Участник:Мария Готман/Алгоритм кластеризации, основанный на максимизации ожидания

Авторы описания: Готман М.Л., Лукашкина Ю.Н.

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Задача кластеризации — это задача разбиения заданной входной выборки объектов на непересекающиеся подмножества, называемые кластерами, так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных кластеров существенно отличались.

Для решения этой задачи можно использовать, например, метод максимизации ожидания, также известный как EM-алгоритм (англ. expectation-maximization). В таком случае делается предположение, что входные данные — смесь многомерных нормальных распределений, соотвественно отдельный кластер — это одна компонента смеси. Предполагается, что количество кластеров является входным параметром алгоритма (существуют модификации EM-алгоритма, которые автоматически находят число кластеров, но они не рассматриваются в данной статье). Результат работы EM-алгоритма — веса кластеров и найденные параметры нормальных распределений для каждого кластера: вектора математических ожиданий и матрицы ковариации.

Алгоритм EM кластеризации основан на итеративном выполнении двух последовательных шагов: E-шага и M-шага. На E-шаге вычисляеются вспомогательные (скрытые) переменные, которые характеризуют апостериорную вероятность того, что определенный обучающий объект получен из фиксированной компоненты смеси. На M-шаге с помощью вычесленных скрытых переменных производится обновление параметров смеси: по определённым формулам пересчитываются веса кластеров, их математические ожидания и матрицы ковариаций.

Стоит отметить, что на работу EM-алгоритма значительно влияет начальное приближение его параметров. При неудачной инициализации алгоритм может не сойтись или сойтись в локальный экстремум.

В данной статье рассматривается частный случай EM-алгоритма, который работает с двумерными входными данными.

Пример работы EM-алгоритма для 4х кластеров.

1.2 Математическое описание алгоритма

Рассматривается смесь нормальных распределений [math]p(x)=\sum_{j=1}^kw_jp_j(x), \sum_{j=1}^kw_j =1, w_j \ge 0[/math].

Алгоритм кластеризации, основанный на максимизации правдоподобия, итеративно выполняет два шага: E-шаг и M-шаг. Идея алгоритма заключается в введении матрицы скрытых переменных [math]G[/math], где [math]g_{ij} \equiv P(\theta_j |x_i)[/math] обозначает вероятность принадлежности [math]i[/math]-го объекта [math]j[/math]-му кластеру.

На Е-шаге вычисляется ожидаемое значение скрытых переменных, на М-шаге выполняется максимизация логарифма полного правдоподобия, результатом которой являются новые значения параметров модели.

На вход алгоритму подается матрица объектов-признаков [math]X \in \R^{m \times d}[/math] и [math]k[/math] — количество кластеров.

На выходе получаем набор параметров модели для каждого кластера [math]\Theta = (w_1,...,w_k;\;\mu_1,...,\mu_k;\;\Sigma_1,...,\Sigma_k)[/math], где [math]w_j[/math] — вес [math]j[/math]-го кластера в смеси нормальных распределений, [math]\mu_j[/math] — математическое ожидание [math]j[/math]-ой компоненты смеси, [math]\Sigma_j[/math] — матрица ковариации [math]j[/math]-ой компоненты смеси.

E-шаг:

[math]g_{ij} = \frac{w_jN(x_i;\mu_j, \Sigma_j)}{\sum_{s=1}^k w_sN(x_i;\mu_s, \Sigma_s)}[/math]

M-шаг:

[math]Q(\Theta) = \ln\prod_{i=1}^mp(x_i) = \sum_{i=1}^m\ln\sum_{j=1}^kw_jp_j(x_i) \rightarrow \max_{\Theta}[/math], при условии [math]\sum_{j=1}^kw_j=1[/math], где

[math]p_j(x_i) = N(x_i;\mu_j, \Sigma_j) = \frac1{(2\pi)^{d/2}\sqrt{|\Sigma_j|}} \exp \biggl(-\frac{1}{2}(x_i - \mu_j)^T \Sigma_j^{-1} (x_i - \mu_j)\biggr) [/math]

Решением оптимизационной задачи являются формулы для пересчета параметров:

