Участник:Potapyurich/Алгоритм концептуальной кластеризации COBWEB

Авторы: Ю.Ю.Потапов (Разделы 1.2, 1.4, 1.6, 1.7, 1.8, 1.10, 2.7), A.М.Скрипник (Разделы 1.1, 1.3, 1.5, 1.7, 1.9, 2.7, )

[math] test1 math [/math]

Алгоритм концептуальной кластеризации COBWEB
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math] O(|C|*|A|*|V|*|O|)[/math]
Объём входных данных	[math]|A|*|O|[/math]
Объём выходных данных	[math]|C|[/math]

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Задача кластеризации является одной из важнейших задач интеллектуального анализа данных в различных проблемных областях – технических, естественнонаучных, социальных. Кластеризация является примером задачи обучения без учителя и сводится к разбиению исходного множества объектов на подмножества классов таким образом, что элементы одного класса были бы схожи между собой, а элементы различных классов были бы максимально различны.

Алгоритм COBWEB - классический метод инкрементальной концептуальной кластеризации, который был изобретен профессором Дугласом Фишером в 1987 году.

В отличие от традиционной кластеризации, которая обнаруживает группы схожих объектов на основе меры сходства между ними, концептуальная кластеризация определяет кластеры как группы объектов, относящейся к одному классу или концепту – определённому набору пар "атрибут-значение". Алгоритм COBWEB создаёт иерархическую кластеризацию в виде дерева классификации: каждый узел этого дерева ссылается на концепт и содержит вероятностное описание этого концепта. Узлы, находящейся на определённом уровне дерева классификации, называют срезом. Алгоритм использует для построения дерева классификации эвристическую меру оценки, называемую полезностью категории – прирост ожидаемого числа корректных предположений о значениях атрибутов при знании об их принадлежности к определённой категории относительно ожидаемого числа корректных предположений о значениях атрибутов без этого знания. Чтобы встроить новый объект в дерево классификации, алгоритм COBWEB итеративно проходит всё дерево в поисках «лучшего» узла, к которому отнести этот объект. Выбор узла осуществляется на основе помещения объекта в каждый узел и вычисления полезности категории получившегося среза.

1.2 Математическое описание алгоритма

• Обозначим: [math] O = \{O_1 \dots O_n\} [/math] - множество распознаваемых объектов, характеризуемых аттрибутами [math] A = \{A_1 \dots A_m\} [/math], которые могут принимать значения [math] V = \{V_{11} \dots V_{mk}\} [/math]. Ставится задача кластеризации исходного множеста объектов на классы [math] C = \{C_1 \dots C_l\} [/math] так, чтобы максимизировать функцию полезности кластеризации.

Полезность кластеризации рассматривается как функция CU, определяющая сходство объектов в рамках одного кластера, и их различие по отношению к объектам из других кластеров:

[math] CU = \frac{\sum_{C_k \in C} P(C_k) [\sum_{i} \sum_{j} P(A_i = V_{ij} | C_k)^2 - \sum_{i} \sum_{j} P(A_i = V_{ij})^2]}{|C|} [/math]

[math] P(A_i = V_{ij}) = \frac{|\{O_l | O_l \in C, A_i = V_{ij}\}|}{|\{O_l | O_l \in C\}|} [/math]

[math] P(A_i = V_{ij} | C_k) = \frac{|\{O_l | O_l \in C_k, A_i = V_{ij}\}|}{|\{O_l | O_l \in C_k\}|} [/math]

При выполнении алгоритма итерационно строится дерево классификации. Каждая вершина дерева представляет собой класс. Срез дерева представляет возможное разбиение на непересекающииеся классы. Функция полезности CU применяется именно к срезу.

Каждая вершина дерева содержит следующие данные:
[math]P(C_k)[/math] - вероятность объекта принадлежать данному классу
[math]P(A_i = V_{ij} | C_k)[/math] - вероятность объекта иметь значение [math]V_{ij}[/math] у аттрибута [math]A_i[/math] при условии принадлежности к классу [math]C_k[/math]
[math]\{O_i\}[/math] - множество объектов, принадлежащих данному классу.

