакции отсутствует.
 === Математическое описание алгоритма ===
-В ходе кластеризации <math>M</math> имеющихся транзакций <math>P=\{p_1,...,p_M\}</math> (каждая транзакция имеет <math>N</math> признаков) должны быть разделены на <math>K</math> непересекающихся подмножеств (кластеров) <math>C_1, ..., C_K</math> таким образом, чтобы полученные кластеры максимизировали некоторую критериальную функцию <math>E(C_1, ..., C_K)</math>.
+В ходе кластеризации <math>M</math> имеющихся объектов <math>P=\{p_1,...,p_M\}</math> (каждый объект имеет <math>N</math> признаков) должны быть разделены на <math>K</math> непересекающихся подмножеств (кластеров) <math>C_1, ..., C_K</math> таким образом, чтобы полученные кластеры максимизировали некоторую критериальную функцию <math>E(C_1, ..., C_K)</math>.
-Будет называть две транзакции <math>p_1</math> и <math>p_2</math> '''соседями''', если мера сходства <math>neighbour(p_1,p_2)</math> этих транзакций больше некоторого заранее заданного порогового значения <math>\theta</math> В качестве меры сходства в алгоритме устойчивой кластеризации с использованием связей используется основанная на коэффициенте Жаккара мера сходства <math>sim(p_1,p_2)</math>. В ней <math>N(C_i)^{1+2f(\theta)}</math> имеет смысл ожидаемого (среднего) количества связей внутри одного кластера.
+Будет называть два объекта <math>p_1</math> и <math>p_2</math> '''соседями''', если мера сходства <math>neighbour(p_1,p_2)</math> этих объектов больше некоторого заранее заданного порогового значения <math>\theta</math> В качестве меры сходства в алгоритме устойчивой кластеризации с использованием связей используется основанная на коэффициенте Жаккара мера сходства <math>sim(p_1,p_2)</math>. В ней <math>N(C_i)^{1+2f(\theta)}</math> имеет смысл ожидаемого (среднего) количества связей внутри одного кластера.
-'''Количеством связей''' <math>link(p_1,p_2)</math> между двумя транзакциями <math>p_1</math> и <math>p_2</math> будем называть количество общих соседей этих транзакций.
+'''Количеством связей''' <math>link(p_1,p_2)</math> между двумя объектами <math>p_1</math> и <math>p_2</math> будем называть количество общих соседей этих объектов.
-Для того, чтобы сформировать кластеры, удовлетворяющие поставленному условию, необходимо последовательно объединять среди имеющихся кластеров такие пары кластеров, для которых метрика <math>goodness(C_i,C_j)</math> достигает максимального значения среди всех пар кластеров. На начальном этапе каждая транзакция считается отдельным кластером.
+Для того, чтобы сформировать кластеры, удовлетворяющие поставленному условию, необходимо последовательно объединять среди имеющихся кластеров такие пары кластеров, для которых метрика <math>goodness(C_i,C_j)</math> достигает максимального значения среди всех пар кластеров. На начальном этапе каждый объект считается отдельным кластером.
 Формулы метода:
@@ Строка 61: / Строка 59: @@
 Вычислительное ядро алгоритма можно разделить на два основных этапа:
-# Вычисление количества связей между каждой парой транзакций (<math>\frac {M \times M} {2}</math> вычислений количества связей)
+# Вычисление количества связей между каждой парой объектов (<math>\frac {M \times M} {2}</math> вычислений количества связей)
 # Последовательные объединения пар наиболее подходящих кластеров (<math>M-K</math> поисков пар и объединений)
@@ Строка 70: / Строка 68: @@
 На макроуровне можно выделить следующие шаги алгоритма:
-'''Шаг 1:''' вычисление соседних транзакций.
+'''Шаг 1:''' вычисление соседних объектов.
-'''Шаг 2:''' вычисление количества связей между всеми транзакциями.
+'''Шаг 2:''' вычисление количества связей между всеми объектами.
 '''Шаг 3:''' построение для каждого кластера упорядоченного списка значений метрики goodness со всеми остальными кластерами
@@ Строка 141: / Строка 139: @@
 '''Шаг 1:''' выполняется с помощью двух вложенных циклов и содержит <math>O(M^2)</math> операций
-'''Шаг 2:''' задача сводится к умножению полученной на предыдущем шаге матрицы соседства на саму себя. Это действие быть выполнено с помощью наивного метода за <math>O(M^3)</math> операций. С помощью алгоритма Копперсмита — Винограда это можно сделать за <math>O(M^{2.37})</math> операций.<ref>Donald Coppersmith and Shmuel Winograd. Matrix multiplication via arithmetic progressions. In Proc. of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing. 1987.</ref> В случае, если среднее количество соседей каждой транзакции значительно меньше общего количества транзакций, связи могут быть вычислены за <math>O(M^2m_{nbr})</math>, где <math>m_{nbr}</math> - среднее количество соседей транзакции.
