Поиск максимального потока в транспортной сети
Содержание
1 Постановка задачи
Транспортной сетью называется ориентированный граф [math]G = (V, E)[/math], каждому ребру [math]e \in E[/math] которого приписана положительная пропускная способность [math]c(e)[/math].
Пусть в графе [math]G[/math] выделены две вершины: источник [math]s[/math] и сток [math]t[/math]. Без ограничения общности можно считать, что все остальные вершины лежат на каком-либо пути из [math]s[/math] в [math]t[/math]. Потоком называется функция [math]E \to \mathbb{R}[/math], удовлетворяющая следующим требованиям:
- ограничение по пропускной способности: [math]f(e) \le c(e)[/math];
- закон сохранения потока:
- [math] \forall v \ne s, t: \quad \sum_{e = (w, v)} f(e) = \sum_{e = (v, w)} f(e). [/math]
Величиной потока называется суммарный поток из источника:
- [math] \lvert f \rvert = \sum_{e = (s, v)} f(e). [/math]
Задача о максимальном потоке в транспортной сети. Требуется найти поток максимальной величины:
- [math]\lvert f \rvert \to \max.[/math]
2 Свойства задачи
Суммарный поток из источника равен суммарному потоку в сток:
- [math] \forall v \ne s, t: \quad \sum_{e = (s, v)} f(e) = \sum_{e = (v, t)} f(e). [/math]
(Для доказательства достаточно просуммировать закон сохранения потока для всех вершин, кроме источника и стока.)
3 Варианты задачи
В зависимости от ограничений на значения пропускной способности:
- произвольная положительная пропускная способность;
- целая пропускная способность;
- единичная пропускная способность (в этом случае максимальный поток равен рёберной связности графа).
4 Алгоритмы решения задачи
- Алгоритм Форда-Фалкерсона[1] и его варианты[2][3] со сложностью [math]O(n^2m)[/math] (для алгоритма Диница). В случае целых пропускных способностей, не превосходящих [math]K[/math], сложность [math]O(Km)[/math].
- Алгоритм проталкивания предпотока[4] со сложностью [math]O(mn \ln n)[/math] (при использовании динамических деревьев Тарьяна-Слитора[5][6]).
Обозначения: [math]m[/math] – число рёбер, [math]n[/math] – число вершин.
5 Ссылки
- ↑ Ford, L R, Jr., and D R Fulkerson. “Maximal Flow Through a Network.” Canadian Journal of Mathematics 8 (1956): 399–404. doi:10.4153/CJM-1956-045-5.
- ↑ Edmonds, Jack, and Richard M Karp. “Theoretical Improvements in Algorithmic Efficiency for Network Flow Problems.” Journal of the ACM 19, no. 2 (April 1972): 248–64. doi:10.1145/321694.321699.
- ↑ Диниц, Е. А. “Алгоритм решения задачи о максимальном потоке в сети со степенной оценкой.” Доклады АН СССР 194, no. 4 (1970): 754–57.
- ↑ Goldberg, Andrew V, and Robert Endre Tarjan. “A New Approach to the Maximum-Flow Problem.” Journal of the ACM 35, no. 4 (October 1988): 921–40. doi:10.1145/48014.61051.
- ↑ Sleator, Daniel D, and Robert Endre Tarjan. “A Data Structure for Dynamic Trees,” STOC'81, 114–22, New York, USA: ACM Press, 1981. doi:10.1145/800076.802464.
- ↑ Sleator, Daniel Dominic, and Robert Endre Tarjan. “Self-Adjusting Binary Search Trees.” Journal of the ACM 32, no. 3 (July 1985): 652–86. doi:10.1145/3828.3835.
