Классический метод Якоби (вращений) для симметричных матриц с выбором по всей матрице

Авторы описания: А.С.Галкина (входные и выходные данные, математическое описание алгоритма и др.), И.А.Плахов (ресурс параллелизма алгоритма,последовательная сложность алгоритма и др.), А.В.Фролов (части про программную реализацию, а также общая редакция и правка страницы).

Метод Якоби — итерационный алгоритм для вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы. Карл Густав Якоб Якоби, в честь которого назван этот метод, предложил его в 1846 году. Однако использоваться метод начал только в 1950-х годах с появлением компьютеров.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Суть алгоритма заключается в том, чтобы для заданной симметрической матрице [math]A = A^{(0)}[/math] построить последовательность ортогонально подобных матриц [math]A^{(1)},A^{(2)},\dotsc,A^{(m)}[/math], сходящуюся к диагональной матрице, на диагонали которой стоят собственные значения [math]A[/math]. Для построения этой последовательности применяется специально подобранная матрица вращения [math]J_i[/math], такая что норма наддиагональной части [math]\| A^{(i)} \|_{off} =\sqrt{\sum\limits_{1 \le j \lt k \le n} (a_{jk}^{(i)})^2}[/math] уменьшается при каждом двустороннем вращении матрицы [math]A^{(i+1)}={J_i}^TA^{(i)}J_i[/math].

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: симметрическая матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]).

Вычисляемые данные: диагональная матрица [math]\Lambda[/math] (элементы [math]\lambda_{ij}[/math]).

Норма наддиагональной части [math]\| A^{(i)} \|_{off} =\sqrt{\sum\limits_{1 \le j \lt k \le n} (a_{jk}^{(i)})^2}[/math] уменьшается при каждом двустороннем вращении матрицы [math]A^{(i+1)}={J_i}^TA^{(i)}J_i[/math].

Это достигается выбором максимального по абсолютной величине элемента матрицы [math]A^{(i)}[/math] и его обнулением в матрице [math]A^{(i+1)}[/math]. Если он расположен в j-й строке и k-м столбце, то

                                                       [math]j[/math]                             [math]k[/math]

[math] J_i = \begin{matrix} \\ \\ \\ j \\ \\ k \\ \\ \\ \\ \end{matrix} [/math] [math] \begin{bmatrix} & 1 & & & & & & & & \\ & & 1 & & & & & & & \\ & & & \ddots & & & & & & \\ & & & & \cos(\theta) & & -\sin(\theta) & & & \\ & & & & & \ddots & & & & \\ & & & & \sin(\theta) & & \cos(\theta) & & & \\ & & & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & & & 1 & \\ & & & & & & & & & 1 \\ \end{bmatrix} [/math]

Если обозначить [math]s = \sin \theta[/math] и [math]c = \cos \theta[/math], то матрица [math]A^{(i+1)}[/math] состоит из следующих элементов, отличающихся от элементов [math]A^{(i)}[/math]:

[math]\begin{align} a_{jj}^{(i+1)} &= c^2\, a_{jj}^{(i)} - 2\, s c \,a_{jk}^{(i)} + s^2\, a_{kk}^{(i)} \\ a_{kk}^{(i+1)} &= s^2 \,a_{jj}^{(i)} + 2 s c\, a_{jk}^{(i)} + c^2 \, a_{kk}^{(i)} \\ a_{jk}^{(i+1)} &= a_{kj}^{(i+1)} = (c^2 - s^2 ) \, a_{jk}^{(i)} + s c \, (a_{kk}^{(i)} - a_{jj}^{(i)} ) \\ a_{jm}^{(i+1)} &= a_{mj}^{(i+1)} = c \, a_{jm}^{(i)} - s \, a_{km}^{(i)} & m \ne j,k \\ a_{km}^{(i+1)} &= a_{mk}^{(i+1)} = s \, a_{jm}^{(i)} + c \, a_{km}^{(i)} & m \ne j,k \\ a_{ml}^{(i+1)} &= a_{ml}^{(i)} &m,l \ne j,k \end{align}[/math]

Можно выбрать [math]\theta[/math] так, чтобы [math]a_{jk}^{(i+1)} = 0[/math] и [math]a_{kj}^{(i+1)} = 0[/math]. Отсюда следует равенство

[math] \frac{a_{jj}^{(i)} - a_{kk}^{(i)}}{2 a_{jk}^{(i)}} = \frac{c^2 - s^2}{2sc} = \frac{\cos (2\theta)}{\sin (2\theta)} = \operatorname{ctg}(2\theta) \equiv \tau [/math].

