Участник:Kiseliov/Метод регуляризации Тихонова

Автор: Киселёв Е. И.

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Метод регуляризации Тихонова заключается в следующем:

Нам дано некоторое искажённое изображение (в нашем случае мы рассматриваем статические аберрации). Фактически, некоторое изображение искажается при помощи свёртки с так называемым ядром. То есть, мы имеем уравнение Фредгольма первого рода типа свертки вида:

[math]K \circledast z =\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}K(x_1-s_1,x_2-s_2 )z(s_1,s_2 )ds_1\,ds_2 = u(x_1,x_2 ), -\infty\lt x_1,x_2\lt \infty[/math]

Здесь [math]K(x_1,x_2 )∈L_2 (\mathbb{R}^2)[/math] – аппаратная функция прибора (ядро), [math]u(x_1,x_2 )∈L_2 (\mathbb{R}^2)[/math] – искаженное изображение, а [math]z(x_1,x_2 )[/math] – искомое реконструируемое изображение.

Наша задача - восстановить исходное изображение, зная параметры ядра. Метод регуляризации Тихонова говорит о том, что решение имеет вид:

[math]z(x_1 ,x_2 ) = \frac{1}{4\pi^2}\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\bar K (-\omega_1,-\omega_2)\bar u (\omega_1,\omega_2)}{|\bar K (\omega_1,\omega_2 )|^2+\alpha M(\omega_1,\omega_2)}e^{i(\omega_1x_1 + \omega_2x_2)}d\omega_1\,d\omega_2[/math]

Здесь [math]\bar K (x_1,x_2 )[/math] – спектр ядра, [math]\bar u (x_1,x_2 )[/math] – спектр искаженного изображения, а [math]M(\omega_1,\omega_2)[/math] – заданная четная функция, обладающая следующими свойствами:

1. [math]M(\omega_1,\omega_2)[/math] кусочно-непрерывна в любой конечной области
2. [math]M(\omega_1,\omega_2)[/math] неотрицательна: [math]M(0,0)\ge0[/math] и [math]M(\omega_1,\omega_2)\gt 0[/math] при [math]\omega_1,\omega_2\neq0[/math]
3. для достаточно больших [math]|\omega_1|,|\omega_2| \Rightarrow M(\omega_1,\omega_2)\ge C\gt 0[/math]
4. для [math]\forall \alpha \gt 0 \Rightarrow \frac{\bar K (-\omega_1,-\omega_2)}{|\bar K (\omega_1,\omega_2 )|^2+\alpha M(\omega_1,\omega_2)}∈L_2 (\mathbb{R}^2)[/math]

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть нам даны спектры искажённого изображения [math]\bar u_{ij}[/math] и ядра [math]\bar K_{ij}[/math] - это квадратные матрицы, состоящие из комплексных чисел, размера [math]N\times N[/math]. Тогда спектр исходного изображения в позиции [math](i, j)[/math] находится по формуле:

[math]\bar z_{ij} =\frac{(\bar K_{ij})^*\bar u_{ij} (\vartriangle x)^2}{\bigl|\bar K_{ij}\bigl|^2(\vartriangle x)^4+\alpha \bigl(\bigl(\frac{\pi}{2R}\bigl)^2(i^2+j^2)\bigl)^r}[/math]

Здесь [math]\vartriangle x=\frac{4R}{N}[/math], где R - один из параметров ядра (известная, наперёд заданная величина).[math](\bar K_{ij})^*[/math] - сопряжение спектра ядра. [math]\alpha[/math] и [math]r[/math] - параметры метода.

В реализации будем считать [math]\alpha = 0.5[/math] и [math]r = 1[/math] (наиболее подходящие параметры в нашем случае).

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

В данном методе вычислительным ядром являются вычисления по формуле из пункта 1.2 в позиции [math](i, j)[/math], поскольку формула применяется к позиции [math](i, j)[/math] независимо от других точек.

Вычислительная сложность формулы - 3 умножения в числителе, 9 умножений, 2 сложения в знаменателе и одно общее деление (возведение в степень не считаем, так как положили [math]r = 1[/math]). Итого, 15 операций. Формулы применяется независимо в каждой точке [math](i, j)[/math] [math]\Rightarrow[/math] вычислительная сложность ядра алгоритма - 15 операций.

1.4 Макроструктура алгоритма

Макроструктура алгоритма представляет собой проход по всем точкам [math][/math](i, j)[math][/math] и вычисление [math][/math](i, j)[math][/math] позиции результирующей матрицы по формуле, указанной в пункте 1.2.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Реализация указанного алгоритма на C++:

#define _USE_MATH_DEFINES

#include <cmath>
#include <complex>
#include <complex.h>

using namespace std;

int TikhonovReg(const int N, const complex<long double>* image, const complex<long double>* kernel, const int R, const double alpha, const int r, complex<long double>* restored)
{
    // DeltaX in formula (we want to compute this values once)
    double delta_x = (4 * R) / double(N);
    long double delta_x_pow2 = delta_x * delta_x;
    long double delta_x_pow4 = delta_x_pow2 * delta_x_pow2;

    // Constant part in formula, that can be precomputed
    long double constant = (M_PI / (2 * R)) * (M_PI / (2 * R));

    // For loop gets parallel. Each step of loop for point (i, j) is executed separately
    for (int i = 0; i < N; i++)
        for (int j = 0; j < N; j++)
        {
            // Index (i, j) in 1d mass
            long index = i * N + j;

            // Move coordonate system center to the center of image
            int m = i - N / 2;
            int n = N / 2 - j;
            
            // Calculating formula
            complex<long double> upper_part = conj(kernel[index]) * image[index] * delta_x_pow2;
            complex<long double> kernel_squared_module = kernel[index].real() * kernel[index].real() + kernel[index].imag() * kernel[index].imag();
            complex<long double> down_part1 = kernel_squared_module * delta_x_pow4;
            int m_pow2 = m * m;
            int n_pow2 = n * n;
            complex<long double> down_part2 = alpha * pow(constant * (m_pow2 + n_pow2), r);
            complex<long double>down_part = down_part1 + down_part2;
            restored[index] = upper_part / down_part;
        }
}

1.6 Последовательная сложность алгоритма

В пункте 1.3 мы получили, что число операций, необходимых для вычисления формулы, равно [math]15[/math]. Всего формула будет применена [math]N^2[/math] раз. Итого, в последовательном варианте сложность составит [math]15 * N^2[/math] операций.

1.7 Информационный граф

Рисунок 1. Информационный граф метода регуляризации Тихонова. Вершины означают применение формулы из пункта 2 к [math](i, j)[/math] позиции входа для получения [math](i, j)[/math] позиции выхода. Рёбра в графе отсутствуют в связи с отсутствием связей по данным.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Поскольку в каждой позиции [math](i, j)[/math] вычисления производятся независимо, то ресурс параллелизма будет равен размеру матриц, то есть [math]N^2[/math].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: Две матрицы размера [math]N\times N[/math] - спектр искажённого изображения и спектр ядра свёртки. Обычно дано искажённое изображение (от которого берётся преобразование Фурье). Мы считаем параметры ядра известными. Оно генерируется, и затем от него берётся преобразование Фурье (получается спектр).

Выходные данные: Матрица размера [math]N\times N[/math] - спектр исходного изображения. Спектр можно преобразовать в изображение с помощью обратного преобразования Фурье.

3 Литература

• Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1979.
• Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1990.
• Гудмен Дж. Введение в фурье‐оптику. – М.: Мир, 1970. 364 с.