Участник:Роман Землянский/Метод "Разделяй и властвуй"
Авторы статьи: Завольсков Владислав, Землянский Роман, 614 группа
Содержание
- 1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма
- 3 Литература
1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов
1.1 Общее описание алгоритма
Метод разделяй и властвуй вычисления собственных значений и векторов трёхдиагональной матрицы - это наиболее быстрый из существующих методов, если нужны все собственные значения и собственные векторы трехдиагональной матриц, начиная с порядка n, примерно равного 26. (Точное значение этого порогового порядка зависит от компьютера.) Его численно устойчивая реализация весьма не тривиальна. В самом деле, хотя впервые метод был предложен еще в 1981 г., "правильный" способ его реализации был найден лишь в 1992 г. Этот способ воплощен LAPACK-программами ssyevd (для плотных матриц) и sstevd (для трехдиагональных матриц). В них стратегия "разделяй-и-влавствуй" используется для матриц порядка, большего чем 25. Для матриц меньшего порядка (или если нужны только собственные значения) происходит автоматический переход к QR-итерации.
1.2 Математическое описание алгоритма
Пусть
- [math] L = \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1}&&&&& \\ b_{1} & \ddots & \ddots \\ & \ddots & a_{m-1} & b_{m-1} \\ && b_{m-1} & a_{m} & b_{m} \\ &&& b_{m} & a_{m+1} & b_{m+1} \\ &&&& b_{m+1} & \ddots \\ &&&&&& \ddots & b_{n-1} \\ &&&&&& b_{n-1} & a_{n} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} &&&&& \\ b_{1} & \ddots & \ddots \\ & \ddots & a_{m-1} & b_{m-1} \\ && b_{m-1} & a_{m} - b_{m} \\ &&&& a_{m+1} - b_{m} & b_{m+1} \\ &&&& b_{m+1} & \ddots \\ &&&&&& \ddots & b_{n-1} \\ &&&&&& b_{n-1} & a_{n} \\ \end{bmatrix} + [/math]
[math] + \begin{bmatrix} &&&&& \\ &&b_{m} & b_{m} \\ &&b_{m} & b_{m} \\ &&&&& \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m} * \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 , \ldots , 0 , 1 , 1 , 0 \ldots , 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T} [/math]
Предположим, что нам известны спектральные разложения матриц [math]T_{1}[/math] и [math] T_{2} [/math]: [math] T_{i} = Q_{i} \Lambda_{i} Q_{i}^{T} [/math]. В действительности, они будут рекурсивно вычисляться тем же самым алгоритмом. Установим связь между собственными значениями матрицы Т и собственными значениями матриц [math]T_{1}[/math] и [math]T_{2}[/math]. Имеем:
[math]
T = \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T}
= \begin{bmatrix} Q_{1} \Lambda_{1} Q_{1}^{T} & 0 \\ 0 & Q_{2} L_{2} Q_{2}^{T}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T}
= \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix}(\begin{bmatrix} \Lambda_{1} & \\ & \Lambda_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T})\begin{bmatrix} Q_{1}^{T} & 0 \\ 0 & Q_{2}^{T}\end{bmatrix}
[/math],
где
[math]
u = \begin{bmatrix} Q_{1}^{T} & 0 \\ 0 & Q_{2}^{T}\end{bmatrix}v
[/math]
так как [math]v = \begin{bmatrix} 0 , \ldots , 0 , 1 , 1 , 0 \ldots , 0 \end{bmatrix}^T[/math], получим матрицу, состоящую из последнего столбца матрицы [math] Q_{1}^{T}[/math] и первого столбца матрицы [math] Q_{2}^{T}[/math].
Следовательно, [math]T[/math] имеет те же собственные значения, что и пдобная ей матрица [math]D + \rho uu^{T}[/math], где [math]D = \begin{bmatrix} L_{1} & 0 \\ 0 & L_{2}\end{bmatrix}[/math] - диагональная матрица, [math]\rho = b_{m}[/math] - число, а [math]u[/math] - вектор.
Будем предполагать, не ограничивая общности, что диагональные элементы [math]d_{1}, \ldots, d_{n}[/math] матрицы [math]D[/math] упорядочены по убыванию: [math]d_{n} \lt = \ldots \lt =d_{1}[/math].
