Авторы описания: Готман М.Л., Лукашкина Ю.Н.

Содержание

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов
2 ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма
3 Литература

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Задача кластеризации — это задача разбиения заданной входной выборки объектов на непересекающиеся подмножества, называемые кластерами, так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных кластеров существенно отличались.

Для решения этой задачи можно использовать, например, метод максимизации ожидания, также известный как EM-алгоритм (англ. expectation-maximization) ^[1]. В таком случае делается предположение, что входные данные — смесь многомерных нормальных распределений, соотвественно отдельный кластер — это одна компонента смеси. Предполагается, что количество кластеров является входным параметром алгоритма (существуют модификации EM-алгоритма, которые автоматически находят число кластеров, но они не рассматриваются в данной статье). Результат работы EM-алгоритма — веса кластеров и найденные параметры нормальных распределений для каждого кластера: вектора математических ожиданий и матрицы ковариации.

Алгоритм EM кластеризации основан на итеративном выполнении двух последовательных шагов: E-шага и M-шага. На E-шаге вычисляются вспомогательные (скрытые) переменные, которые характеризуют апостериорную вероятность того, что определенный обучающий объект получен из фиксированной компоненты смеси. На M-шаге с помощью вычисленных скрытых переменных производится обновление параметров смеси: по определённым формулам пересчитываются веса кластеров, их математические ожидания и матрицы ковариаций.

Стоит отметить, что на работу EM-алгоритма значительно влияет начальное приближение его параметров. При неудачной инициализации алгоритм может не сойтись или сойтись в локальный экстремум.

В данной статье рассматривается частный случай EM-алгоритма, который работает с двумерными входными данными.

Пример работы EM-алгоритма для 5ти кластеров.

1.2 Математическое описание алгоритма

Рассматривается смесь многомерных нормальных распределений [math]p_j(x) = N(x;\mu_j, \Sigma_j) = \frac1{(2\pi)^{d/2}\sqrt{|\Sigma_j|}} \exp \biggl(-\frac{1}{2}(x - \mu_j) \Sigma_j^{-1} (x - \mu_j)^T\biggr) [/math] с весами [math]w_j[/math]: [math]p(x)=\sum_{j=1}^kw_jp_j(x), \sum_{j=1}^kw_j =1, w_j \ge 0[/math].

На вход алгоритму подаются [math]m [/math] объектов, каждый из которых имеет [math]d[/math] признаков, в виде матрицы объектов-признаков [math]X \in \R^{m \times d}[/math] и [math]k[/math] — количество кластеров.

Алгоритм кластеризации, основанный на максимизации правдоподобия, итеративно выполняет два шага: E-шаг и M-шаг. Идея алгоритма заключается в введении матрицы скрытых переменных [math]G[/math], где [math]g_{ij} \equiv P(\theta_j |x_i)[/math] обозначает вероятность принадлежности [math]i[/math]-го объекта [math]j[/math]-му кластеру.

На Е-шаге вычисляется ожидаемое значение скрытых переменных, на М-шаге выполняется максимизация логарифма полного правдоподобия, результатом которой являются новые значения параметров модели.

На выходе получаем набор параметров модели для каждого кластера [math]\Theta = (w_1,...,w_k;\;\mu_1,...,\mu_k;\;\Sigma_1,...,\Sigma_k)[/math], где [math]w_j[/math] — вес [math]j[/math]-го кластера в смеси нормальных распределений, [math]\mu_j[/math] — математическое ожидание [math]j[/math]-ой компоненты смеси, [math]\Sigma_j[/math] — матрица ковариации [math]j[/math]-ой компоненты смеси.

E-шаг:

На E-шаге вычисляется значение скрытых переменных [math]g_{ij}[/math] по текущему приближению параметров [math]\Theta[/math].

[math]g_{ij} = \frac{w_jp_j(x_i)}{\sum_{s=1}^k w_sp_s(x_i)}[/math], что интерпретируется как вероятность принадлежности объекту [math]x_i[/math] к [math]j[/math]-ому кластеру.

