Методы решения СЛАУ с трёхдиагональными матрицами

1 Методы решения СЛАУ с трёхдиагональными матрицами

Во многих математических моделях удаётся свести задачу к СЛАУ [math]Ax = b[/math] с трёхдиагональной матрицей

[math] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_{n-1 n-2} & a_{n-1 n-1} & a_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n n-1} & a_{n n} \\ \end{bmatrix} [/math]

На этой странице представлены разные методы решения такой СЛАУ.

1.1 Методы, основанные на стандартном LU-разложении трёхдиагональной матрицы A на две двухдиагональные

Часть методов основана на LU-разложении исходной матрицы системы и последующем решении образовавшихся двухдиагональных СЛАУ. Подобный подход позволяет при повторном решении новой СЛАУ с разложенной матрицей не повторять разложение, а выполнять только решения двухдиагональных СЛАУ.

1.1.1 Методы с линейным временем вычислений

1.1.1.1 Методы прогонки

1.1.1.1.1 Монотонная прогонка

Монотонная прогонка – последовательный алгоритм решения трёхдиагональной СЛАУ – является частным случаем общего метода исключения неизвестных, однако получила специальное название из-за распространённости задач такого типа в прикладных исследованиях. В математической литературе указано, что применение метода прогонки эквивалентно последовательному решению двух задач: [math]LU[/math]-разложению трёхдиагональной матрицы [math]A[/math] на две двухдиагональные с помощью компактной схемы метода Гаусса и затем решению двух СЛАУ с двухдиагональными матрицами с помощью обычной подстановки. Метод почти последователен (исключением является то, что решение первой из двухдиагональных СЛАУ можно выполнять почти параллельно с разложением трёхдиагональной матрицы). При повторении прогонки для новой СЛАУ с той же матрицей алгоритм повторной прогонки полностью последователен.

1.1.1.1.2 Встречная прогонка

Встречная прогонка - тоже является частным случаем общего метода исключения неизвестных. Получена из алгоритмов монотонной прогонки за счёт идеи встречного (откуда и её название) исключения неизвестных в уравнениях "с начала" и "с конца" СЛАУ.

1.1.2 Метод с логарифмическим временем вычислений

1.1.2.1 Метод сдваивания Стоуна

Метод сдваивания Стоуна разработан в начале 70-х гг. 20го века. Как и прогонка, которую он должен был заменить, метод сдваивания Стоуна для решения СЛАУ с трёхдиагональными матрицами состоит из двух отдельно разработанных частей: алгоритма сдваивания Стоуна для LU-разложения трёхдиагональной матрицы и метода сдваивания Стоуна для решения двудиагональных СЛАУ. По ряду причин, изложенных на соответствующих страницах, первый из них не применяется на практике, а второй - малораспространён.

1.1.3 Метод с временем вычислений меньше линейного

1.1.3.1 Последовательно-параллельный вариант решения трёхдиагональной СЛАУ с LU-разложением и обратными подстановками

Последовательно-параллельный вариант решения трёхдиагональной СЛАУ с LU-разложением и обратными подстановками предложен в 2015 г. в качестве альтернативы другим параллельным алгоритмам решения трёхдиагональных СЛАУ. Как и метод Стоуна, основан на [math]LU[/math]-разложении матрицы исходной СЛАУ с использованием ассоциативности операции матричного умножения и состоит из двух существенно различных по свойствам частей: последовательно-параллельного алгоритма для LU-разложения трёхдиагональной матрицы и последовательно-параллельного варианта обратной подстановки. Первая из частей метода спроектирована с использованием нормировки, что делает область устойчивости метода гораздо шире, чем у рекурсивного сдваивания Стоуна. В то же время строгое исследование области устойчивости пока не проведено. Как и алгоритм Стоуна, имеет ограниченную применимость для блочно-трёхдиагональной реализации.

1.2 Другие методы

Эта часть методов не основана на LU-разложении исходной матрицы системы. Тем не менее, в каждом из методов есть такая (особенная для каждого метода) часть, которая зависит только от элементов матрицы систем. Такую часть при повторных решениях СЛАУ с той же матрицей можно не повторять, что делает повторные решения довольно экономичными.

1.2.1 Методы с логарифмическим или полулогарифмическим временем решения

1.2.1.1 Метод циклической редукции

Метод циклической редукции впервые появился в разных вариациях на рубеже 60-70-х гг. XX века и до настоящего времени является, пожалуй, самым популярным из параллельных замен метода прогонки. Несмотря на то, что для распараллеливания в нём использованы избыточные по сравнению с прогонкой вычисления, пригоден как для решения одиночных СЛАУ, так и для многих СЛАУ с одной и той же матрицей. Диапазон устойчивости находится в тех же границах, что и у классической прогонки; существует и блочный аналог метода.

1.2.1.2 Метод дихотомии

Метод дихотомии предложен в 2010 г. и предназначен в основном для решения большого количества СЛАУ с одной и той же трёхдиагональной матрицей. Для решения одиночных трёхдиагональных СЛАУ слишком тяжеловесен, в силу того, что количество операций O(n) выполняется при подготовительной работе на каждом из процессоров.

1.2.2 Методы с меньшим линейного временем решения

1.2.2.1 Метод редукции

Метод редукции нециклического вида, несмотря на то, что известен давно, обычно рассматривается как "недоделка" циклической редукции, а не самостоятельный параллельный алгоритм, в частности, из-за избыточных вычислений.

1.2.2.2 Метод окаймления

Метод окаймления по своей идее восходит к применению принципа "разделяй и властвуй", аналоги для ленточных матриц появились ещё в 2006г., а, возможно, и ранее. Позже, при выходе публикации про Последовательно-параллельный вариант решения трёхдиагональной СЛАУ с LU-разложением и обратными подстановками в ответ на замечание рецензента о схожести его схемы с методом окаймления автором было вставлено замечание о разных структурах образующихся разложений.