Участник:F-morozov/Нахождение собственных чисел квадратной матрицы методом QR разложения (4): различия между версиями
Nataliya (обсуждение | вклад) |
Nataliya (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 6: | Строка 6: | ||
Для решения ряда задач механики, физики, химии требуется получение всех собственных значений (собственных чисел), а иногда и всех собственных векторов некоторых матриц. Эту задачу называют полной проблемой собственных значений<ref name="Бахвалов">Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — 6-е изд. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 636 с.</ref>. Если рассматриваются матрицы общего вида, порядок которых не больше тысячи (нескольких тысяч), то для вычисления всех собственных значений (и собственных векторов) можно рекомендовать QR-алгоритм. Он был разработан в начале 1960-х годов независимо В. Н. Кублановской (Россия) и Дж. Фрэнсисом (Великобритания)<ref>Тыртышников Е. Е. Методы численного анализа. — М.: Академия, 2007. — 320 c.</ref>. | Для решения ряда задач механики, физики, химии требуется получение всех собственных значений (собственных чисел), а иногда и всех собственных векторов некоторых матриц. Эту задачу называют полной проблемой собственных значений<ref name="Бахвалов">Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — 6-е изд. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 636 с.</ref>. Если рассматриваются матрицы общего вида, порядок которых не больше тысячи (нескольких тысяч), то для вычисления всех собственных значений (и собственных векторов) можно рекомендовать QR-алгоритм. Он был разработан в начале 1960-х годов независимо В. Н. Кублановской (Россия) и Дж. Фрэнсисом (Великобритания)<ref>Тыртышников Е. Е. Методы численного анализа. — М.: Академия, 2007. — 320 c.</ref>. | ||
| − | Нахождение собственных чисел матрицы <math>A</math> методом QR-разложения заключается в построении последовательности матриц, сходящейся по форме к клеточному правому треугольному виду. Матрицы <math>A_n</math> данной последовательности строятся с использованием QR-разложения таким образом, что они подобны между собой и подобны исходной матрице <math>A</math>, поэтому их собственные значения равны. Характеристический многочлен клеточной правой треугольной матрицы равен произведению характеристических многочленов ее диагональных клеток<ref "Бахвалов"></ref>. Его корни — собственные значения матрицы, которые согласно вышесказанному и являются искомыми. | + | Нахождение собственных чисел матрицы <math>A</math> методом QR-разложения заключается в построении последовательности матриц, сходящейся по форме к клеточному правому треугольному виду. Матрицы <math>A_n</math> данной последовательности строятся с использованием QR-разложения таким образом, что они подобны между собой и подобны исходной матрице <math>A</math>, поэтому их собственные значения равны. Характеристический многочлен клеточной правой треугольной матрицы равен произведению характеристических многочленов ее диагональных клеток<ref name="Бахвалов"></ref>. Его корни — собственные значения матрицы, которые согласно вышесказанному и являются искомыми. |
== Математическое описание алгоритма == | == Математическое описание алгоритма == | ||
Версия 18:11, 12 октября 2016
Основные авторы описания: Ф. В. Морозов, Н. Ф. Пащенко
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритмов
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритмов
1.1 Общее описание алгоритма
Для решения ряда задач механики, физики, химии требуется получение всех собственных значений (собственных чисел), а иногда и всех собственных векторов некоторых матриц. Эту задачу называют полной проблемой собственных значений[1]. Если рассматриваются матрицы общего вида, порядок которых не больше тысячи (нескольких тысяч), то для вычисления всех собственных значений (и собственных векторов) можно рекомендовать QR-алгоритм. Он был разработан в начале 1960-х годов независимо В. Н. Кублановской (Россия) и Дж. Фрэнсисом (Великобритания)[2].
Нахождение собственных чисел матрицы [math]A[/math] методом QR-разложения заключается в построении последовательности матриц, сходящейся по форме к клеточному правому треугольному виду. Матрицы [math]A_n[/math] данной последовательности строятся с использованием QR-разложения таким образом, что они подобны между собой и подобны исходной матрице [math]A[/math], поэтому их собственные значения равны. Характеристический многочлен клеточной правой треугольной матрицы равен произведению характеристических многочленов ее диагональных клеток[1]. Его корни — собственные значения матрицы, которые согласно вышесказанному и являются искомыми.
1.2 Математическое описание алгоритма
Произвольная квадратная матрица может быть представлена в виде произведения ортогональной и верхней треугольной матриц[3]. блаблабла [3]