Алгоритм использует операции четырёх типов:

• Отнесение объекта к существующему классу
• Создание нового класса
• Объединение двух классов в один
• Разбиение одного класса на два

Рис.1 показывает операции добавления нового класса и занесения объекта в существующий класс
Рис.2 показывает операции объединения
Рис.3 показывает разбиения классов

Рис.1 a)Начальное состояние, b)Операция добавления нового класса, c)Операция занесения в существующий класс

Рис.2 Объединение двух классов в один

Рис.3 Разбиение одного класса на два

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро алгоритма представляет собой итерационное вычисление всех параметров модели, так как вероятностное представление кластеров делает очень сложным их обновление, особенно в том случае, когда атрибуты имеют большое число возможных значений.

1.4 Макроструктура алгоритма

COBWEB поэлементно добавляет объекты в дерево классификации, где каждая вершина - это вероятностный концепт, который представляет класс. Добавление объекта - это процесс классификации этого объекта, спускаясь по дереву вдоль соответствующего пути, обновляя вероятностные характеристики классов на пути и выполняя одну из следующих операций на каждом уровне:

• Отнесение объекта к существующему классу
• Создание нового класса
• Объединение двух классов в один
• Разбиение одного класса на два

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1. Используя первый объект Object, создаем корень дерева Root
2. COBWEB(Node, Object):
   1. Если Node является листом дерева:
      1. Cоздать два дочерних узла L1 и L2 для узла Node
      2. Задать для узла L1 те же вероятности, что и для узла Node
      3. Инициализировать вероятности для узла L2 соответствующими значениями объекта Object;
      4. Добавить Object к Node, обновив вероятности для узла Node
   2. Если Node не является листом:
      1. Добавить Object к Node, обновив вероятности для узла Node
      2. Для каждого дочернего узла [math]C[/math] узла Node вычислить полезность категории при отнесении экземпляра Object к категории [math]C[/math]
         пусть [math]S_1[/math] - значение полезности для наилучшей классификации [math]C_1[/math]
         пусть [math]S_2[/math] - значение для второй наилучшей классификации [math]C_2[/math]
         пусть [math]S_3[/math] - значение полезности для отнесения экземпляра к новой категории
         пусть [math]S_4[/math] - значение для слияния [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math] в одну категорию
         пусть [math]S_5[/math] - значение для разделения [math]C_1[/math] (замены дочерними категориями)
      3. Если [math]S_1[/math] - максимальное значение, то отнести объект к [math]C_1[/math]: COBWEB([math]C_1[/math], Object)
         Если [math]S_3[/math] - максимальное значение, то инициализировать вероятности для новой категории [math]C_m[/math] значениями Object
         Если [math]S_4[/math] - максимальное значение, то пусть [math]C_m[/math] - результат слияния [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math]: COBWEB([math]C_m[/math], Object)
         Если [math]S_5[/math] - максимальное значение, то разделить [math]C_1[/math] и для новой категории [math]C_m[/math]: COBWEB([math]C_m[/math], Object)

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Так как структура получаемого дерева зависит от входных данных, то сложность всего алгоритма оценить невозможно. Дерево может получиться либо хорошо сбалансированным, либо совсем разбалансированным. Это будет значительно влиять на общее количество итераций запуска рекурсивной функции.

Сложность вычисления [math] CU = \frac{\sum_{C_k \in C} P(C_k) [\sum_{i} \sum_{j} P(A_i = V_{ij} | C_k)^2 - \sum_{i} \sum_{j} P(A_i = V_{ij})^2]}{|C|} [/math] - это [math] O(|C|*|A|*|V|*|O|)[/math], где

• [math]|C|[/math] - количество классов в срезе
• [math]|A|[/math] - количество аттрибутов объекта
• [math]|V|[/math] - количество возможных значений
• [math]|O|[/math] - количество объектов.

