QR-разложения плотных неособенных матриц: различия между версиями
| [досмотренная версия] | [выверенная версия] |
Frolov (обсуждение | вклад) |
ASA (обсуждение | вклад) |
||
| (не показано 10 промежуточных версий 2 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
{{level-p}} | {{level-p}} | ||
| − | Нахождение разложения матриц в виде <math>A = QR</math>, где <math>Q</math> - унитарная, <math>R</math> — правая треугольная матрица<ref>В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.</ref>., является важным этапом при решении некоторых более сложных задач. Существование такого разложения, в котором правая треугольная матрица ещё и не содержит нулей на диагонали, доказано<ref name="VOLA">Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.</ref> для невырожденных матриц. Однако в ряде случаев <math>QR</math>-разложение (возможно, с нулями на диагонали <math>R</math>) нужно и в задачах без гарантии невырожденности. Поэтому для нахождения такого разложения разработано несколько классических методов, а также их варианты. | + | Нахождение разложения матриц в виде <math>A = QR</math>, где <math>Q</math> - унитарная, <math>R</math> — правая треугольная матрица<ref>В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.</ref>., является важным этапом при решении некоторых более сложных задач. Существование такого разложения, в котором правая треугольная матрица ещё и не содержит нулей на диагонали, доказано<ref name="VOLA">Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.</ref> для невырожденных матриц. Однако в ряде случаев <math>QR</math>-разложение (возможно, с нулями на диагонали <math>R</math>) нужно и в задачах без гарантии невырожденности. Поэтому для нахождения такого разложения разработано несколько классических методов, являющихся конструктивным доказательством существования разложения в общем случае, а также их варианты. |
== Методы нахождения QR-разложения плотных неособенных матриц == | == Методы нахождения QR-разложения плотных неособенных матриц == | ||
| − | Классические методы QR-разложения можно разделить на две группы: приведения матрицы унитарными преобразованиями к треугольному виду и приведения матрицы неунитарными преобразованиями к унитарному виду. К первой группе относятся методы Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), ко второй | + | Классические методы QR-разложения можно разделить на две группы: приведения матрицы унитарными преобразованиями к треугольному виду и приведения матрицы неунитарными преобразованиями к унитарному виду. К первой группе относятся методы Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), ко второй — метод ортогонализации. Строго говоря, доказательство теоремы<ref name="VOLA" /> о существовании даёт ещё один способ разложения — через разложение Холецкого матрицы <math>A^*A</math> с последующей обратной подстановкой, но для вырожденных матриц он не работает, поэтому обычно не применяется. |
| − | === | + | === Методы приведения унитарными преобразованиями к треугольному виду === |
| − | + | ==== Метод Гивенса ==== | |
| − | + | Классический [[Метод Гивенса (вращений) QR-разложения матрицы|метод Гивенса (вращений)]] основан на преобразованиях вращения (умножения на матрицы Гивенса) слева для приведения матрицы к правому треугольному виду <math>R</math>. Имеет линейный по размеру задачи критический путь графа. | |
| − | + | ==== Метод Хаусхолдера ==== | |
| − | + | Классический [[Метод Хаусхолдера (отражений) QR-разложения матрицы|метод Хаусхолдера (отражений)]] основан на преобразованиях отражения (Хаусхолдера) слева для приведения матрицы к правому треугольному виду <math>R</math>. Устойчивый классический вариант имеет квадратичный по размеру задачи критический путь графа, применение сдваивания уменьшает его до <math>O (n log_{2} n)</math>. Тем не менее, в библиотеках программ более популярен, чем метод Гивенса, из-за того, что легче опирается на базовые подпрограммы библиотеки BLAS. | |
| − | [[Метод ортогонализации]] основан на процессе ортогонализации столбцов матрицы. | + | === Другие методы === |
| + | |||
| + | ==== Метод ортогонализации ==== | ||
| + | |||