[math]w_j = \frac1m\sum_{i=1}^m g_{ij}[/math],

[math]\mu_j = \frac1{mw_j}\sum_{i=1}^m g_{ij}x_i[/math],

[math]\Sigma_j = \frac1{mw_j}\sum_{i=1}^m g_{ij}(x_i - \mu_j)^T(x_i - \mu_j),\; j = 1, \dots, k[/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро алгоритма представляет собой итерационное вычисление всех параметров модели, независимое по [math]m[/math] объектам выборки [math]X[/math]. На каждой итерации алгоритма на Е-шаге пересчитывается значение скрытых переменных, на M-шаге пересчет параметров модели с учетом скрытых переменных.

1.4 Макроструктура алгоритма

Как записано в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют вычисления элементов матрицы G на E шаге, и пересчет параметров [math]\Theta[/math] на M-шаге.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1. Инициализация параметров
2. for iter = 1 : max_iterations
3. [E-шаг]
   1. вычисление [math]\Sigma_j^{-1}[/math] и [math]\frac1{(2\pi)^{d/2}\sqrt{|\Sigma_j|}}, j = 1 : n\_clusters[/math]
   2. вычисление [math]g_{ij}, i = 1 : n\_objects, \; j = 1 : n\_clusters[/math]
   3. вычисление [math]LL_i, i = 1 : n\_objects[/math] (логарифм правдоподобия)
4. [M-шаг]
   1. вычисление [math]w_j = \sum_{i=1}^m g_{ij}, j = 1 : n\_clusters[/math]
   2. вычисление [math]\mu_j = \sum_{i=1}^m g_{ij}x_i, j = 1 : n\_clusters[/math]
   3. вычисление [math]\Sigma_j = \sum_{i=1}^m g_{ij}(x_i - \mu_j)^T(x_i - \mu_j), j = 1 : n\_clusters[/math]
   4. нормировка [math]w, \mu_j, \Sigma_j, j = 1 : n\_clusters[/math]
5. вычисление [math]\Delta LL_i, i = 1 : n\_objects[/math] по значениям [math]LL[/math] текущей и предыдущей итераций
6. if ([math]\Delta LL \lt \varepsilon[/math]) then break;

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Сначала на E-шаге вычисляются скрытые переменные [math]\tilde g_{ij} = w_j exp\Big((x_i - \mu_j)^T \Sigma_j^{-1} (x_i - \mu_j)\Big), i=1,\ldots,m,j=1,\ldots,k[/math], затем выполняется нормировка матрицы G по столбцам [math]g_{ij}=\frac{\tilde g_{ij}}{\sum_{i = 1}^m\tilde g_{ij}}[/math].

На M-шаге для вычисления весов требуется [math]m*k[/math] операций суммирования и k операций деления, для вычисления математических ожиданий

1.7 Информационный граф

Это очень важный раздел описания. Именно здесь можно показать (увидеть) как устроена параллельная структура алгоритма, для чего приводится описание и изображение его информационного графа (графа алгоритма [1]). Для рисунков с изображением графа будут составлены рекомендации по их формированию, чтобы все информационные графы, внесенные в энциклопедию, можно было бы воспринимать и интерпретировать одинаково. Дополнительно можно привести полное параметрическое описание графа в терминах покрывающих функций [1].

Интересных вариантов для отражения информационной структуры алгоритмов много. Для каких-то алгоритмов нужно показать максимально подробную структуру, а иногда важнее макроструктура. Много информации несут разного рода проекции информационного графа, выделяя его регулярные составляющие и одновременно скрывая несущественные детали. Иногда оказывается полезным показать последовательность в изменении графа при изменении значений внешних переменных (например, размеров матриц): мы часто ожидаем "подобное" изменение информационного графа, но это изменение не всегда очевидно на практике.

В целом, задача изображения графа алгоритма весьма нетривиальна. Начнем с того, что это потенциально бесконечный граф, число вершин и дуг которого определяется значениями внешних переменных, а они могут быть весьма и весьма велики. В такой ситуации, как правило, спасают упомянутые выше соображения подобия, делающие графы для разных значений внешних переменных "похожими": почти всегда достаточно привести лишь один граф небольшого размера, добавив, что графы для остальных значений будут устроены "точно также". На практике, увы, не всегда все так просто, и здесь нужно быть аккуратным.

