Участник:Pyatakovns/Ро-алгоритм Полларда

Автор: Пятаков Н.С. 419 группа

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Ро-алгоритм Полларда предназначен для решения задачи факторизации целых чисел. Этот метод был разработан Джоном Поллардом в 1975 г. Данный алгоритм основывается на следствиях из парадокса дней рождения и алгоритме Флойда поиска длины цикла в последовательности. Алгоритм наиболее эффективен при факторизации составных чисел с достаточно малыми множителями в разложении. Сложность алгоритма оценивается как [math]O(N^{1/4})[/math].

Ро-алгоритм Полларда строит числовую последовательность, элементы которой образуют цикл, начиная с некоторого номера n, что может быть проиллюстрировано, расположением чисел в виде греческой буквы [math]ρ[/math], что послужило названием семейству алгоритмов.

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть n – число, которое следует разложить. ρ-метод Полларда работает следующим образом:

1. Выбираем произвольное небольшое число [math]x_0[/math] и строим последовательность чисел [math]{x_n}, n = 0, 1, 2, ...,[/math] определяя каждое следующее [math]x_{n+1}[/math] по формуле [math]x_{n+1} =(x_{n}^2 −1)(modn)[/math].

2. Одновременно на каждом шаге [math]i[/math] вычисляем [math]Н.О.Д.[/math] [math]d[/math] числа [math]n[/math] и всевозможных разностей [math]|x_i − x_j|[/math], где [math]j \lt i[/math].

3. Когда будет найден [math]d[/math] [math]=[/math] [math]Н.О.Д.(n, |x_i−x_j|)[/math], отличный от [math]1[/math], вычисление заканчивается. Найденное [math]d[/math] является делителем [math]n[/math]. Если [math]n/d[/math] не является простым числом, то процедуру можно продолжить, взяв вместо [math]n[/math] число [math]n/d[/math].

Вместо функции [math]F (x) = (x^2 − 1) (mod n)[/math] в вычислении [math]x_n+1[/math] можно взять другой многочлен, например, [math]x^2 + 1[/math] или произвольный многочлен степени большей или равной двум.

Недостатком данного варианта метода является необходимость хранить большое число предыдущих значений [math]x_j[/math] . Если [math](x_j −x_i)≡0(modp)[/math], то[math](f(x_j)−f(x_i))≡0(modp)[/math], поэтому, если пара [math](x_i, x_j)[/math] дает нам решение, то решение даст любая пара [math](x_{i+k}, x_{j+k})[/math].

Поэтому, нет необходимости проверять все пары [math](x_i, x_j)[/math], а можно ограничиться парами виды [math](x_i, x_j)[/math], где [math]j = 2k[/math] , и [math]k[/math] пробегает набор последовательных значений [math]1, 2, 3,...,[/math] а [math]i[/math] принимает значения из интервала [math][2^k + 1; 2^{k+1}][/math].