Если [math] a_{jj}^{(i)} = a_{kk}^{(i)}[/math], то выбирается [math]\theta = \frac{\pi}{4}[/math], в противном случае

вводится [math]t = \frac{s}{c} = \operatorname{tg}(\theta)[/math] и тогда [math]t^2 - 2t\tau + 1 = 0[/math]. Решение квадратного уравнения даёт [math]t = \frac{\operatorname{sign}(\tau)}{|\tau| + \sqrt{1+\tau^2}}, c = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}, s = tc[/math].

Вычисление останавливается, когда выполняются критерии близости к диагональной матрице. Это малость максимального по абсолютной величине внедиагонального элемента матрицы.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Рассматривая отдельную итерацию, можно считать, что вычислительное ядро составляют множественные вычисления элементов матрицы [math]a_{jm}^{(i+1)} = a_{mj}^{(i+1)}[/math]   и   [math]a_{km}^{(i+1)} = a_{mk}^{(i+1)}[/math],   [math]m \ne j,k[/math]   в процессе применения матрицы поворота [math]J_i[/math] к матрице [math]A[/math]:

[math]\begin{align} a_{jm}^{(i+1)} &= a_{mj}^{(i+1)} = c \, a_{jm}^{(i)} - s \, a_{km}^{(i)} & m \ne j,k \\ a_{km}^{(i+1)} &= a_{mk}^{(i+1)} = s \, a_{jm}^{(i)} + c \, a_{km}^{(i)} & m \ne j,k, \end{align}[/math]

каждое из которых повторяется по [math] (n-2) [/math] раза, а также вычисление элементов [math]a_{jj}^{(i+1)} [/math]   и   [math]a_{kk}^{(i+1)} [/math]:

[math]\begin{align} a_{jj}^{(i+1)} &= c^2\, a_{jj}^{(i)} - 2\, s c \,a_{jk}^{(i)} + s^2\, a_{kk}^{(i)} \\ a_{kk}^{(i+1)} &= s^2 \,a_{jj}^{(i)} + 2 s c\, a_{jk}^{(i)} + c^2 \, a_{kk}^{(i)} \end{align}[/math]

1.4 Макроструктура алгоритма

Основную часть метода составляет процедура применения вращения к матрице [math]A[/math] (здесь и далее верхние индексы, содержащие номер матрицы, опускаются), которая в дальнейшем будет обозначена как Jakobi-Rotation[math](A,j,k)[/math].

Эту процедуру, в свою очередь, можно разделить на две логические части:

1. Определение угла поворота [math]\theta[/math] по элементам матрицы [math]a_{jj}[/math], [math]a_{kk}[/math] и [math]a_{jk}[/math];
2. Поворот матрицы [math]A[/math] (изменяются лишь строки и столбцы, соответствующие индексам [math]j[/math] и  [math]k[/math]).

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Алгоритм можно описать следующим образом:

1. Выбрать пару индексов j,k так, чтобы элемент в этой позиции был максимальным по абсолютной величине из всех внедиагональных
2. Обратиться к процедуре Jakobi-Rotation (A,j,k)
Если A недостаточно близка к диагональной матрице, перейти к шагу 1.

Процедура Jakobi-Rotation (A,j,k) — это следующий алгоритм:

Если |a(j,k)| достаточно мал, вычисление заканчивается. В противном случае выполняются следующие действия:
     1. Если  a(j,j)==a(k,k), то угол theta = pi/4 .
        В остальных случаях находим параметры tau, t, c, s:
          
          tau = (a(j,j)-a(k,k)/2/a(j,k) 
          t = sign(tau)/(|tau|+sqrt(1+tau^2)) 
          c = 1/sqrt(1+t^2) 
          s = ct
          
     2. Выполняется поворот матрицы (изменяются лишь строки и столбцы, соответствующие индексам k и j):
          A = R*(j,k,theta)AR(j,k,theta), c = cos (theta), s = sin (theta)

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Для осуществления одной итерации метода Якоби для матрицы размера [math](n\times n)[/math] требуется выполнить:

Для вычислительного ядра —

• [math] 4n+4 [/math] умножений,
• [math] 2n+2 [/math] сложений.

Для остальной части алгоритма —

• [math] 3 [/math] умножения,
• [math] 3 [/math] деления,
• [math] 5 [/math] сложений (вычитаний),
• [math] 2 [/math] извлечения квадратного корня.