Далее, граф алгоритма - это потенциально многомерный объект. Наиболее естественная система координат для размещения вершин и дуг информационного графа опирается на структуру вложенности циклов в реализации алгоритма. Если глубина вложенности циклов не превышает трех, то и граф размещается в привычном трехмерном пространстве, однако для более сложных циклических конструкций с глубиной вложенности 4 и больше необходимы специальные методы представления и изображения графов.

В данном разделе AlgoWiki могут использоваться многие интересные возможности, которые еще подлежат обсуждению: возможность повернуть граф при его отображении на экране компьютера для выбора наиболее удобного угла обзора, разметка вершин по типу соответствующим им операций, отражение ярусно-параллельной формы графа и другие. Но в любом случае нужно не забывать главную задачу данного раздела - показать информационную структуру алгоритма так, чтобы стали понятны все его ключевые особенности, особенности параллельной структуры, особенности множеств дуг, участки регулярности и, напротив, участки с недерминированной структурой, зависящей от входных данных.

На рис.1 показана информационная структура алгоритма умножения матриц, на рис.2 - информационная структура одного из вариантов алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений с блочно-двухдиагональной матрицей.

Рис.1. Информационная структура алгоритма умножения матриц

Рис.2. Информационная структура одного из вариантов алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений с блочно-двухдиагональной матрицей

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Эм, ну по объектам.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

В данном разделе необходимо описать объем, структуру, особенности и свойства входных и выходных данных алгоритма: векторы, матрицы, скаляры, множества, плотные или разреженные структуры данных, их объем. Полезны предположения относительно диапазона значений или структуры, например, диагональное преобладание в структуре входных матриц, соотношение между размером матриц по отдельным размерностям, большое число матриц очень малой размерности, близость каких-то значений к машинному нулю, характер разреженности матриц и другие.

1.10 Свойства алгоритма

Описываются прочие свойства алгоритма, на которые имеет смысл обратить внимание на этапе реализации. Как и ранее, никакой привязки к конкретной программно-аппаратной платформе не предполагается, однако вопросы реализации в проекте AlgoWiki всегда превалируют, и необходимость обсуждения каких-либо свойств алгоритмов определяется именно этим.

Весьма полезным является соотношение последовательной и параллельной сложности алгоритма. Оба понятия мы рассматривали ранее, но здесь делается акцент на том выигрыше, который теоретически может дать параллельная реализация алгоритма. Не менее важно описать и те сложности, которые могут возникнуть в процессе получения параллельной версии алгоритма.

Вычислительная мощность алгоритма равна отношению числа операций к суммарному объему входных и выходных данных. Она показывает, сколько операций приходится на единицу переданных данных. Несмотря на простоту данного понятия, это значение исключительно полезно на практике: чем выше вычислительная мощность, тем меньше накладных расходов вызывает перемещение данных для их обработки, например, на сопроцессоре, ускорителе или другом узле кластера. Например, вычислительная мощность скалярного произведения двух векторов равна всего лишь [math]1[/math], а вычислительная мощность алгоритма умножения двух квадратных матриц равна [math]2n/3[/math].

Вопрос первостепенной важности на последующем этапе реализации - это устойчивость алгоритма. Все, что касается различных сторон этого понятия, в частности, оценки устойчивости, должно быть описано в данном разделе.

Сбалансированность вычислительного процесса можно рассматривать с разных сторон. Здесь и сбалансированность типов операций, в частности, арифметических операций между собой (сложение, умножение, деление) или же арифметических операций по отношению к операциям обращения к памяти (чтение/запись). Здесь и сбалансированность операций между параллельными ветвями алгоритма. С одной стороны, балансировка нагрузки является необходимым условием эффективной реализации алгоритма. Вместе с этим, это очень непростая задача, и в описании должно быть отмечено явно, насколько алгоритм обладает этой особенностью. Если обеспечение сбалансированности не очевидно, желательно описать возможные пути решения этой задачи.