| + | [[Метод ортогонализации]] основан на процессе ортогонализации столбцов матрицы. Таким образом, правыми треугольными преобразованиями матрица приводится к унитарному виду <math>Q</math>. Классический метод неустойчив, а переортогонализация делает этот метод более медленным. | ||
| + | |||
| + | ==== Метод треугольного разложения матрицы Грама ==== | ||
| + | |||
| + | Практически не применяющийся [[Метод треугольного разложения матрицы Грама|метод]] работает только в условиях гарантированной невырожденности исходной матрицы <math>A</math>. Состоит из трёх частей: нахождение матрицы Грама <math>A^*A</math> столбцов исходной матрицы, [[Метод_Холецкого_(нахождение_симметричного_треугольного_разложения)|нахождение_симметричного_треугольного_разложения]] матрицы Грама <math>A^*A</math> в виде <math>R^*R</math>, нахождение унитарной матрицы <math>Q=AR^{-1}</math>, например, с помощью модифицированной обратной подстановки. | ||
== Литература == | == Литература == | ||
<references /> | <references /> | ||
| + | |||
| + | [[Категория:Законченные статьи]] | ||
| + | |||
| + | [[en:QR decomposition of dense nonsingular matrices]] | ||
Текущая версия на 16:14, 16 марта 2018
Нахождение разложения матриц в виде [math]A = QR[/math], где [math]Q[/math] - унитарная, [math]R[/math] — правая треугольная матрица[1]., является важным этапом при решении некоторых более сложных задач. Существование такого разложения, в котором правая треугольная матрица ещё и не содержит нулей на диагонали, доказано[2] для невырожденных матриц. Однако в ряде случаев [math]QR[/math]-разложение (возможно, с нулями на диагонали [math]R[/math]) нужно и в задачах без гарантии невырожденности. Поэтому для нахождения такого разложения разработано несколько классических методов, являющихся конструктивным доказательством существования разложения в общем случае, а также их варианты.
Содержание
1 Методы нахождения QR-разложения плотных неособенных матриц
Классические методы QR-разложения можно разделить на две группы: приведения матрицы унитарными преобразованиями к треугольному виду и приведения матрицы неунитарными преобразованиями к унитарному виду. К первой группе относятся методы Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), ко второй — метод ортогонализации. Строго говоря, доказательство теоремы[2] о существовании даёт ещё один способ разложения — через разложение Холецкого матрицы [math]A^*A[/math] с последующей обратной подстановкой, но для вырожденных матриц он не работает, поэтому обычно не применяется.
1.1 Методы приведения унитарными преобразованиями к треугольному виду
1.1.1 Метод Гивенса
Классический метод Гивенса (вращений) основан на преобразованиях вращения (умножения на матрицы Гивенса) слева для приведения матрицы к правому треугольному виду [math]R[/math]. Имеет линейный по размеру задачи критический путь графа.
1.1.2 Метод Хаусхолдера
Классический метод Хаусхолдера (отражений) основан на преобразованиях отражения (Хаусхолдера) слева для приведения матрицы к правому треугольному виду [math]R[/math]. Устойчивый классический вариант имеет квадратичный по размеру задачи критический путь графа, применение сдваивания уменьшает его до [math]O (n log_{2} n)[/math]. Тем не менее, в библиотеках программ более популярен, чем метод Гивенса, из-за того, что легче опирается на базовые подпрограммы библиотеки BLAS.
1.2 Другие методы
1.2.1 Метод ортогонализации
Метод ортогонализации основан на процессе ортогонализации столбцов матрицы. Таким образом, правыми треугольными преобразованиями матрица приводится к унитарному виду [math]Q[/math]. Классический метод неустойчив, а переортогонализация делает этот метод более медленным.
1.2.2 Метод треугольного разложения матрицы Грама
Практически не применяющийся метод работает только в условиях гарантированной невырожденности исходной матрицы [math]A[/math]. Состоит из трёх частей: нахождение матрицы Грама [math]A^*A[/math] столбцов исходной матрицы, нахождение_симметричного_треугольного_разложения матрицы Грама [math]A^*A[/math] в виде [math]R^*R[/math], нахождение унитарной матрицы [math]Q=AR^{-1}[/math], например, с помощью модифицированной обратной подстановки.
