Участник:Kiseliov/Метод регуляризации Тихонова: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Форматирование)
Строка 5: Строка 5:
 
Метод регуляризации Тихонова заключается в следующем:
 
Метод регуляризации Тихонова заключается в следующем:
  
Нам дано некоторое искажённое изображение (в нашем случае мы рассматриваем статические аберрации). Фактически, некоторое изображение искажается при помощи свёртки с так называемым ядром. То есть, мы имеем уравнение Фредгольма первого рода типа свертки вида:<br>
+
Нам дано некоторое искажённое изображение (в нашем случае мы рассматриваем статические аберрации). Фактически, некоторое изображение искажается при помощи свёртки с так называемым ядром. То есть, мы имеем уравнение Фредгольма первого рода типа свертки вида:
<math>K \circledast z =\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}K(x_1-s_1,x_2-s_2 )z(s_1,s_2 )ds_1\,ds_2 = u(x_1,x_2 ),  -\infty<x_1,x_2<\infty</math><br>
+
 
 +
<math>K \circledast z =\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}K(x_1-s_1,x_2-s_2 )z(s_1,s_2 )ds_1\,ds_2 = u(x_1,x_2 ),  -\infty<x_1,x_2<\infty</math>
 +
 
 
Здесь <math>K(x_1,x_2 )∈L_2 (\mathbb{R}^2)</math> – аппаратная функция прибора (ядро), <math>u(x_1,x_2 )∈L_2 (\mathbb{R}^2)</math> – искаженное изображение, а <math>z(x_1,x_2 )</math> – искомое реконструируемое изображение.
 
Здесь <math>K(x_1,x_2 )∈L_2 (\mathbb{R}^2)</math> – аппаратная функция прибора (ядро), <math>u(x_1,x_2 )∈L_2 (\mathbb{R}^2)</math> – искаженное изображение, а <math>z(x_1,x_2 )</math> – искомое реконструируемое изображение.
  
Наша задача - восстановить исходное изображение, зная параметры ядра. Метод регуляризации Тихонова говорит о том, что решение имеет вид:<br>
+
Наша задача - восстановить исходное изображение, зная параметры ядра. Метод регуляризации Тихонова говорит о том, что решение имеет вид:
<math>z(x_1 ,x_2 ) = \frac{1}{4\pi^2}\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\bar K (-\omega_1,-\omega_2)\bar u (\omega_1,\omega_2)}{|\bar K (\omega_1,\omega_2 )|^2+\alpha M(\omega_1,\omega_2)}e^{i(\omega_1x_1 + \omega_2x_2)}d\omega_1\,d\omega_2</math><br>
+
 
 +
<math>z(x_1 ,x_2 ) = \frac{1}{4\pi^2}\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\bar K (-\omega_1,-\omega_2)\bar u (\omega_1,\omega_2)}{|\bar K (\omega_1,\omega_2 )|^2+\alpha M(\omega_1,\omega_2)}e^{i(\omega_1x_1 + \omega_2x_2)}d\omega_1\,d\omega_2</math>
 +
 
 
Здесь <math>\bar K (x_1,x_2 )</math> – спектр ядра, <math>\bar u (x_1,x_2 )</math> – спектр искаженного изображения, а <math>M(\omega_1,\omega_2)</math> – заданная четная функция, обладающая следующими свойствами:
 
Здесь <math>\bar K (x_1,x_2 )</math> – спектр ядра, <math>\bar u (x_1,x_2 )</math> – спектр искаженного изображения, а <math>M(\omega_1,\omega_2)</math> – заданная четная функция, обладающая следующими свойствами:
 
# <math>M(\omega_1,\omega_2)</math> кусочно-непрерывна в любой конечной области
 
# <math>M(\omega_1,\omega_2)</math> кусочно-непрерывна в любой конечной области

Версия 17:49, 29 сентября 2022

Автор: Киселёв Е. И.