На практике важна детерминированность алгоритмов, под которой будем понимать постоянство структуры вычислительного процесса. С этой точки зрения, классическое умножение плотных матриц является детерминированным алгоритмом, поскольку его структура при фиксированном размере матриц никак не зависит от элементов входных матриц. Умножение разреженных матриц, когда матрица хранятся в одном из специальных форматов, свойством детерминированности уже не обладает: его свойства, например, степень локальности данных зависит от структуры разреженности входных матриц. Итерационный алгоритм с выходом по точности также не является детерминированным: число итераций, а значит и число операций, меняется в зависимости от входных данных. В этом же ряду стоит использование датчиков случайных чисел, меняющих вычислительный процесс для различных запусков программы. Причина выделения свойства детерминированности понятна: работать с детерминированным алгоритмом проще, поскольку один раз найденная структура и будет определять качество его реализации. Если детерминированность нарушается, то это должно быть здесь описано вместе с описанием того, как недетерминированность влияет на структуру вычислительного процесса.

Серьезной причиной недетерминированности работы параллельных программ является изменение порядка выполнения ассоциативных операций. Типичный пример - это использование глобальных MPI-операций на множестве параллельных процессов, например, суммирование элементов распределенного массива. Система времени исполнения MPI сама выбирает порядок выполнения операций, предполагая выполнение свойства ассоциативности, из-за чего ошибки округления меняются от запуска программы к запуску, внося изменения в конечный результат ее работы. Это очень серьезная проблема, которая сегодня встречается часто на системах с массовым параллелизмом и определяет отсутствие повторяемости результатов работы параллельных программ. Данная особенность характерна для второй части AlgoWiki, посвященной реализации алгоритмов, но вопрос очень важный, и соответствующие соображения, по возможности, должны быть отмечены и здесь.

Заметим, что, в некоторых случаях, недетерминированность в структуре алгоритмов можно "убрать" введением соответствующих макроопераций, после чего структура становится не только детерминированной, но и более понятной для восприятия. Подобное действие также следует отразить в данном разделе.

Степень исхода вершины информационного графа показывает, в скольких операциях ее результат будет использоваться в качестве аргумента. Если степень исхода вершины велика, то на этапе реализации алгоритма нужно позаботиться об эффективном доступе к результату ее работы. В этом смысле, особый интерес представляют рассылки данных, когда результат выполнения одной операции используется во многих других вершинах графа, причем число таких вершин растет с увеличением значения внешних переменных.

"Длинные" дуги в информационном графе [1] говорят о потенциальных сложностях с размещением данных в иерархии памяти компьютера на этапе выполнения программы. С одной стороны, длина дуги зависит от выбора конкретной системы координат, в которой расположены вершины графа, а потому в другой системе координат они попросту могут исчезнуть (но не появится ли одновременно других длинных дуг?). А с другой стороны, вне зависимости от системы координат их присутствие может быть сигналом о необходимости длительного хранения данных на определенном уровне иерархии, что накладывает дополнительные ограничения на эффективность реализации алгоритма. Одной из причин возникновения длинных дуг являются рассылки скалярных величин по всем итерациям какого-либо цикла: в таком виде длинные дуги не вызывают каких-либо серьезных проблем на практике.

Для проектирования специализированных процессоров или реализации алгоритма на ПЛИС представляют интерес компактные укладки информационного графа [1], которые также имеет смысл привести в данном разделе.

2 ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма

Вторая часть описания алгоритмов в рамках AlgoWiki рассматривает все составные части процесса их реализации. Рассматривается как последовательная реализация алгоритма, так и параллельная. Описывается взаимосвязь свойств программ, реализующих алгоритм, и особенностей архитектуры компьютера, на которой они выполняются. Исследуется работа с памятью, локальность данных и вычислений, описывается масштабируемость и эффективность параллельных программ, производительность компьютеров, достигаемая на данной программе. Обсуждаются особенности реализации для разных классов архитектур компьютеров, приводятся ссылки на реализации в существующих библиотеках.

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

Здесь описываются особенности и варианты реализации алгоритма в виде последовательной программы, которые влияют на эффективность ее выполнения. В частности, в данном разделе имеет смысл сказать о существовании блочных вариантов реализации алгоритма, дополнительно описав потенциальные преимущества или недостатки, сопровождающие такую реализацию. Важный вопрос - это возможные варианты организации работы с данными, варианты структур данных, наборов временных массивов и другие подобные вопросы. Для различных вариантов реализации следует оценить доступный ресурс параллелизма и объем требуемой памяти.

