Учacтник:Malikovmt/Алгоритм Ланцоша для арифметики с плавающей точкой с полной переортогонализацией: различия между версиями

[непроверенная версия]

Версия 16:54, 1 февраля 2017

Алгоритм Ланцоша с полной переортогонализацией
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(n^2k + nk^2)[/math]
Объём входных данных	[math]n^2 + n[/math]
Объём выходных данных	[math]2k - 1 + nk[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(nk + k^2)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(n)[/math]

Авторы: А.В.Ерошкин (ссылкаКод), М.М.Маликов (ссылка)

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм Ланцоша - итерационный метод, используемый для вычисления части собственных значений и соответствующих им собственных векторов матрицы [math]A[/math] размера [math]n*n[/math], изначально разработанный Корнелием Ланцошем. Преимуществами использования метода является относительно небольшое потребление памяти и вычислительных ресурсов, а также наличие параметра [math]k[/math], контролирующего количество итераций. Несмотря на то, что алгоритм является вычислительно эффективным, первоначально сформулированный метод был плохо применим из-за численной неустойчивости - метод хорошо работал на целочисленных значениях, однако в арифметике с плавающей точкой ошибки округления давали большую погрешность. В 1970 году Ojalvo и Newman показали, как сделать метод численно стабильным и применили его для расчета крупных инженерных сооружений, подверженных динамическим нагрузкам. Кроме того, они показали способ выбора начального приближения (с использованием ГПСЧ), а также эмпирический способ для выбора числа [math]k[/math] (примерно в полтора раза больше искомого числа собственных векторов). В данный момент существует две основных модификации метода (с полной и выборочной переортогонализацией), а также большое количество модификаций, использующихся в различных технических областях.

1.2 Математическое описание алгоритма

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.10 Свойства алгоритма

1.11 Локальность данных и вычислений

1.11.1 Локальность реализации алгоритма

1.11.1.1 Структура обращений в память и качественная оценка локальности

1.11.1.2 Количественная оценка локальности

1.12 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

1.13 Масштабируемость алгоритма и его реализации

1.13.1 Масштабируемость алгоритма

1.13.2 Масштабируемость реализации алгоритма

1.14 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

1.15 Выводы для классов архитектур

1.16 Существующие реализации алгоритма

2 Литература

@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 === Общее описание алгоритма ===
-'''Алгоритм Ланцоша''' - итерационный метод, используемый для вычисления части собственных значений и соответствующих им собственных векторов матрицы <math>A</math> размера <math>n*n</math>, изначально разработанный Корнелием Ланцошем. Преимуществами использования метода является относительно небольшое потребление памяти и вычислительных ресурсов, а также наличие параметра <math>m</math>, контролирующего количество итераций. Несмотря на то, что алгоритм является вычислительно эффективным, первоначально сформулированный метод был плохо применим из-за численной неустойчивости - метод хорошо работал на целочисленных значениях, однако в арифметике с плавающей точкой ошибки округления давали большую погрешность. В 1970 году Ojalvo и Newman показали, как сделать метод численно стабильным и применили его для расчета крупных инженерных сооружений, подверженных динамическим нагрузкам. Кроме того, они показали способ выбора начального приближения (с использованием ГПСЧ), а также эмпирический способ для выбора числа <math>m</math> (примерно в полтора раза больше искомого числа собственных векторов). В данный момент существует две основных модификации метода (с полной и выборочной переортогонализацией), а также большое количество модификаций, использующихся в различных технических областях.
+'''Алгоритм Ланцоша''' - итерационный метод, используемый для вычисления части собственных значений и соответствующих им собственных векторов матрицы <math>A</math> размера <math>n*n</math>, изначально разработанный Корнелием Ланцошем. Преимуществами использования метода является относительно небольшое потребление памяти и вычислительных ресурсов, а также наличие параметра <math>k</math>, контролирующего количество итераций. Несмотря на то, что алгоритм является вычислительно эффективным, первоначально сформулированный метод был плохо применим из-за численной неустойчивости - метод хорошо работал на целочисленных значениях, однако в арифметике с плавающей точкой ошибки округления давали большую погрешность. В 1970 году Ojalvo и Newman показали, как сделать метод численно стабильным и применили его для расчета крупных инженерных сооружений, подверженных динамическим нагрузкам. Кроме того, они показали способ выбора начального приближения (с использованием ГПСЧ), а также эмпирический способ для выбора числа <math>k</math> (примерно в полтора раза больше искомого числа собственных векторов). В данный момент существует две основных модификации метода (с полной и выборочной переортогонализацией), а также большое количество модификаций, использующихся в различных технических областях.
 === Математическое описание алгоритма ===