Умножения и сложения (вычитания) составляют основную часть алгоритма.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Для выполнения одной итерации требуется последовательно выполнить следующие действия:

1. вычислить [math]\tau[/math] (2 операции сложения, 1 операция деления)
2. вычислить [math]t[/math] (1 операция сравнения, 1 операция взятия модуля, 2 операции сложения, 1 операция умножения, 1 операция деления, 1 операция извлечения квадратного корня)
3. вычислить [math]c[/math] (1 операция сложения, 1 операция умножения, 1 операция деления, 1 операция извлечения квадратного корня) и [math]s[/math] (1 операция умножения)

После этого выполняется ярус, отвечающий за применение поворота к матрице [math]A[/math] с параллельным выполнением [math]2(n-2)[/math] операций вычисления элементов матрицы [math]a_{jm}^{(i+1)} = a_{mj}^{(i+1)}[/math]   и   [math]a_{km}^{(i+1)} = a_{mk}^{(i+1)}[/math],   [math]m \ne j,k[/math] , а также 2 операций вычисления элементов [math]a_{jj}^{(i+1)} [/math]   и   [math]a_{kk}^{(i+1)} [/math]. Наибольшее количество операций содержится в вычислении последних двух элементов (по 6 умножений и 3 сложения).

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]). Дополнительные ограничения:

• [math]A[/math] – симметрическая матрица, т. е. [math]a_{ij}= a_{ji}, i, j = 1, \ldots, n[/math].

Объём входных данных: [math]\frac{n (n + 1)}{2}[/math] (в силу симметричности достаточно хранить только диагональ и над/поддиагональные элементы). В разных реализациях эта экономия хранения может быть выполнена разным образом.

Выходные данные: вектор собственных значений [math]\Lambda[/math] (элементы [math]\lambda_{ii}[/math]).

Объём выходных данных: [math] n [/math].

1.10 Свойства алгоритма

Метод Якоби является самым медленным из имеющихся алгоритмов вычисления собственных значений симметричной матрицы. Тем не менее, он способен вычислять малые собственные числа и отвечающие им собственные векторы с гораздо большей точностью, чем другие методы . Кроме того, он не предполагает первоначального приведения матрицы к трехдиагональной форме.

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов для метода Якоби является линейным.

Вычислительная мощность алгоритма линейна.

Метод Якоби не детерминирован, так как является итерационным алгоритмом с выходом по точности: число итераций зависит от входных данных и порогового значения.

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

При выборе максимального по абсолютной величине внедиагонального элемента матрицы перед первым шагом требуется сравнить [math]\frac{n (n - 1)}{2}[/math] элементов. Если не использовать структурных данных, то каждый раз нужно будет повторять этот выбор, что сделало бы именно его узким местом в программе. Однако при выполнении первого выбора обнуляемого элемента можно завести массив номеров, в которых расположены самые большие по модулю элементы всех "строко-столбцов" (матрица симметричная) матрицы. Поскольку при выполнении преобразования двустороннего вращения полностью изменяются только два "строко-столбца", а в остальных изменяется только по 2 элемента, то можно сразу при вычислении изменяющихся элементов проводить выбор наибольшего из них по абсолютной величине в каждом "строко-столбце", что уберёт из алгоритма это узкое место.

2.2 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

При выборе максимального по абсолютной величине внедиагонального элемента матрицы перед первым шагом требуется сравнить [math]\frac{n (n - 1)}{2}[/math] элементов, что составляет при использовании последовательно-параллельной схемы O(n) шагов, а при использовании сдваиваний O(log n) шагов. Если не использовать структурных данных, то каждый раз нужно будет повторять этот выбор, что сделало бы именно его узким местом в программе (так как на само двустороннее вращение нужно конечное количество ярусов). Однако при выполнении первого выбора обнуляемого элемента можно завести массив номеров, в которых расположены самые большие по модулю элементы всех "строко-столбцов" (матрица симметричная) матрицы. Поскольку при выполнении преобразования двустороннего вращения полностью изменяются только два "строко-столбца", а в остальных изменяется только по 2 элемента, то можно сразу при вычислении изменяющихся элементов проводить выбор наибольшего из них по абсолютной величине в каждом "строко-столбце". Это не уберёт из алгоритма узкое место, но всё же локализует его на двух преобразуемых "строко-столбцах". Тем не менее, торможение из-за него останется достаточным, чтобы сделать распараллеливание классического метода Якоби слабым его местом даже в сравнении с другим вариантом. Поэтому классический метод Якоби практически не применяется в библиотеках для параллельных вычислительных систем.

По изложенным выше причинам классический метод Якоби практически не применяется в библиотеках для параллельных вычислительных систем.