Чтобы найти собственные значения матрицы [math]D + \rho uu^{T}[/math], вычислим её характеристический многочлен, считая пока матрицу [math]D - \lambda I[/math] невырожденной. Тогда
[math]det(D + \rho uu^{T} - \lambda I) = det((D - \lambda I)(I + \rho (D- \lambda I)^{-1} uu^{T}))[/math].
Поскольку [math]D - \lambda I[/math] невырожденна, [math]det(I + \rho (D - \lambda I)^{-1}uu^{T}) = 0[/math] тогда и только тогда, когда [math]\lambda[/math] - собственное значение. Заметим, что матрица [math]I + \rho (D - \lambda I)^{-1}uu^{T}[/math] получается из единичной добавлением матрицы ранга 1. Определитель такой матрицы легко вычислить.
Лемма 1. Справедливо равенство [math]det(I + xy^{T}) = 1 + y^{T}x[/math], где [math]x[/math] и [math]y[/math] - векторы.
Таким образом,
[math]det(I + \rho (D - \lambda I)^{-1}uu^{T}) = 1 + \rho u^{T}(D - \lambda I)^{-1}u[/math] [math] = 1 + \rho \sum_{i=1, n} \frac{u_{i}^{2}} {d_{i}-\lambda} = f(\lambda)[/math] ,
т.е. собственные значения матрицы [math]T[/math] есть корни так называемого векового уравнения [math]f(\lambda) = 0[/math]. Если все числа [math]d_{i}[/math] различны и все [math]u_{i} \lt \gt 0[/math] (случай общего положения), то [math]f(\lambda)[/math] имеет график типа показанного на рис.1(где [math]n = 4[/math] и [math]\rho \gt 0[/math]).
Можно видеть, что прямая [math]y = 1[/math] является горизонтальной асимптотой для этого графика, а прямые [math]\lambda = d_{i}[/math] есть вертикальные асимптоты. Поскольку [math]f^{'}(\lambda) = \rho \sum_{i=1, n} \frac{u_{i}^{2}} {(d_{i}-\lambda)^{2}}\gt 0 [/math], функция возрастает всюду, кроме точек [math]\lambda = d_{i}[/math]. Поэтому корни функции разделяются числами [math]d_{i}[/math] и ещё один корень находится справа от точки [math]d_{1}[/math] (на рис. 1 [math]d_{1} = 4[/math]). (При [math]\rho\lt 0[/math] функция [math]f(\lambda)[/math] всюду убывает и соответствующий корень находится слева от точки [math]d_{n}[/math]). Для функции [math]f(\lambda)[/math], монотонной и гладкой на каждом из интервалов [math](d_{i+1},d_{i})[/math], можно найти вариант метода Ньютона, который быстро и монотонно сходится к каждому из корней, если начальная точка взята в [math](d_{i+1},d_{i})[/math]. Нам достаточно знать, что на практике метод сходится к каждому собственному значению за ограниченное число шагов. Поскольку вычисление [math]f(\lambda)[/math] и [math]f^{'}(\lambda)[/math] стоит [math]O(n)[/math] флопов, для вычисления одного собственного значения достаточно [math]O(n)[/math], а для вычисления всех [math]n[/math] собственных значений матрицы [math]D + \rho uu^{T}[/math] требуется [math]O(n^{2})[/math] флопов. Для собственных векторов матрицы [math]D + \rho uu^{T}[/math] мы легко можем получить явные выражения.
Лемма 2. Если [math]\alpha[/math] - собственное значение матрицы [math]D + \rho uu^{T}[/math], то соответствующий вектор равен [math](D - \alpha I)^{-1}u[/math]. Поскольку матрица [math]D - \alpha I[/math] диагональная, для вычисления такого вектора достаточно [math]O(n)[/math] флопов.
Доказательство.
