Квадратурные (кубатурные) методы численного интегрирования по отрезку (многомерному кубу)

1 Описание свойств и структуры алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Численное интегрирование — приближенное вычисление значения определенного интеграла. Допустим, нам дана функция [math]f(x)[/math], определенная на отрезке или многомерном кубе, и возможность получать ее численное значение в любой из точек области определения за фиксированное время. Задача — вычислить определенный интеграл данной функции по заданной области и дать оценку погрешности вычисления.

Исторически численное интегрирование также называлось численной квадратурой, а многомерное — кубатурой. Большая советская энциклопедия определяет слово «квадратура» следующим способом: (лат. quadratura — придание квадратной формы), 1) число квадратных единиц в площади данной фигуры. 2) Построение квадрата, равновеликого данной фигуре. 3) Вычисление площади или интеграла.

В данной статье рассматривается семейство методов численного интегрирования, объединенные общим принципом: область интегрирования разбивается по каждой из осей на равное количество частей. В каждой из полученных маленьких областей интеграл приближается простой функцией (например, линейной), значение которой вычисляется явно (путем вычисления подынтегрального выражения в одной или нескольких точках). Ввиду линейности оператора интегрирования по областям полученные значения суммируются и представляют собой результат интегрирования.

К данному типу относятся одномерные метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (метод Симпсона), метод Гаусса, метод Гаусса-Кронрода. Часть перечисленных методов обобщается и для многомерного случая. Обобщенно все эти методы называются квадратурными. В многомерном случае они также могут называться кубатурными (это слово не несет никаких дополнительных смыслов). Также говорится, что перечисленные методы используют квадратурные (кубатурные) формулы.

Подходы, в которых область делится на не равные друг другу отрезки (кубы), называются адаптивными и не рассматриваются к данной статье.

Все перечисленные выше методы, а также подобные им могут быть объединены следующим образом: область интегрирования содержит N точек, в каждой из которых необходимо вычислить подынтегральное выражение и помножить ее на весовой коэффициент, затем данные числа складываются, и полученная сумма и представляет собой результат интегрирования. Погрешность интегрирования оценивается ровно таким же образом.