Важным нюансом является описание необходимой разрядности выполнения операций алгоритма (точности). На практике часто нет никакой необходимости выполнять все арифметические операции над вещественными числами с двойной точностью, т.к. это не влияет ни на устойчивость алгоритма, ни на точность получаемого результата. В таком случае, если значительную часть операций можно выполнять над типом float, и лишь в некоторых фрагментах необходим переход к типу double, это обязательно нужно отметить. Это прямое указание не только на правильную реализацию с точки зрения устойчивости по отношению к ошибкам округления, но и на более эффективную.

Опираясь на информацию из п.1.8 (описание ресурса параллелизма алгоритма), при описании последовательной версии стоит сказать про возможности эквивалентного преобразования программ, реализующих данных алгоритм. В дальнейшем, это даст возможность простого использования доступного параллелизма или же просто покажет, как использовать присущий алгоритму параллелизм на практике. Например, параллелизм на уровне итераций самого внутреннего цикла обычно используется для векторизации. Однако, в некоторых случаях этот параллелизм можно поднять "вверх" по структуре вложенности объемлющих циклов, что делает возможной и эффективную реализацию данного алгоритма на многоядерных SMP-компьютерах.

С этой же точки зрения, в данном разделе весьма полезны соображения по реализации алгоритма на различных параллельных вычислительных платформах. Высокопроизводительные кластеры, многоядерные узлы, возможности для векторизации или использования ускорителей - особенности этих архитектур не только опираются на разные свойства алгоритмов, но и по-разному должны быть выражены в программах, что также желательно описать в данном разделе.

2.2 Локальность данных и вычислений

Вопросы локальности данных и вычислений не часто изучаются на практике, но именно локальность определяет эффективность выполнения программ на современных вычислительных платформах [2, 3]. В данном разделе приводятся оценки степени локальности данных и вычислений в программе, причем рассматривается как временна́я, так и пространственная локальность. Отмечаются позитивные и негативные факты, связанные с локальностью, какие ситуации и при каких условиях могут возникать. Исследуется, как меняется локальность при переходе от последовательной реализации к параллельной. Выделяются ключевые шаблоны взаимодействия программы, реализующей описываемый алгоритм, с памятью. Отмечается возможная взаимосвязь между используемыми конструкциями языков программирования и степенью локальности, которыми обладают результирующие программы.

Отдельно приводятся профили взаимодействия с памятью для вычислительных ядер и ключевых фрагментов. Если из-за большого числа обращений по общему профилю сложно понять реальную специфику взаимодействия программ с памятью, то проводится последовательная детализация и приводится серия профилей более мелкого масштаба.

На рис.3 и рис.4 показаны профили обращения в память для программ, реализующих разложение Холецкого и быстрое преобразование Фурье, по которым хорошо видна разница свойств локальности у данных алгоритмов.

Рис.3 Реализация метода Холецкого. Общий профиль обращений в память

Рис.4 Нерекурсивная реализация БПФ для степеней двойки. Общий профиль обращений в память

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

Раздел довольно обширный, в котором должны быть описаны основные факты и положения, формирующие параллельную программу. К их числу можно отнести:

• представленный иерархически ресурс параллелизма, опирающийся на структуру циклических конструкций и на граф вызовов программы;
• комбинацию (иерархию) массового параллелизма и параллелизма конечного;
• возможные способы распределения операций между процессами/нитями;
• возможные способы распределения данных;
• оценку количества операций, объёма и числа пересылок данных (как общего числа, так и в пересчёте на каждый параллельный процесс);

и другие.

В этом же разделе должны быть даны рекомендации или сделаны комментарии относительно реализации алгоритма с помощью различных технологий параллельного программирования: MPI, OpenMP, CUDA или использования директив векторизации.