[math](D + \rho uu^{T})[(D - \alpha I)^{-1}u] = (D - \alpha I + \alpha I + \rho uu^{T})(D - \alpha I)^{-1}u[/math]
[math]=u + \alpha (D - \alpha I)^{-1}u + u[\rho u^{T}(D - \alpha I)^{-1}u] [/math]
[math]=u + \alpha(D - \alpha I)^{-1}u - u[/math]
поскольку [math] \rho u^{T}(D - \alpha I)^{-1}u + 1 = f(\alpha) = 0 [/math]
[math]=\alpha [(D - \alpha I)^{-1}u][/math], что и требовалось.
Для вычисления по этой простой формуле всех [math]n[/math] собственных векторов требуется [math]O(n^{2})[/math] флопов. К сожалению, формула не обеспечивает численной устойчивости, так как для двух очень близких значений [math]\alpha_{i}[/math] может давать неортогональные приближенные собственные векторы [math]u_{i}[/math]. Потребовалось целое десятилетие для того, чтобы найти устойчивую альтернативу исходному описанию алгоритма. Снова детали будут обсуждаться позднее в данном разделе.
Алгоритм является рекурсивным.
1.2.1 Дефляция
До сих пор полагалось, что все [math]d_{i}[/math] различны и все [math]u_{i}[/math] отличны от нуля. Если это не так, вековое уравнение [math]f(\lambda)=0[/math] имеет [math]k[/math] вертикальных асимптот, где [math]k\lt n[/math], а потому [math]k[/math] корней. Однако оказывается, что остальные [math]n - k[/math] собственных значений могут быть определены без каких-либо усилий: если [math]d_{i}=d_{i+1}[/math] или [math]u_{i}=0[/math], то легко показать, что [math]d_{i}[/math] является собственным значением и для матрицы [math]D + \rho uu^{T}[/math]. В такой ситуации мы говорим о дефляции. На практике выбирается некоторое пороговое значение и дефляция для числа [math]d_{i}[/math] регистрируется, если в смысле этого порога [math]d_{i}[/math] достаточно близко к [math]d_{i+1}[/math] либо [math]u_{i}[/math] достаточно мало.
Основной выигрыш от использования дефляции состоит не в том, что убыстряется решение векового уравнения - этот этап в любом случае стоит лишь [math]O(n^{2})[/math] операций. Выигрыш заключается в ускорении матричного умножения на последнем шаге алгоритма. Действительно, если [math]u_{i}=0[/math], то соответствующий собственный вектор есть i-й столбец [math]e_{i}[/math] единичной матрицы. Это означает, что [math]e_{i}[/math] является i-м столбцом в матрице [math]Q_{'}[/math], поэтому при формировании матрицы [math]Q[/math] посредством левого умножения [math]Q_{1}[/math] на [math]Q_{2}[/math] вычисление i-го столбца не требует никаких затрат. Аналогичное упрощение имеет место в случае [math]d_{i} = d_{i+1}[/math]. При дефляции многих собственных значений устраняется большая часть работы, связанной с матричным умножением.
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
Вычислительным ядром последовательной схемы решения является вычисление матрицы [math]Q[/math] собственных векторов путём умножения матрицы [math]Q = \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix}[/math] на матрицу [math]Q^{'}[/math] Данная операция имеет сложность [math]cn^{3}[/math] о чём и говорится в разделе #Последовательная сложность алгоритма . Ей предшествует вычисление собственных значений и векторов матрицы [math] D + \rho uu^{T}[/math]
1.4 Макроструктура алгоритма
В разделе #Информационный граф описана структура алгоритма, в которой есть блок умножения матриц для вычисления собственных векторов, являющийся вычислительным ядром алгоритма. В соответствующем разделе (#Вычислительное ядро алгоритма) мы упоминали о том, что данному блоку предшествует вычисление собственных значений, которое производится методом Ньютона.
Подробно стоит поговорить о решении векового уравнения, которое является одной из основных частей алгоритма.
Предположим, что некоторое [math]u_{i}[/math], хотя и мало, все же недостаточно мало для того, чтобы была зарегистрирована дефляция. В этом случае применение метода Ньютона к решению векового уравнения встречается с затруднениями. Вспомним, что пересчет приближённого решения [math]u_{j}[/math] уравнения [math]f(\lambda) = 0[/math] в методе Ньютона основан на следующих положениях:
1. Вблизи точки [math]\lambda = \lambda_{j}[/math] функция [math]f(\lambda)[/math] аппроксимируется линейной функцией [math]l(\lambda)[/math]; график есть прямая линия, касающаяся графика функции [math]f(\lambda)[/math] при [math]\lambda = \lambda_{j}[/math].