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Метод регуляризации Тихонова заключается в следующем:

Нам дано некоторое искажённое изображение (в нашем случае мы рассматриваем статические аберрации). Фактически, некоторое изображение искажается при помощи свёртки с так называемым ядром. То есть, мы имеем уравнение Фредгольма первого рода типа свертки вида:

[math]K \circledast z =\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}K(x_1-s_1,x_2-s_2 )z(s_1,s_2 )ds_1\,ds_2 = u(x_1,x_2 ), -\infty\lt x_1,x_2\lt \infty[/math]

Здесь [math]K(x_1,x_2 )∈L_2 (\mathbb{R}^2)[/math] – аппаратная функция прибора (ядро), [math]u(x_1,x_2 )∈L_2 (\mathbb{R}^2)[/math] – искаженное изображение, а [math]z(x_1,x_2 )[/math] – искомое реконструируемое изображение.

Наша задача - восстановить исходное изображение, зная параметры ядра. Метод регуляризации Тихонова говорит о том, что решение имеет вид:

[math]z(x_1 ,x_2 ) = \frac{1}{4\pi^2}\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\bar K (-\omega_1,-\omega_2)\bar u (\omega_1,\omega_2)}{|\bar K (\omega_1,\omega_2 )|^2+\alpha M(\omega_1,\omega_2)}e^{i(\omega_1x_1 + \omega_2x_2)}d\omega_1\,d\omega_2[/math]

Здесь [math]\bar K (x_1,x_2 )[/math] – спектр ядра, [math]\bar u (x_1,x_2 )[/math] – спектр искаженного изображения, а [math]M(\omega_1,\omega_2)[/math] – заданная четная функция, обладающая следующими свойствами:

  1. [math]M(\omega_1,\omega_2)[/math] кусочно-непрерывна в любой конечной области
  2. [math]M(\omega_1,\omega_2)[/math] неотрицательна: [math]M(0,0)\ge0[/math] и [math]M(\omega_1,\omega_2)\gt 0[/math] при [math]\omega_1,\omega_2\neq0[/math]
  3. для достаточно больших [math]|\omega_1|,|\omega_2| \Rightarrow M(\omega_1,\omega_2)\ge C\gt 0[/math]
  4. для [math]\forall \alpha \gt 0 \Rightarrow \frac{\bar K (-\omega_1,-\omega_2)}{|\bar K (\omega_1,\omega_2 )|^2+\alpha M(\omega_1,\omega_2)}∈L_2 (\mathbb{R}^2)[/math]

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть нам даны спектры искажённого изображения [math]\bar u_{nm}[/math] и ядра [math]\bar K_{nm}[/math] - это матрицы, состоящие из комплексных чисел, размера [math]N[/math] на [math]M[/math] и пусть [math]N = 2^k[/math]. Тогда спектр исходного изображения находится по формуле:
[math]\bar z_{nm} =\frac{\bar K_{nm}\bar u_{nm} (\vartriangle x)^2}{\bigl|(\bar K_{nm})^*\bigl|^2(\vartriangle x)^4+\alpha \bigl(\bigl(\frac{\pi}{2R}\bigl)^2(n^2+m^2)\bigl)^r}[/math]
Здесь [math]\vartriangle x=\frac{4R}{N}[/math], где R - один из параметров ядра (известная, наперёд заданная величина).[math](\bar K_{nm})^*[/math] - сопряжение спектра ядра. [math]\alpha[/math] и [math]r[/math] - параметры метода. В нашем модельном случае будем считать изображение симметричным, т. е. [math]M=N[/math], и [math]r = 1[/math].

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: Спектр искажённого изображения и спектр ядра свёртки. Обычно дано искажённое изображение (от которого берётся преобразование Фурье). Мы считаем параметры ядра известными. Оно генерируется, и затем от него берётся преобразование Фурье (получается спектр).

Выходные данные: Спектр исходного изображения. Спектр можно преобразовать в изображение с помощью обратного преобразования Фурье.

1.10 Свойства алгоритма

2 ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

3 Литература

  • Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1979.
  • Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1990.
  • Гудмен Дж. Введение в фурье‐оптику. – М.: Мир, 1970. 364 с.