Участник:F-morozov/Нахождение собственных чисел квадратной матрицы методом QR разложения (4): различия между версиями
Nataliya (обсуждение | вклад) |
Nataliya (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 11: | Строка 11: | ||
== Математическое описание алгоритма == | == Математическое описание алгоритма == | ||
| − | Пусть <math>A</math> — произвольная квадратная вещественная матрица. Известно, что произвольная квадратная матрица может быть представлена в виде произведения ортогональной и верхней треугольной матриц | + | Пусть <math>A</math> — произвольная квадратная вещественная матрица. Известно, что произвольная квадратная матрица может быть представлена в виде произведения унитарной (ортогональной в случае вещественной матрицы) и верхней треугольной матриц, поэтому имеет место равенство: |
| − | :<math>A = Q_1R_1</math> | + | :<math>A = Q_1R_1</math>, |
| + | |||
| + | где <math>Q_1</math> — ортогональная, <math>R_1</math> — верхняя треугольная матрицы. Такое разложение называется QR-разложением. | ||
== Вычислительное ядро алгоритма == | == Вычислительное ядро алгоритма == | ||
Версия 19:02, 12 октября 2016
Основные авторы описания: Ф. В. Морозов, Н. Ф. Пащенко
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритмов
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритмов
1.1 Общее описание алгоритма
Для решения ряда задач механики, физики, химии требуется получение всех собственных значений (собственных чисел), а иногда и всех собственных векторов некоторых матриц. Эту задачу называют полной проблемой собственных значений[1]. Если рассматриваются матрицы общего вида, порядок которых не больше тысячи (нескольких тысяч), то для вычисления всех собственных значений (и собственных векторов) можно рекомендовать QR-алгоритм. Он был разработан в начале 1960-х годов независимо В. Н. Кублановской (Россия) и Дж. Фрэнсисом (Великобритания)[2].
Нахождение собственных чисел матрицы [math]A[/math] методом QR-разложения заключается в построении последовательности матриц, сходящейся по форме к клеточному правому треугольному виду. Матрицы [math]A_n[/math] данной последовательности строятся с использованием QR-разложения таким образом, что они подобны между собой и подобны исходной матрице [math]A[/math], поэтому их собственные значения равны. Характеристический многочлен клеточной правой треугольной матрицы равен произведению характеристических многочленов ее диагональных клеток[1]. Его корни — собственные значения матрицы, которые согласно вышесказанному и являются искомыми.
1.2 Математическое описание алгоритма
Пусть [math]A[/math] — произвольная квадратная вещественная матрица. Известно, что произвольная квадратная матрица может быть представлена в виде произведения унитарной (ортогональной в случае вещественной матрицы) и верхней треугольной матриц, поэтому имеет место равенство:
- [math]A = Q_1R_1[/math],
где [math]Q_1[/math] — ортогональная, [math]R_1[/math] — верхняя треугольная матрицы. Такое разложение называется QR-разложением.