2. В качестве [math]\lambda_{j+1}[/math] берётся нуль этого линейного приближения, т.е. [math]l(\lambda_{j+1})=0[/math].
Функция, показанная на рис.1, не доставляет видимых трудностей методу Ньютона, поскольку вблизи каждого своего нуля [math]f(\lambda)[/math] достаточно хорошо аппроксимируется линейными функциями. Однако рассмотрим график функции на рис. 2. Она получена из функции на рис. 1 заменой значения .5 для [math]u_{i}^{2}[/math] на .001. Это новое значение недостаточно мало для того, чтобы вызвать дефляцию. График функции в левой части рис.2 визуально не отличим от её вертикальных и горизонтальных асимптот, поэтому в правой части укрупненно воспроизведён фрагмент графика, прилегающий к вертикальной асимптоте [math]\lambda = 2[/math]. Видно, что график слишком быстро "выполняет поворот" и для большей части значений [math]\lambda[/math] почти горизонтален. Поэтому, применяя метод Ньютона почти к любому начальному приближению [math]\lambda_{0}[/math], мы получаем линейное приближение [math]l(\lambda)[/math] с почти горизонтальным графиком и малым положительным угловым коэффициентом. В результате [math]\lambda_{1}[/math] является отрицательным числом, огромным по абсолютной величине, которое совершенно бесполезно в качестве приближения к истинному корню.
Чтобы найти выход из этого положения, можно модифицировать метод Ньютона следующим образом: раз [math]f(\lambda)[/math] нельзя хорошо приблизить линейной функцией [math]l(\lambda)[/math], попробуем взять в качестве приближения какую-нибудь другую простую функцию [math]h(\lambda)[/math]. Нет ничего особого именно в прямых линиях: для метода Ньютона вместо [math]l(\lambda)[/math] можно взять любое приближение [math]h(\lambda)[/math], значения и нули которого легко вычисляются. Функция [math]f(\lambda)[/math] имеет полюсы в точках [math]d_{i}[/math] и [math]d_{i+1}[/math], которые определяют её поведение в соответствующих окрестностях. Поэтому при поиске корня в интервале [math](d_{i+1}, d_{i})[/math] естественно выбрать функцию [math]h(\lambda)[/math], также имеющую эти полюсы, т.е. функцию вида
[math]h(\lambda)= \frac{c_{1}}{d_{i}-\lambda} + \frac{c_{2}}{d_{i+1}-\lambda} + c_{3}[/math]
1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
Вычисление собственных значений и собственных векторов симметричной трехдиагональной матрицы посредством стратегии "разделяй и властвуй":
proc dc_eig[math](T,Q,\Lambda)...[/math] по входной матрице [math]T[/math] вычисляются выходные матрицы [math]Q[/math] и [math]\Lambda[/math], такие, что [math]T = Q\Lambda Q^{T}[/math]
Если [math]T[/math] - матрица размера [math]1[/math] x [math]1[/math]
1. Присвоить выходным параметрам значения [math] Q = 1, \Lambda = T[/math]
Иначе
1. Представить [math]T[/math] в виде [math] T = \begin{bmatrix} T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}\end{bmatrix} + b_{m}vv^{T} [/math]
2. call dc_eig[math](T_{1},Q_{1},\Lambda_{1})[/math]
3. call dc_eig[math](T_{2},Q_{2},\Lambda_{2})[/math]
4. Построить [math]D+\rho uu^{T}[/math] по [math] \Lambda_{1},\Lambda_{2}, Q_{1}, Q_{2}[/math]
5. Найти матрицу собственных значений [math]\Lambda[/math]
6. Найти матрицу собственных векторов [math]Q^{'}[/math] для матрицы [math]D+\rho uu^{T}[/math]
7. Построить матрицу собственных векторов [math]Q[/math] для матрицы [math]T[/math] : [math] Q = \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix}* Q^{'} [/math]
8. Присвоить выходным параметрам значения [math]Q[/math] и [math]\Lambda[/math]
endif
1.6 Последовательная сложность алгоритма
Проанализируем сложность алгоритма. Пусть [math]t(n)[/math] - число флопов при обработке матрицы размера [math] n x n[/math] процедурой dc_eig. Тогда
