Участник:Илья Егоров/Алгоритм k-средних

Алгоритм k-средних (k-means)
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(n*k*d)[/math]
Объём входных данных	[math]n*d[/math]
Объём выходных данных	[math]n[/math]

Страница создана группой "Илья Егоров — Евгений Богомазов"

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм кластеризации k-средних впервые был предложен в 1950-х годах математиками Гуго Штейнгаузом и Стюартом Ллойдом независимо друг от друга. Наибольшую популярность он получил после работы Маккуина.

Алгоритм позволяет при заданном числе [math]k[/math] построить [math]k[/math] кластеров, расположенных на максимальном расстоянии друг от друга. Таким образом, наибольшей точности результат выполнения алгоритма достигает при полной осведомленности Пользователя о характере кластеризуемых объектов и, как следствие, при обладании максимально корректной информацией о числе кластеров.

В общем случае выбор числа [math]k[/math] может базироваться на любых значимых факторах, в том числе на результатах предшествующих исследований, теоретических соображениях или интуиции.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

• Совокупность n d-мерных векторов [math] X = \{x_1 \dots x_n\} , [/math] где [math] x_i = \{x_{i1} \dots x_{id}\} [/math]
• Предполагаемое количество кластеров k

Выходные данные:

• Разбиение X на множество [math] S = \{S_1 \dots S_k \}, \bigcup S_i = X, S_i \cap S_j = \emptyset, i \neq j [/math]
• k центров кластеров [math] \Mu = \{\mu_1 \dots \mu_k \} [/math], где [math] \mu_i = \{\mu_{i1} \dots \mu_{id} \} [/math] такие, что

[math] \begin{cases}\tilde{\mu_i} = \underset{y}{argmin } \sum_{x \in S_i} ||x-y||^2_E \\ \Mu = \underset{\tilde{\Mu}}{argmin } \sum_{i \in k} \sum_{x \in S_i} ||x-\tilde{\mu_i}||^2_E \end{cases} [/math]

Алгоритм:

1) [math] \mu_{ij} = random [/math]

2) [math] S_i = \{x \in S | \underset{j}{argmin } ||x-\mu_j||_E = i\} i = 1 \dots k [/math]

3) [math] \tilde{\mu_{i}} = E_{x \in S_i}(x) [/math]

4) Если для [math] \forall i: \mu_i = \tilde{\mu_i} [/math] то алгоритм завершен, иначе [math] \mu_i = \tilde{\mu_i} [/math] и перейти на пункт 2)

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром алгоритма является второй этап, а точнее нахождение матрицы расстояний между [math]X[/math] и [math]\Mu[/math]. Для d-мерного вектора [math]a:[/math]

[math]||a||=\sqrt{\sum_{i=1\dots d} a_i^2}[/math], поэтому заполнение одной ячейки такой матрицы потребует [math]d[/math] операций умножения, [math]d-1[/math] операций сложения и одну операция вычисления квадратного корня. Но так как эти расстояния используются только для сравнения, а sqrt является монотонно возрастающей функцией, то ее можно не вычислять. Поэтому нахождения матрицы расстояний потребует всего [math]n*k*d[/math] операций умножений и [math]n*k*(d-1)[/math] операций сложений.

1.4 Макроструктура алгоритма

Алгоритм k-средних базируется на алгоритме вычисления расстояния между векторами, расстояние на каждом шаге высчитывается [math]k\cdot n[/math] раз.

Помимо этого, в конце каждого шага вычисляется центр масс объектов кластера, для всех объектов потребуется [math]n-1[/math] суммирование и [math]k[/math] делений.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Последовательность шагов алгоритма следующая:

   1. Инициализация центроидов [math]\Mu[/math], [math] iter = 1 [/math], задание максимального количество итераций [math]maxiter[/math]
       
   2a. Нахождение матрицы расстояний [math]dist:[/math]
   
       [math]dist_{ij} = \sum_{l = 1\dots d} (x_{il}-\mu_{jl})^2[/math]
       
   2b. Нахождение вектора распределения объектов по кластерам [math]index: [/math]
   
       [math]index_{i} =   \underset{j}{argmin }~dist_{ij} [/math]
   
   3. Пересчет центроидов [math]\tilde{\Mu}:[/math]
   
       [math]\tilde{\mu_{ij}} = \sum_{l \in \tilde{S_i}} \dfrac{x_{lj}}{|\tilde{S_i}|} [/math], где [math]\tilde{S_i} = \{l~|~l \in 1\dots n, index_l = i\}  [/math]
   
   4. Проверка критерия останова:
   
       Если [math] \exists i: \tilde{\mu_i} \neq \mu_i[/math], [math] iter \lt  maxiter [/math],
   
       то [math] inc(iter), \Mu=\tilde{\Mu},[/math] GOTO 2.а.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

   1) Сложность инициализации в общем случае зависит от применяемого метода генерации/получения случайных чисел, но ей можно пренебречь
   
   2a) Вычисление матрицы расстояний требует [math] n*k*d [/math] операций умножений и [math] n*k*(d-1) [/math] операций сложений
   
   2b) Нахождение вектора распределения требует [math] n*(k-1) [/math] операций сравнений
   
   3) Для вычисления [math] \tilde{\Mu} [/math] требуется [math] (n - k + 1) * d [/math] операций сложений и [math] k * d [/math] операций деления
   
   4) Для критерия останова требуется [math] n*d [/math] сравнений

Итого: так как максимальное количество итераций задается в алгоритме заранее и не зависит от входных данных, то количество итераций ограничено константой. Тогда сложность алгоритма:

• [math] O(n*k*d)[/math] операций сложений/вычитаний
• [math] O(n*k*d)[/math] операций умножений, [math] O(k*d) [/math] операций делений

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Подправь стилистику!!!