M-шаг:

Будем максимизировать логарифм полного правдоподобия:

[math]Q(\Theta) = \ln\prod_{i=1}^mp(x_i) = \sum_{i=1}^m\ln\sum_{j=1}^kw_jp_j(x_i) \rightarrow \max_{\Theta}[/math], при условии [math]\sum_{j=1}^kw_j=1[/math]

Решением оптимизационной задачи являются формулы для пересчета параметров:

[math]w_j = \frac1m\sum_{i=1}^m g_{ij}[/math],

[math]\mu_j = \frac1{mw_j}\sum_{i=1}^m g_{ij}x_i[/math],

[math]\Sigma_j = \frac1{mw_j}\sum_{i=1}^m g_{ij}(x_i - \mu_j)(x_i - \mu_j)^T,\; j = 1, \dots, k[/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро алгоритма представляет собой итерационное вычисление всех параметров модели, независимое по [math]m[/math] объектам выборки [math]X[/math]. На каждой итерации алгоритма на Е-шаге пересчитывается значение скрытых переменных, на M-шаге пересчет параметров модели с учетом скрытых переменных.

1.4 Макроструктура алгоритма

Как записано в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют вычисления элементов матрицы G на E шаге, и пересчет параметров [math]\Theta[/math] на M-шаге.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Инициализация параметров
for iter = 1 : max_iterations
[E-шаг]
1. вычисление [math]\Sigma_j^{-1}[/math] и [math]\frac1{(2\pi)^{d/2}\sqrt{|\Sigma_j|}}, j = 1 : k[/math]
2. вычисление [math]g_{ij},\;i = 1 : m, \; j = 1 : k[/math]
3. вычисление [math]LL_i[/math] (логарифм правдоподобия), [math]\;i = 1 : m[/math]
[M-шаг]
1. вычисление [math]\tilde w_j = \sum_{i=1}^m g_{ij}, \; j = 1 : m[/math]
2. вычисление [math]\tilde \mu_j = \sum_{i=1}^m g_{ij}x_i,\; j = 1 : k[/math]
3. вычисление [math]\tilde \Sigma_j = \sum_{i=1}^m g_{ij}(x_i - \mu_j)^T(x_i - \mu_j),\; j = 1 : k[/math]
4. нормировка [math]w_j = \frac{\tilde w_j}{m}[/math], [math]\mu_j = \frac{\tilde \mu_j}{w_j}, \tilde \Sigma_j = \frac{\tilde \Sigma_j}{w_j}, \;j = 1 : k[/math]
вычисление изменения логарифма правдоподобия[math]\Delta LL = fabs(\sum_{i=1}^m LL^{iter}_i - \sum_{i=1}^m LL^{iter - 1}_i)[/math]
if ([math]\Delta LL \lt \varepsilon[/math]) then break;
end for

1.6 Последовательная сложность алгоритма

E-шаг:

вычисление обратной матрицы [math]\Sigma_j^{-1}, j = 1 : k[/math] при фиксированном [math]j[/math] для двумерного случая по явным формулам имеет сложность [math]O(d^2)[/math], для всех кластеров — [math]O(d^2k)[/math]
вычисление [math]g_{ij}, i = 1 : m, j = 1 : k[/math] при фиксированных [math]i, j[/math] имеет сложность [math]O(d)[/math], сложность вычисления матрицы G — [math]O(dmk)[/math]
вычисление [math]LL_i, i = 1 : m[/math] при фиксированном [math]i[/math] имеет сложность [math]O(k)[/math], для всех объектов имеет сложность [math]O(mk)[/math],

M-шаг:

вычисление [math]w_j, j = 1 : k[/math] при фиксированном [math]j[/math] имеет сложность [math]O(m)[/math], для весов всех кластеров — [math]O(mk)[/math]
вычисление [math]\mu_j, j = 1 : k[/math] при фиксированном [math]j[/math] имеет сложность [math]O(dm)[/math], для всех кластеров — [math]O(dmk)[/math]
вычисление [math]\Sigma_j, j = 1 : k[/math] при фиксированном [math]j[/math] имеет сложность [math]O(d^2m)[/math], для всех кластеров — [math]O(d^2mk)[/math]
нормировка [math]w[/math], [math]\mu_j = \frac{\mu_j}{w_j}, \Sigma_j = \frac{\Sigma_j}{w_j}, j = 1 : k[/math] имеет сложность [math]O(k)[/math], [math]O(dk)[/math], [math]O(d^2k)[/math]
вычисление изменения логарифма правдоподобия[math]\Delta LL[/math] имеет сложность [math]O(1)[/math]

Сложность алгоритма на одной итерации:

[math]O(k(d^2+dm+m+m+dm+d^2m+1+d+d^2)) = O(d^2mk)[/math], так как мы рассматриваем задачу для двумерного случая, то есть [math]d=2[/math], множитель [math]d^2[/math] можно отнести в константу, итоговая сложность вычисления на одной итерации [math]O(mk)[/math].

