Компактная схема метода Гаусса для трёхдиагональной матрицы и её модификации

Основные авторы описания: А.В.Фролов

1 Компактная схема метода Гаусса для трёхдиагональной матрицы и её модификации

Треугольное разложение трёхдиагональной матрицы базируется на формулах этого же разложения для матриц общего вида. Обычно встречающиеся в прикладных задачах трёхдиагональные матрицы имеют свойство диагонального преобладания. Поэтому нужды в перестановках не возникает. Использование свойств, базирующихся на формуле Бине-Коши для миноров произведения двух матриц, показывает, что для трёхдиагональной матрицы [math]LU[/math]-разложение будет содержать две двухдиагональные матрицы. Поэтому формулы компактной схемы метода Гаусса и её аналогов существенно упрощаются.

1.1 [math]LU[/math]-разложение

1.1.1 Компактная схема метода Гаусса для трёхдиагональной матрицы

Компактная схема метода Гаусса вычисляет такое [math]LU[/math]-разложение на две двухдиагональные матрицы, в котором нижняя двухдиагональная матрица [math]L[/math] имеет на диагонали только единицы. Формулы метода следующие:

[math] u_{11} = a_{11} \\ u_{i i+1} = a_{i i+1}, \quad i \in [1, n-1] \\ l_{i+1 i} = a_{i+1 i} / u_{i i} , \quad i \in [1, n-1] \\ u_{ii} = a_{ii} - l_{i i-1} u_{i-1 i}, \quad i \in [2, n] \\ [/math]

Подробно её свойства описаны на соответствующей странице. В неизменённом виде не подлежит распараллеливанию, алгоритм чисто последовательный.Существует и блочная версия разложения - для блочно-трёхдиагональных матриц.

1.1.2 Алгоритм Стоуна для [math]LU[/math]-разложения трёхдиагональной матрицы

Алгоритм Стоуна для LU-разложения трёхдиагональной матрицы является частью алгоритма Стоуна для решения трёхдиагональных СЛАУ и является первым параллельным алгоритмом [math]LU[/math]-разложения трёхдиагональной матрицы. Математическая его основа - линейная рекуррентная формула для главных миноров раскладываемой матрицы. После записи этой рекуррентной формулы в матричном виде оказывается, что можно воспользоваться ассоциативностью операции перемножения матриц. Стоун использовал для распараллеливания схему сдваивания. Однако область устойчивости этого метода гораздо уже, чем у компактной схемы метода Гаусса, несмотря на то, что искомые матрицы - те же самые. Блочная схема метода для блочно-трёхдиагональных матриц не разрабатывалась, хотя теоретически и может существовать, из-за неустойчивости схемы.

Подробно свойства алгоритма Стоуна описаны на соответствующей странице.

1.1.3 Последовательно-параллельный алгоритм для [math]LU[/math]-разложения трёхдиагональной матрицы

Последовательно-параллельный алгоритм для LU-разложения трёхдиагональной матрицы придуман для распараллеливания нахождения того же [math]LU[/math]-разложения трёхдиагональной матрицы, что получается из компактной схемы метода Гаусса, с сохранением характеристик её устойчивости. Как и метод Стоуна, использует ассоциативность умножения матриц, но использует также нормировку в последовательных ветвях вычислений. Для блочно-трёхдиагональных матриц существует блочная версия метода, для которой необходима невырожденность блоков на одной из побочных диагоналей матрицы.

Подробно свойства последовательно-параллельного алгоритма для LU-разложения трёхдиагональной матрицы описаны на соответствующей странице

5 Литература

1. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.
2. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.