QR-разложения плотных неособенных матриц
Нахождение разложения матриц в виде [math]A = QR[/math], где [math]Q[/math] - унитарная, [math]R[/math] — правая треугольная матрица[1]., является важным этапом при решении некоторых более сложных задач. Существование такого разложения, в котором правая треугольная матрица ещё и не содержит нулей на диагонали, доказано[2] для невырожденных матриц. Однако в ряде случаев [math]QR[/math]-разложение (возможно, с нулями на диагонали [math]R[/math]) нужно и в задачах без гарантии невырожденности. Поэтому для нахождения такого разложения разработано несколько классических методов, являющихся конструктивным доказательством существования разложения в общем случае, а также их варианты.
Содержание
1 Методы нахождения QR-разложения плотных неособенных матриц
Классические методы QR-разложения можно разделить на две группы: приведения матрицы унитарными преобразованиями к треугольному виду и приведения матрицы неунитарными преобразованиями к унитарному виду. К первой группе относятся методы Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), ко второй — метод ортогонализации. Строго говоря, доказательство теоремы[2] о существовании даёт ещё один способ разложения — через разложение Холецкого матрицы [math]A^*A[/math] с последующей обратной подстановкой, но для вырожденных матриц он не работает, поэтому обычно не применяется.
1.1 Метод Гивенса
Классический метод Гивенса (вращений) основан на преобразованиях вращения (умножения на матрицы Гивенса) слева для приведения матрицы к правому треугольному виду [math]R[/math].
1.2 Метод Хаусхолдера
Классический метод Хаусхолдера (отражений) основан на преобразованиях отражения (Хаусхолдера) слева для приведения матрицы к правому треугольному виду [math]R[/math].
1.3 Метод ортогонализации
Метод ортогонализации основан на процессе ортогонализации столбцов матрицы. Таким образом, правыми треугольными преобразованиями матрица приводится к унитарному виду [math]Q[/math].