Для [math]n[/math] итераций итоговая сложность алгоритма будет равна:

[math]O(mkn)[/math], где [math]m[/math] — число объектов, [math]k[/math] — число кластеров, [math]n[/math] — число итераций.

1.7 Информационный граф

Опишем граф алгоритма для следующих входных данных: [math]m = 3,\; k = 2,\; d = 2[/math], то есть 3 входных объекта и 2 кластера.

На рис.1 показана макроструктура EM-алгоритма. Входными данными в таком случае являются матрица [math]X \in \R^{3 \times 2}[/math] и число кластеров [math]k = 2[/math]. На шаге [math]\mathbf{init}[/math] происходит инициализация начальных приближений параметров модели и затем итеративное повторение [math]\mathbf{E}[/math] и [math]\mathbf{M}[/math] шагов алгоритма.

Рис.1. Граф EM-алгоритма с отображением входных и выходных данных

E-шаг. На рис.2 детально изображена схема E-шага. Входные параметры [math]x_1,\; x_2,\; x_3 \in \R^{1 \times 2}[/math] являются строчками входной матрицы [math]X[/math], также на вход подаются текущие приближения векторов средних значений ([math]\mu_1, \;\mu_2[/math]), матриц ковариаций ([math]\Sigma_1, \Sigma_2[/math]) и весов [math]w[/math].

Вершинами [math]\mathbf{eI}[/math] обозначена операция нахождения обратной матрицы [math]\Sigma_j^{-1},\; j = 1,2[/math]. Вершины группы [math]\mathbf{eS}[/math] обозначают вычитание векторов [math]x_i - \mu_j,\; i = 1,2,3; \; j = 1, 2[/math]. Салатовые узлы графа [math]\mathbf{eE}[/math] обозначают вычисление ненормированного значения [math]g_{ij}, \;i = 1,2,3;\;j=1,2[/math] по формулам из раздела описания алгоритма. Далее выход вершин этой группы подаётся на вход вершинам [math]\mathbf{eN}[/math], которые обозначают нормировку, затем в [math]\mathbf{eL}[/math] происходит подсчет логарифма правдоподобия. На выходе этого графа получаются скрытые переменные [math]g_{ij}[/math] и логарифм правдоподобия LL.

Рис.2. Граф E-шага с отображением входных и выходных данных

M-шаг. На рисунке 3 изображена схема M-шага. Входными параметрами являются: исходные объекты [math]x_1,\; x_2,\; x_3 \in \R^{1 \times 2}[/math], скрытые переменные [math]g_{11},\;g_{21},\;g_{31},\;\mu_1[/math] для пересчета параметров первого кластера и [math]g_{12},\;g_{22},\;g_{32},\;\mu_2[/math] — для второго.

Вершина [math]\mathbf{m}\boldsymbol{\mu}[/math] обозначает подсчет слагаемого математического ожидания для одного объекта, затем на шаге [math]\mathbf{mS_1}[/math] происходит суммирование слагаемых, и, наконец, на шаге [math]\mathbf{mN_1}[/math] нормировка математического ожидания, выходом являются [math]\mu_1,\;\mu_2[/math]. Вершина [math]\mathbf{m}\boldsymbol{\Sigma}[/math] обозначает подсчет слагаемого матрицы ковариации для одного объекта, затем на шаге [math]\mathbf{mS_2}[/math] происходит суммирование слагаемых, и, наконец, на шаге [math]\mathbf{mN_2}[/math] нормировка матрицы ковариации, выходом являются [math]\Sigma_1,\;\Sigma_2[/math]. Операция [math]\mathbf{mS_3}[/math] обозначает вычисление ненормированного веса для одного шага, затем при выполнении [math]\mathbf{mN_3}[/math] происходит нормировка весов, выходом являются [math]w_1,\;w_2[/math].

Рис.3. Граф M-шага с отображением входных и выходных данных

На рис.1 показана структура ЕM-алгоритма для кластеризации, на рис.2 — структура E-шага и на рис.3 — структура M-шага.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Как видно из информационного графа, возможно распараллеливание как по кластерам, так и по объектам. Однако, в реальных задачах число кластеров много меньше числа объектов, поэтому распараллеливание по кластерам нецелесообразно.

В данной статье рассматривается вариант распараллеливания по объектам. Стоит отметить, что важно корректно организовать работу с параметрами модели (матрицами ковариаций, средними значениями и весами), чтобы не произошло ситуации гонки за ресурсами ^[2].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: плотная вещественная матрица объектов-признаков [math]X \in \R^{m \times d}[/math] и количество кластеров [math]k[/math], где [math]m[/math] — количество объектов, [math]d[/math] — количество кластеров.

