Метод ортогонализации

Ортогонализация Грама-Шмидта — это один из методов, в которых на основе множества линейно независимых векторов ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{N}}$ строится множество ортогональных векторов ${\displaystyle \mathbf {b}_{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N}}$ или ортонормированных векторов ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e}_{N}}$, причём так, что каждый вектор ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$ или ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ может быть выражен линейной комбинацией векторов ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\; \mathbf {a} _{j}}$. Данный процесс может быть использован для получения QR-разложения, в которой систему исходных векторов образуют столбцы исходной матрицы, а столбцы матрицы Q представляют из себя набор полученных при ортогонализации векторов. Таким образом, в отличие от методов Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), основанных на приведении матрицы левыми унитарными/ортогональными преобразованиями к треугольному виду, метод ортогонализации основан на приведении матрицы правыми неортогональными (можно сказать, треугольными) преобразованиями к унитарному/ортогональному виду.