[math] t(n) = 2t(n/2) [/math] два рекурсивных обращения к dc_eig[math](T_{i},Q_{i},\Lambda_{i})[/math]
[math] +O(n^{2})[/math] вычисление собственных значений матрицы [math]D+\rho uu^{T}[/math]
[math] +O(n^{2})[/math] вычисление собственных векторов матрицы [math]D+\rho uu^{T}[/math]
[math] +c*n^{3}[/math] вычисление матрицы [math]Q = \begin{bmatrix} Q_{1} & 0 \\ 0 & Q_{2}\end{bmatrix}*Q^{'}[/math]
Если [math] Q_{1}, Q_{2}[/math] и [math]Q^{'}[/math] рассматриваются как плотные матрицы и используется стандартный алгоритм матричного умножения, то константа [math] c [/math] в последней строке равна 1. Таким образом, именно это умножение составляет наиболее трудоёмкую часть алгоритма в целом. Игнорируя члены порядка [math]n^{2}[/math], получаем [math]t(n) = 2t(n/2) + cn^{3}[/math]. Решая это разностное уравнение, находим [math] t = c\frac{4}{3}n^{3} [/math]
На практике константа [math]c[/math] обычно гораздо меньше 1, потому что матрица [math]Q^{'}[/math] весьма разрежена вследствие явления, называемого дефляцией.
1.7 Информационный граф
В данном разделе представлен информационный граф алгоритма: на рисунке 2 изображена структура всего алгоритма в целом, в то время как на рисунке 3 детально описана одна из ячеек структуры.
1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
Рассмотрев информационный граф алгоритма, можно заметить, что в структуре имеется два параллельных блока - вызов рекурсивных функций dc_eig для вычисления собственных значений и векторов матриц [math]T_{1}[/math] и [math]T_{2}[/math] - это единственная часть алгоритма, в которой мы прибегаем к параллелизму. В случае реализации без параллелизма, функции dc_eig отрабатывают последовательно - сначала со входными параметрами [math]T_{1}, Q_{1}, \Lambda_{1}[/math], затем - [math]T_{2}, Q_{2}, \Lambda_{2}[/math].
1.9 Входные и выходные данные алгоритма
На вход алгоритму подаётся трёхдиагональная матрица, описанная в разделе #Математическое описание алгоритма
На выходе мы получаем собственные значения и собственные вектора исходной матрицы
1.10 Свойства алгоритма
Описанный в данной статье алгоритм является самым быстрым алгоритмом, среди существующих: QR / Бисекция и обратная итерация / Разделяй и властвуй.
Последовательная сложность алгоритма: [math] t = c\frac{4}{3}n^{3} [/math]
Параллельная сложность алгоритма (в силу использования дефляции): [math] O(n^{2.3)}[/math] или в самых редких случаях [math] O(n^{2}) [/math] (см. [3] стр. 8).
Особенности алгоритма:
1. Использование дефляции (#Дефляция)
2. Использование адаптированного метода Ньютона (#Макроструктура алгоритма)
2 ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма
Вторая часть описания алгоритмов в рамках AlgoWiki рассматривает все составные части процесса их реализации. Рассматривается как последовательная реализация алгоритма, так и параллельная. Описывается взаимосвязь свойств программ, реализующих алгоритм, и особенностей архитектуры компьютера, на которой они выполняются. Исследуется работа с памятью, локальность данных и вычислений, описывается масштабируемость и эффективность параллельных программ, производительность компьютеров, достигаемая на данной программе. Обсуждаются особенности реализации для разных классов архитектур компьютеров, приводятся ссылки на реализации в существующих библиотеках.
2.1 Масштабируемость алгоритма и его реализации
TBD
2.2 Существующие реализации алгоритма
Большого количества реализаций данного алгоритма найдено не было: единственный пример описан на страницах 7, 19 и 20 в этой статье, которая указана в списке литературы.
3 Литература
[1] Дж. Деммель, «Вычислительная линейная алгебра» //С. 230-235