Объём входных данных: [math]m \times d + 1[/math].

Выходные данные: вектор весов [math]w \in \R^{k \times 1}[/math], [math]\;\;k[/math] векторов математических ожиданий [math]\mu_j \in \R^{d \times 1}[/math], [math]\;\;k[/math] матриц ковариации [math]\Sigma \in \R^{d \times d}[/math]

Объём выходных данных: [math]k \times (d \times d + d + 1)[/math]

1.10 Свойства алгоритма

EM-алгоритм не является устойчивым, результат его работы сильно зависит от начальных приближений параметров. При неудачном выборе начальных приближений алгоритм может не сойтись или сойтись в локальный экстремум.

Также, алгоритм не является детерминированным. Так как в начале работы алгоритма происходит инициализация начальных параметров случайным образом (с учетом положительной определенности и симметричности матрицы ковариации), он не может быть детерминирован.

Алгоритм сбалансирован по E и M шагам, затраты на выполнение этих этапов примерно одинаковы.

2 ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

В данном разделе приведем код реализации последовательного алгоритма.

double_vector em_algo::expectation_step(double_matrix& features)
{
    long n_objects = features.size1();
    int n_clusters = parameters.sigmas.size();
    double pi = boost::math::constants::pi<double>();

    // precalculate inverse matrices and dets
    std::vector<double_matrix> sigmas_inverted(n_clusters);
    std::vector<double> norm_distribution_denominator(n_clusters);
    for (int i = 0; i < n_clusters; ++i)
    {        
        double_matrix sigma_inverted(parameters.sigmas[i].size1(), parameters.sigmas[i].size2());
        double det = InvertMatrix(parameters.sigmas[i], sigma_inverted);
        if (det == 0)
        {
            std::cerr << "Matrix can not be inverted\n";
            exit(1);
        }
        norm_distribution_denominator[i] = sqrt(pow(2 * pi, parameters.n_features) * det);
        sigmas_inverted[i] = sigma_inverted;
    }

    hidden_vars = double_matrix(n_objects, n_clusters);
    double_vector log_likelihood(n_objects, 0);

    for (auto i = 0; i < n_objects; ++i)
    {
        double_matrix_row x(features, i);
        double norm_value = 0;
        for (auto j = 0; j < n_clusters; ++j)
        {
            double_matrix_column current_means(parameters.means, j);
            double_vector x_centered = x - current_means;

            double exp_power = -0.5 * inner_prod(prod(x_centered, sigmas_inverted[j]), x_centered);
            hidden_vars(i, j) = parameters.weights(j) * exp(exp_power) / norm_distribution_denominator[j];

            norm_value += hidden_vars(i, j);
        }
        double_matrix_row hidden_vars_row(hidden_vars, i);
        if (norm_value != 0)
        {
            hidden_vars_row = hidden_vars_row / norm_value;
            log_likelihood(i) = log(inner_prod(hidden_vars_row, parameters.weights));
        }

    }
    return log_likelihood;
}

void em_algo::maximization_step(double_matrix& features)
{
    int n_objects = features.size1();

    double_vector w = double_vector(n_clusters, 0.0);
    double_matrix means = double_matrix(parameters.n_features, n_clusters, 0.0);
    std::vector<double_matrix> sigmas;
    for (int j = 0; j < n_clusters; ++j)
        sigmas.push_back(double_matrix(parameters.n_features, parameters.n_features, 0.0));

    for (int i = 0; i < n_objects; ++i)
    {
        double_matrix_row x_i = row(features, i);

        for (int j = 0; j < n_clusters; ++j)
        {
            double g = hidden_vars(i, j);
            w(j) += g;

            double_matrix_column single_mean = column(means, j);

            single_mean += g * x_i;

            double_vector x_centered = x_i - column(parameters.means, j);
            for (int k = 0; k < parameters.n_features; ++k)
                for (int l = 0; l < parameters.n_features; ++l)
                    sigmas[j](k, l) = sigmas[j](k, l) + g * x_centered(k) * x_centered(l);
        }
    }
    // update weights
    parameters.weights = w / n_objects;

    for (int j = 0; j < n_clusters; ++j) {
        double weight = w(j);
        // update means
        double_matrix_column means_old = column(parameters.means, j);
        double_matrix_column means_new = column(means, j);
        means_old = means_new / weight;

