Участник:AleksLevin/Алгоритм Ланцоша вычисления собственных значений симметричной матрицы для точной арифметики (без переортогонализации): различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 25: Строка 25:
 
& z = z - \alpha_j q_j - \beta_{j-1}q_{j-1}\\
 
& z = z - \alpha_j q_j - \beta_{j-1}q_{j-1}\\
 
& \beta_j = \|z\|_2\\
 
& \beta_j = \|z\|_2\\
& If \; \beta_j == 0 \;\; then\;\; stop\;\; the\;\; algorithm \\  
+
& If \; \beta_j == 0 \; then\; stop\; the\; algorithm \\  
 
& \;  q_{j+1} = z / \beta_j \\
 
& \;  q_{j+1} = z / \beta_j \\
& compute\;\; eigenvalues\;\; and \;\;eigenvectors\;\;of \;\;matrix \;\;T_j\;\;and\;\;estimate \;\;the\;\; errors\\
+
& compute\; eigenvalues\; and \;eigenvectors\;of \;matrix \;T_j\;and\;estimate \;the\; errors\\
 
end \; & for
 
end \; & for
 
\end{align}
 
\end{align}
 
</math>
 
</math>
 +
 +
В продемонстрированном
  
 
== Вычислительное ядро алгоритма ==
 
== Вычислительное ядро алгоритма ==

Версия 22:37, 10 ноября 2016

Основные авторы описания: Левин А.Д. (студент, кафедра вычислительных методов, 604 группа)

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Данный алгоритм появился в 1950 г. и носит имя венгерского физика и математика Корнелия Ланцоша (венг. Lánczos Kornél). Алгоритм Ланцоша относится к итерационным методам вычисления собственных значений для матриц столь больших порядков [math] n[/math], что к ним нельзя применить прямые методы из-за ограничений по времени и памяти.

Сам Ланцош указывал, что его метод предназначен для отыскания нескольких собственных векторов симметричных матриц, хотя к методу сразу было обращено внимание, как к способу приведения всей матрицы к трёхдиагональному виду. Двадцатью годами позже канадский математик Крис Пэж показал, что, несмотря на чувствительность к округлениям, алгоритм Ланцоша - эффективное средство вычисления некоторых [math]k[/math] собственных чисел и соответствующих им собственных векторов [1, c.276].

Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений симметричной матрицы [math]A[/math] соединяет в себе метод Ланцоша для построения последовательности подпространств Крылова и ортонормированных векторов Ланцоша и процедуру Рэлея-Ритца получения оптимальных приближений собственных значений и соответствующих векторов исходной матрицы [math]A[/math] [2, с.381].

В данной статье рассматривается вариант алгоритма Ланцоша, в котором опущено влияние ошибок округления на вычислительный процесс, хотя на практике этому посвящается отдельное внимание и существуют различные методы решения данной проблемы.

1.2 Математическое описание алгоритма

Для лучшего понимания описания, данного в этом пункте статьи, рекомендуется ознакомиться с параграфом 6.6 Методы Крыловского подпространства [2, с.313]. Здесь же дано краткое описание всех переменных, математических операций и необходимый теоретический минимум.

Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы [math]A=A^T[/math] в точной арифметике [2, с.381] : [math] \begin{align} q_1 = & b/ \|b\|_2,\; \beta_0 = 0,\; q_0 = 0\\ for \; & j = 1 \; to \; k \\ & z = Aq_j\\ & \alpha_j = q^T_j z\\ & z = z - \alpha_j q_j - \beta_{j-1}q_{j-1}\\ & \beta_j = \|z\|_2\\ & If \; \beta_j == 0 \; then\; stop\; the\; algorithm \\ & \; q_{j+1} = z / \beta_j \\ & compute\; eigenvalues\; and \;eigenvectors\;of \;matrix \;T_j\;and\;estimate \;the\; errors\\ end \; & for \end{align} [/math]

В продемонстрированном

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

3 Литература

[1] Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы //М.: Мир. - 1983. - С. 276-294

[2] James W. Demmel Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения //Мир. - 2001. С. 381-391