+'''Шаг 2:''' задача сводится к умножению полученной на предыдущем шаге матрицы соседства на саму себя. Это действие быть выполнено с помощью наивного метода за <math>O(M^3)</math> операций. С помощью алгоритма Копперсмита — Винограда это можно сделать за <math>O(M^{2.37})</math> операций.<ref>Donald Coppersmith and Shmuel Winograd. Matrix multiplication via arithmetic progressions. In Proc. of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing. 1987.</ref> В случае, если среднее количество соседей каждого объекта значительно меньше общего количества объектов, связи могут быть вычислены за <math>O(M^2m_{nbr})</math>, где <math>m_{nbr}</math> - среднее количество соседей объекта.
 '''Шаг 3:''' имеет сложность <math>O(M)</math>.<ref>Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, and Ronald L. Rivest. Introduction to
 Algorithms. The MIT Press, Massachusetts, 1990.</ref>
-'''Шаг 4:''' имеет такую же вычислительную сложность, как и предыдущий шаг.
+'''Шаг 4:''' имеет сложность <math>O(M)</math>.
 '''Шаг 5:''' вычислительная сложность каждой итерации цикла составляет <math>O(MlogM)</math>, так как в худшем случае в ходе итерации выполняется <math>M</math> вставок элемента в упорядоченный список. Желаемое количество кластеров <math>K</math> мало по сравнению с <math>M</math>, следовательно можно считать, что нужно выполнить <math>M</math> итераций цикла. Таким образом, общая вычислительная сложность цикла равна <math>O(M^{2}logM)</math>.
@@ Строка 154: / Строка 152: @@
 :<math>O(M^2 + M^{2.37} + M^{2}logM)</math>
-или в случае небольшого количества соседних транзакций, как
+или в случае небольшого количества соседних объектов для каждого объекта выборки, как
 :<math>O(M^2 + M^2m_{nbr} + M^{2}logM)</math>.
@@ Строка 164: / Строка 162: @@
 Ниже представлен информационный граф наиболее интересного для рассмотрения этапа алгоритма устойчивой кластеризации с использованием связей - тела цикла (полупрозрачным показана следующая итерация цикла) при <math>n=5</math>.
-[[file:Rock-graph.png|thumb|center|1000px|Рисунок 1. Граф тела цикла; merge - объединение кластеров, insert - вставка goodness с новым кластером в упорядоченные списки соответствующих кластеров.]]
+[[file:rock-graph.png|thumb|center|1000px|Рисунок 1. Граф тела цикла; merge - объединение кластеров, insert - вставка goodness с новым кластером в упорядоченные списки соответствующих кластеров.]]
 === Ресурс параллелизма алгоритма ===
@@ Строка 182: / Строка 180: @@
 === Входные и выходные данные алгоритма ===
-'''Входные данные''': информация об <math>M</math> транзакциях, каждая их которых имеет <math>N</math> бинарных атрибутов.
+'''Входные данные''': информация об <math>M</math> объектах, каждая их которых имеет <math>N</math> бинарных атрибутов.
-'''Объём входных данных''': <math>M \times N</math> бинарных переменных. В силу того, что обычно в большинстве случаев лишь небольшое количество атрибутов транзакции имеет значение "1", каждую транзакцию можно хранить в виде списка номеров атрибутов, значения которых равны "1".
+'''Объём входных данных''': <math>M \times N</math> бинарных переменных. В силу того, что обычно в большинстве случаев лишь небольшое количество атрибутов объекта имеет значение "true", каждый объект можно хранить в виде списка номеров атрибутов, значения которых равны "true".
 '''Выходные данные''': <math>K</math> кластеров.
-'''Объём выходных данных''': <math>M</math> индексов транзакций, распределенных в <math>K</math> списков.
+'''Объём выходных данных''': <math>M</math> индексов объектов, распределенных в <math>K</math> списков.
 === Свойства алгоритма ===
-Вычислительная сложность последовательного алгоритма в общем случае равна <math>O(M^{2.37})</math>, а в случае небольшого количества соседних транзакций у каждой транзакции сложность равна <math>O(M^{2})</math>.
+Вычислительная сложность последовательного алгоритма в общем случае равна <math>O(M^{2.37})</math>, а в случае небольшого количества соседних объектов у каждого объекта сложность равна <math>O(M^{2})</math>.
-Вычислительная мощность алгоритма (соотношение количества операций к объему входных и выходных данных) в общем случае равна O(M^{1.37}), в а случае небольшого количества соседних транзакций (то есть в том случае, для которого и разрабатывался алгоритм) вычислительная мощность линейна.
+Вычислительная мощность алгоритма (соотношение количества операций к объему входных и выходных данных) в общем случае равна O(M^{1.37}), в а случае небольшого количества соседних объектов (то есть в том случае, для которого и разрабатывался алгоритм) вычислительная мощность линейна.
 Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как показано выше, является квадратичным.