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Задача данного раздела - показать пределы масштабируемости алгоритма на различных платформах. Очень важный раздел. Нужно выделить, описать и оценить влияние точек барьерной синхронизации, глобальных операций, операций сборки/разборки данных, привести оценки или провести исследование сильной и слабой масштабируемости алгоритма и его реализаций.

Масштабируемость алгоритма определяет свойства самого алгоритма безотносительно конкретных особенностей используемого компьютера. Она показывает, насколько параллельные свойства алгоритма позволяют использовать возможности растущего числа процессорных элементов. Масштабируемость параллельных программ определяется как относительно конкретного компьютера, так и относительно используемой технологии программирования, и в этом случае она показывает, насколько может вырасти реальная производительность данного компьютера на данной программе, записанной с помощью данной технологии программирования, при использовании бóльших вычислительных ресурсов (ядер, процессоров, вычислительных узлов).

Ключевой момент данного раздела заключается в том, чтобы показать реальные параметры масштабируемости программы для данного алгоритма на различных вычислительных платформах в зависимости от числа процессоров и размера задачи [4]. При этом важно подобрать такое соотношение между числом процессоров и размером задачи, чтобы отразить все характерные точки в поведении параллельной программы, в частности, достижение максимальной производительности, а также тонкие эффекты, возникающие, например, из-за блочной структуры алгоритма или иерархии памяти.

На рис.5. показана масштабируемость классического алгоритма умножения плотных матриц в зависимости от числа процессоров и размера задачи. На графике хорошо видны области с большей производительностью, отвечающие уровням кэш-памяти.

Рис.5 Масштабируемость классического алгоритма умножения плотных матриц в зависимости от числа процессоров и размера задачи

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

Это объемный раздел AlgoWiki, поскольку оценка эффективности реализации алгоритма требует комплексного подхода [5], предполагающего аккуратный анализ всех этапов от архитектуры компьютера до самого алгоритма. Основная задача данного раздела заключается в том, чтобы оценить степень эффективности параллельных программ, реализующих данный алгоритм на различных платформах, в зависимости от числа процессоров и размера задачи. Эффективность в данном разделе понимается широко: это и эффективность распараллеливания программы, это и эффективность реализации программ по отношению к пиковым показателям работы вычислительных систем.

Помимо собственно показателей эффективности, нужно описать и все основные причины, из-за которых эффективность работы параллельной программы на конкретной вычислительной платформе не удается сделать выше. Это не самая простая задача, поскольку на данный момент нет общепринятой методики и соответствующего инструментария, с помощью которых подобный анализ можно было бы провести. Требуется оценить и описать эффективность работы с памятью (особенности профиля взаимодействия программы с памятью), эффективность использования заложенного в алгоритм ресурса параллелизма, эффективность использования коммуникационной сети (особенности коммуникационного профиля), эффективность операций ввода/вывода и т.п. Иногда достаточно интегральных характеристик по работе программы, в некоторых случаях полезно показать данные мониторинга нижнего уровня, например, по загрузке процессора, кэш-промахам, интенсивности использования сети Infiniband и т.п. Хорошее представление о работе параллельной MPI-программы дают данные трассировки, полученные, например, с помощью системы Scalasca.

2.6 Выводы для классов архитектур

В данный раздел должны быть включены рекомендации по реализации алгоритма для разных классов архитектур. Если архитектура какого-либо компьютера или платформы обладает специфическими особенностями, влияющими на эффективность реализации, то это здесь нужно отметить.

На практике это сделать можно по-разному: либо все свести в один текущий раздел, либо же соответствующие факты сразу включать в предшествующие разделы, где они обсуждаются и необходимы по смыслу. В некоторых случаях, имеет смысл делать отдельные варианты всей части II AlgoWiki применительно к отдельным классам архитектур, оставляя общей машинно-независимую часть I. В любом случае, важно указать и позитивные, и негативные факты по отношению к конкретным классам. Можно говорить о возможных вариантах оптимизации или даже о "трюках" в написании программ, ориентированных на целевые классы архитектур.

2.7 Существующие реализации алгоритма

Существуют следующие последовательные реализации EM-алгоритма для кластеризации: opencv opencv, scikit-learn

3 Литература

[1] Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. - СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

[2] К.В.Воронцов. Лекции по статистическим (байесовским) алгоритмам классификации