Учacтник:Malikovmt/Алгоритм Ланцоша для арифметики с плавающей точкой с полной переортогонализацией
Алгоритм Ланцоша с полной переортогонализацией | |
Последовательный алгоритм | |
Последовательная сложность | [math]O(n^2k)[/math] |
Объём входных данных | [math]\frac{n(n + 1)}{2}[/math] |
Объём выходных данных | [math]k(n + 1)[/math] |
Параллельный алгоритм | |
Высота ярусно-параллельной формы | [math]O(k)[/math] |
Ширина ярусно-параллельной формы | [math]O(n^2)[/math] |
Авторы: А.В.Ерошкин (ссылкаКод), М.М.Маликов (ссылка)
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 1.11 Локальность данных и вычислений
- 1.12 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
- 1.13 Масштабируемость алгоритма и его реализации
- 1.14 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
- 1.15 Выводы для классов архитектур
- 1.16 Существующие реализации алгоритма
- 2 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Алгоритм Ланцоша - итерационный метод, используемый для вычисления части собственных значений и соответствующих им собственных векторов матрицы [math]A[/math] размера [math]n*n[/math], изначально разработанный Корнелием Ланцошем. Преимуществами использования метода является относительно небольшое потребление памяти и вычислительных ресурсов, а также наличие параметра [math]k[/math], [math]k \lt \lt n[/math], контролирующего количество итераций. Несмотря на то, что алгоритм является вычислительно эффективным, первоначально сформулированный метод был плохо применим из-за численной неустойчивости - метод хорошо работал на целочисленных значениях, однако в арифметике с плавающей точкой ошибки округления давали большую погрешность. В 1970 году Ojalvo и Newman показали, как сделать метод численно стабильным и применили его для расчета крупных инженерных сооружений, подверженных динамическим нагрузкам. Кроме того, они показали способ выбора начального приближения (с использованием ГПСЧ), а также эмпирический способ для выбора числа [math]k[/math] (примерно в полтора раза больше искомого числа собственных векторов). В данный момент существует две основных модификации метода (с полной и выборочной переортогонализацией), а также большое количество модификаций, использующихся в различных технических областях. Алгоритм используется для больших [math]n[/math].
1.2 Математическое описание алгоритма
Первый этап алгоритма - использование метода Ланцоша для построения крыловского подпространства: [math] K_k(A,x) = span[x_1, Ax_1, A^2x_1, ..., A^{k-1}x_1] [/math]. Входные данные алгоритма: квадратная симметричная матрица [math]A[/math] размерности [math]n*n[/math], вектор начального приближения [math]b[/math], а так же число итераций [math]k[/math]. Метод осуществляет поиск трехдиагональной симметричной матрицы [math]T_k=Q_k^TAQ_k[/math].
[math]T_k=\begin{bmatrix} \alpha_1 & \beta_2 \\ \beta_2 & \alpha_2 & \beta_3 &\\ &. & . & .\\ &&\beta_{k-1} & \alpha_{k-1} & \beta_k\\ &&&\beta_k & \alpha_k \end{bmatrix}[/math]
Следующий шаг алгоритма - процедура Рэлея-Ритца. Она зкалючается в интерпретации собственных значений матрицы [math] T_k=Q_k^TAQ_k[/math]. Ее собственные значения приближают собственные значения исходной матрицы. Пусть Tk=V[math]\Lambda[/math]VT - спектральное разложение матрицы Tk, тогда столбцы матрицы QkV рассматриваются как приближения к соответствующим собственным векторам матрицы A и называются векторами Ритца.
Поиск собственных значений матрицы T намного легче, чем для исходной матрицы, так как предполагается, что [math]k \lt \lt n[/math], и матрица T - трехдиагональная.
Полная переортогонализация необходима для того, чтобы гарантировать, что каждый полученный вектор qj+1 ортогонален уже имеющимся векторам q1..j. Без этого процесса будут накапливаться существенные вычислительный ошибки.
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
1.4 Макроструктура алгоритма
1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
[math] \begin{align} q_1 = & \frac{b}{\|b\|_2},\;\beta_0=0,\;q_0=0\\ for \; & j = 1 \; to \; k \\ & z = Aq_j\\ & \alpha_j = q^T_j z\\ & z=z-\alpha_jq_j-\beta_{j-1}q_{j-1}\\ & z = z - \sum^{j-1}_{i=1}\left(z^Tq_i\right)q_i,\;z = z - \sum^{j-1}_{i=1}\left(z^Tq_i\right)q_i \\ & \beta_j = \|z\|_2\\ & if \; \beta_j =0\; break\\ & q_{j+1} = \frac{z}{\beta_j}\\ end \; & for \end{align} [/math]
1.6 Последовательная сложность алгоритма
1.7 Информационный граф
1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
1.9 Входные и выходные данные алгоритма
1.10 Свойства алгоритма
1.11 Локальность данных и вычислений
1.11.1 Локальность реализации алгоритма
1.11.1.1 Структура обращений в память и качественная оценка локальности
1.11.1.2 Количественная оценка локальности
1.12 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
1.13 Масштабируемость алгоритма и его реализации
1.13.1 Масштабируемость алгоритма
1.13.2 Масштабируемость реализации алгоритма
1.14 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
1.15 Выводы для классов архитектур
1.16 Существующие реализации алгоритма
2 Литература
<references \>