1.7 Информационный граф

На данном информационном графе изображен алгоритм выбора нужного действия при добавлении нового объекта в дерево классификации. А именно функция COBWEB, которая во время выполнения программы вызывается рекурсивно.

Входными данными являются текущий объект, который надо добавить, а также один из узлов дерева. На первой итерации это корень дерева.

• Красные узлы графа - вычисление функции полезности CU после добавления объекта в один из узлов-потомков
• Оранжевый - вычисление функции полезности CU после создания нового класса и добавления объекта в него
• Фиолетовый - вычисление двух максимальных значений для CU
• Желтый - вычисление функции полезности CU после объединения двух классов с максимальными функциями полезности
• Коричневый - вычисление функции полезности CU после разбиения класса с максимальной функцией полезности
• Голубой - выбрать действие, после которого функция полезности оказалась максимальной и вызвать рекурсивно функцию COBWEB от соответствующего узла и текущего объекта

Рис.4 Граф алгоритма COBWEB

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Сложность одной итерации параллельного алгоритма будет определяться количеством вычислений функции полезности CU, которые невозможно выполнить параллельно.

Как видно на информационном графе, самая длинная ветвь алгоритма включает два вычисления функции CU (вычисление CU для одного из потомков и вычисление CU для объединения или разделения классов).
При этом параллельная ветвь, которая вычисляет только одну операцию CU для добавления нового класса, явно окажется несбалансированной с остальными ветками. Параллелизм, достигаемый при вычислении CU для всех предков узла является динамическим и зависит от структуры получаемого графа, то есть от входных данных - объектов.

Также, большой ресурс параллелизма заключается в самой операции [math] CU = \frac{\sum_{C_k \in C} P(C_k) [\sum_{i} \sum_{j} P(A_i = V_{ij} | C_k)^2 - \sum_{i} \sum_{j} P(A_i = V_{ij})^2]}{|C|} [/math], так как вычисление слагаемых суммы может происходить массово параллельно для всех возможных значений [math]A_i[/math] и [math]V_{ij}[/math] всех объектов [math]O_k \in C[/math]

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Так как основные операции выполняются над числами, интерпретирующими вероятности, то алгоритм оперирует данными примерно одного порядка точности.

1.10 Свойства алгоритма

В узлах дерева хранится вероятностное распределение для всех возможных значений всех атрибутов объектов. Это сужает область применимости данного алгоритма. Для эффективного выполнения алгоритма, все объекты должны иметь атрибуты с небольшим набором возможных значений.

2 ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма

2.7 Существующие реализации алгоритма

Существуют следующие реализации алгоритма COBWEB:

• concept_formation библиотека реализации алгоритмов COBWEB и COBWEB/3 для языка Python.
• Weka библиотека и инструмент для анализа данных на языке Java.
• Java-ML библиотека машинного обучения на языке Java.

Так как существуют алгоритмы кластеризации, обладающие лучшими свойствами, алгоритм COBWEB практически не применяется и параллельных реализаций этого алгоритма нет.

3 Литература

[1] Fisher D. Knowledge Acquisition Via Incremental Conceptual Clustering, 1987. – P. 142–153. - http://link.springer.com/article/10.1007/BF00114265

[2] Методы и средства анализа данных - Алгоритм Cobweb: http://bourabai.ru/tpoi/analysis6.htm#.D0.90.D0.BB.D0.B3.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.BC_Cobweb

[3] МОДЕЛЬ И МЕТОД КОНЦЕПТУАЛЬНОЙ КЛАСТЕРИЗАЦИИ ОБЪЕКТОВ, ХАРАКТЕРИЗУЕМЫХ НЕЧЕТКИМИ ПАРАМЕТРАМИ // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 9 (часть 5) – С. 993-997 - http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=35003

[4] Обзор алгоритмов кластеризации числовых пространств данных: https://habrahabr.ru/post/164417/

[5] Wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Cobweb_(clustering)