Шаблон:Main page/Featured: различия между версиями
| [выверенная версия] | [выверенная версия] |
(Ширина врезки =40%.) |
ASA (обсуждение | вклад) |
||
| (не показано 6 промежуточных версий 2 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | + | <div style="font-size: 160%; font-weight: bold; text-align: center;"> | |
| − | --- | + | Разложение Холецкого (метод квадратного корня) |
| − | + | </div> | |
| − | |||
| − | < | ||
| − | |||
{| style="float:{{{float|right}}}; clear:right;margin-left: 1em; width:{{{width|40%}}};" cellpadding=8 cellspacing=1 border=0 | {| style="float:{{{float|right}}}; clear:right;margin-left: 1em; width:{{{width|40%}}};" cellpadding=8 cellspacing=1 border=0 | ||
| Строка 17: | Строка 14: | ||
|} | |} | ||
| − | == | + | == Свойства и структура алгоритма == |
=== Общее описание алгоритма === | === Общее описание алгоритма === | ||
| Строка 27: | Строка 24: | ||
Для разреженных матриц разложение Холецкого также широко применяется в качестве основного этапа прямого метода решения линейных систем. В этом случае используют специальные упорядочивания для уменьшения ширины профиля исключения, а следовательно и уменьшения количества арифметических операций. Другие упорядочивания используются для выделения независимых блоков вычислений при работе на системах с параллельной организацией. | Для разреженных матриц разложение Холецкого также широко применяется в качестве основного этапа прямого метода решения линейных систем. В этом случае используют специальные упорядочивания для уменьшения ширины профиля исключения, а следовательно и уменьшения количества арифметических операций. Другие упорядочивания используются для выделения независимых блоков вычислений при работе на системах с параллельной организацией. | ||
| − | === Математическое описание === | + | === Математическое описание алгоритма === |
Исходные данные: положительно определённая симметрическая матрица <math>A</math> (элементы <math>a_{ij}</math>). | Исходные данные: положительно определённая симметрическая матрица <math>A</math> (элементы <math>a_{ij}</math>). | ||
| Строка 47: | Строка 44: | ||
В ряде реализаций деление на диагональный элемент выполняется в два этапа: вычисление <math>1/l_{ii}</math> и затем умножение на него всех (видоизменённых) <math>a_{ji}</math> . Здесь мы этот вариант алгоритма не рассматриваем. Заметим только, что он имеет худшие параллельные характеристики, чем представленный. | В ряде реализаций деление на диагональный элемент выполняется в два этапа: вычисление <math>1/l_{ii}</math> и затем умножение на него всех (видоизменённых) <math>a_{ji}</math> . Здесь мы этот вариант алгоритма не рассматриваем. Заметим только, что он имеет худшие параллельные характеристики, чем представленный. | ||
| − | + | :''[[Разложение Холецкого (метод квадратного корня)|Читать полностью…]]'' | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
Текущая версия на 17:01, 29 июля 2015
Разложение Холецкого (метод квадратного корня)
|
Свойства алгоритма:
|
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Разложение Холецкого впервые предложено французским офицером и математиком Андре-Луи Холецким в конце Первой Мировой войны, незадолго до его гибели в бою в августе 1918 г. Идея этого разложения была опубликована в 1924 г. его сослуживцем. Потом оно было использовано поляком Т. Банашевичем в 1938 г. В советской математической литературе называется также методом квадратного корня [1-3]; название связано с характерными операциями, отсутствующими в родственном разложении Гаусса.
Первоначально разложение Холецкого использовалось исключительно для плотных симметричных положительно определенных матриц. В настоящее время его использование гораздо шире. Оно может быть применено также, например, к эрмитовым матрицам. Для повышения производительности вычислений часто применяется блочная версия разложения.
Для разреженных матриц разложение Холецкого также широко применяется в качестве основного этапа прямого метода решения линейных систем. В этом случае используют специальные упорядочивания для уменьшения ширины профиля исключения, а следовательно и уменьшения количества арифметических операций. Другие упорядочивания используются для выделения независимых блоков вычислений при работе на системах с параллельной организацией.
1.2 Математическое описание алгоритма
Исходные данные: положительно определённая симметрическая матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]).
Вычисляемые данные: нижняя треугольная матрица [math]L[/math] (элементы [math]l_{ij}[/math]).
Формулы метода:
- [math] \begin{align} l_{11} & = \sqrt{a_{11}}, \\ l_{j1} & = \frac{a_{j1}}{l_{11}}, \quad j \in [2, n], \\ l_{ii} & = \sqrt{a_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip}^2}, \quad i \in [2, n], \\ l_{ji} & = \left (a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp} \right ) / l_{ii}, \quad i \in [2, n - 1], j \in [i + 1, n]. \end{align} [/math]
Существует также блочная версия метода, однако в данном описании разобран только точечный метод.
В ряде реализаций деление на диагональный элемент выполняется в два этапа: вычисление [math]1/l_{ii}[/math] и затем умножение на него всех (видоизменённых) [math]a_{ji}[/math] . Здесь мы этот вариант алгоритма не рассматриваем. Заметим только, что он имеет худшие параллельные характеристики, чем представленный.