Для получения общей картины достаточно посмотреть, каким ресурсом параллелизма обладает каждый из этапов алгоритма с оглядкой на информационный граф:

2a) Нахождение каждой ячейки матрицы [math] dist [/math] может происходить полностью независимо в виду нахождения их на одном ярусе. Рассмотрев вычисление конкретной ячейки [math] dist_{ij} [/math] можно заметить, что все операции умножения также независимы между собой (поэтому понадобится всего одно умножение), а конечный результат получается в результате суммирования всех слагаемых. При помощи стандартной методологии reduction ее можно выполнить параллельно за [math] \log(d) [/math] бинарных операций сложения

2b) Нахождение вектора распределений заключается в нахождение минимального элемента в каждой строке матрицы [math] dist [/math]. Снова при помощи reduction ее можно выполнить за [math] \log(k) [/math] бинарных операций сравнения

3) При условии существовании методологии быстрого распределения n объектов на k множеств при помощи вектора индексации (косвенной адресации), то все [math] \tilde{S_i} [/math] могут быть обработаны параллельно. В рамках каждого отдельного [math] \tilde{S_i} [/math] можно проводить распараллеливание дальше, так как [math] x_{lj} [/math] также не зависят друг от друга, поэтому вычисление всех слагаемых для всех [math] \tilde{\mu_{ij}} [/math] может быть выполнено за одно параллельное деление, а нахождение суммы всех этих слагаемых для каждого [math] \tilde{\mu_{ij}} [/math] может быть выполнено за [math] O(log(n)) [/math] в худшем случае (при вхождение почти всех объектов в один кластер)

Если же такой методологии не существуют, то узким местом становится распределения на множества согласно вектору [math]index[/math], которое можно выполнить за [math] n [/math] операций косвенных адресаций.

4) Все сравнения для критерия останова также независимы между собой и могут быть выполнены за одну операцию сравнения, финальный результат может быть получен за одну операцию сложения при работе над общей памятью(нужно ли объяснять как?, например прибавление единицы при несовпадении в общую память и сравнение ее с 0 по завершению (при этом пофиг на конфликты)) или за [math]\log(k*d)[/math] сложений иначе

Так как количество итераций ограничено константой, то на сложность оно не влияет. Итого параллельная сложность алгоритма:

• [math] O(\log(n*d)) [/math] операций сложения
• [math] O(\log(k)) [/math] операций сравнения
• [math] O(1) [/math] операций умножений и делений

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: Количество кластеров k, n кластеризуемых элементов

Дополнительные ограничения:

• k — положительное число, т. е. k > 0.
• Для кластеризуемых элементов определена метрика (расстояние между объектами)

Объём входных данных: n [math]\cdot[/math] d + 1 (кластеризуемые объекты в виде векторов и число k)

Выходные данные: Массив, в который записаны принадлежности каждого элемента кластеру (допустим вывод в другой эквивалентной более удобной структуре).

Объём выходных данных: Размер массива равен 2 [math]\cdot[/math] n.

1.10 Свойства алгоритма

Ограничения алгоритма

Алгоритм эффективно работает только на небольших объемах данных.

Преимущества алгоритма

• Простота использования
• Быстрота использования
• Понятность и прозрачность описания
• Обладает вычислительной устойчивостью
• Предрасположенность к распараллеливанию
• Достаточно популярный, поэтому имеет множество реализаций и вариаций

Недостатки алгоритма

• Нет проверки корректности выбора числа кластеров
• Алгоритм чувствителен к количеству кластеров
• Алгоритм чувствителен к выбору начальных элементов в качестве центроидов
• Алгоритм крайне чувствителен к выбросам по данным
• Медленная работа на больших объемах данных

2 ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма

2.2 Существующие реализации алгоритма

2.2.1 Бесплатный доступ

Десктопные программы

• Weka
• Orange

Фреймворки для языков

• Python:
  • scikit-learn
  • SciPy
• C++:
  • MLPACK
  • OpenCV
  • Octave
• C#:
  • Accord.NET
• Java:
  • ELKI
  • Mahout
• Lua
  • Torch

Языки R и Julia содержат алгоритм k-means в базовой реализации.

2.2.2 Платный доступ/лицензия

Существует целый перечень мощных статистических и математических пакетов для разных ОС:

• MATLAB
• Mathematica
• Stata
• SAS
• SAP HANA
• RapidMiner
• ...

3 Литература

[1] Нейский И.М. Классификация и сравнение методов кластеризации http://it-claim.ru/Persons/Neyskiy/Article2_Neiskiy.pdf

[2] https://ru.wikipedia.org/wiki/K-means