        // update sigmas
        parameters.sigmas[j] = sigmas[j] / weight;
        for (int k = 0; k < parameters.n_features; ++k)
            parameters.sigmas[j](k, k) = parameters.sigmas[j](k, k) + tol;
    }
}

bool em_algo::is_likelihood_stabilized(double_vector likelihood, double_vector previous_likelihood)
{
    double likelihood_diff = sum(likelihood) - sum(previous_likelihood);
    return fabs(likelihood_diff) < tol;
}

model em_algo::process(double_matrix& features, int max_iterations)
{
    int iteration = 0;
    double_vector likelihood, previous_likelihood;
    while (iteration++ < max_iterations && (iteration <= 2 || !is_likelihood_stabilized(likelihood, previous_likelihood)))
    {
        previous_likelihood = likelihood;
        likelihood = expectation_step(features);
        maximization_step(features);
    }
    return parameters;
}

Возможной реализацией является перестановка местами циклов по объектам и по кластерам на E и М шаге. В данном случае внешний цикл проходит по объектам, так как подразумевается дальнейшая реализации распараллеливания по объектам. При реализации только последовательного алгоритма более понятной версией будет реализация внешнего цикла по кластерам, и внутреннего по объектам, но такая реализация увеличит число обращений в память и общее время работы алгоритма.

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.4.1 Масштабируемость реализации алгоритма

Для проведения экспериментов по масштабируемости были выбраны следующие параметры алгоритма: были зафиксированы число кластеров [math]k = 4 [/math], и, также, было зафиксировано ядро рандомизации, чтобы избавиться от случайности различного выбора начального приближения параметров. Для показательности результатов условие досрочного завершения работы алгоритма в случае стабилизации логарифма правдоподобия игнорировалось, и для каждого запуска проводилось 50 итераций EM-алгоритма.

Для экспериментов было сгенерировано 20 выборок разного размера: от 40000 объектов до 200000 с шагом в 10000. Для каждой выборки время работы алгоритма усреднялось по нескольким запускам, чтобы избежать выбросов.

Для работы с многопоточностью использовалась библиотека OpenMP. С помощью нее были распараллелены основные циклы по объектам на E и M шаге.

Эксперименты проводились на компьютере с процессором Intel(R) Core(TM) i7-5820K @ 3.30GHz, который поддерживает до 12ти потоков.

Как видно на рис. 4, производительность растет до 12 процессов, после чего время работы алгоритма снова начинает увеличиваться, то есть использование более 12 процессов при рассматриваемой конфигурации процессора не имеет смысла. Заметим также, что в увеличением числа точек, скорость работы программы линейно увеличивается.

Рис. 4 Время работы EM алгоритма в зависимости от числа процессов и размера задачи

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности реализации алгоритма:

минимальная эффективность реализации 0,00072%;
максимальная эффективность реализации 25.5037%.

Рис. 4 Эффективность EM алгоритма в зависимости от числа процессов и размера задачи

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

Существуют следующие последовательные реализации EM-алгоритма для кластеризации: opencv, scikit-learn.

Также существует несколько параллельных реализаций, описанных в следующих статьях:

В статье ^[3] авторы предлагают распределить вычисление скрытых переменных для каждого объекта между процессорами и на каждой итерации производить нормализацию. M-шаг предлагается параллелить по компонентам, что требует реализации корректного взаимодействия между процессорами. Предложенный вариант распараллеливания был реализован и протестирован авторами статьи с помощью MPI библиотеки MPICH.

Авторы статьи ^[4] используют MapReduce для распараллеливания EM-алгоритма для PLSI моделей.

3 Литература

↑ Воронцов К.В.; Математические методы обучения по прецедентам (теория обучения машин)
↑ Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. - СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.
↑ López-de-Teruel P. E., García J. M., Acacio; The Parallel EM Algorithm and its Applications in Computer Vision
↑ Abhinandan Das, Mayur Datar, Ashutosh Garg; Google News Personalization: Scalable Online Collaborative Filtering

[1] Воронцов К.В.; Математические методы обучения по прецедентам (теория обучения машин)

[2] Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. - СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

[3] López-de-Teruel P. E., García J. M., Acacio; The Parallel EM Algorithm and its Applications in Computer Vision

[4] Abhinandan Das, Mayur Datar, Ashutosh Garg; Google News Personalization: Scalable Online Collaborative Filtering

[1]

[2]

[3]

[4]

Участник:Мария Готман/Алгоритм кластеризации, основанный на максимизации ожидания